北京课改版第十六章 一元二次方程综合与测试综合训练题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（     ）

A． B． C． D．

2、用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝121

3、若一元二次方程x25x+k =0的一根为2，则另一个根为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4、已知方程的两根分别为m、n，则的值为（     ）

A．1 B． C．2021 D．

5、下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（    ）

A． B． C． D．

6、一元二次方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1

7、方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1

8、下列一元二次方程两实数根和为-4的是（    ）

A． B．

C． D．

9、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0

10、下列方程中是一元二次方程的是（     ）

A．y＋2＝1 B．＝0 C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 _____．

2、小华在解一元二次方程x2＝6x时，只得出一个根是x＝6，则被他漏掉的一个根是x＝______．

3、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 _____．

4、代数式的最小值是_______．

5、 “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1） 2x2-4x-3＝0．

（2）3x（x-1）=2-2x．

2、解方程：

（1）

（2）

3、已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．

4、用合适的方法解下列方程

（1）36x2＝81．

（2）3x2﹣10x+6＝0；

（3）（x﹣3）2﹣2（x+1）＝x﹣7．

5、（1）用配方法解方程：．

（2）当岚岚用因式分解法解一元二次方程时，她是这样做的：

解：原方程可以化简为．……………………………………第一步

两边同时除以．得．  ………………………………………………第二步

系数化为1，得．………………………………………………………………第三步

①岚岚的解法是不正确的，她从第________步开始出现了错误．

②请完成这个方程的正确解题过程．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.

【详解】

解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，

由题意得：.

故选：A.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

2、A

【分析】

利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解．

【详解】

解：x2﹣10x+21＝0，

移项得： ，

方程两边同时加上25，得： ，

即 ．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键．

3、A

【分析】

设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2＋t＝5，求出t即可．

【详解】

解：设方程的另一根为t，

根据题意得2＋t＝5，

解得t＝3．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1·x2＝．

4、B

【分析】

由题意得mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，

∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，

∴m2﹣2021m＝﹣1，

∴m2﹣＝﹣1,

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．

5、B

【分析】

利用一元二次方程的根的判别式，即可求解．

【详解】

解：A、 ，所以该方程无实数根，故本选项不符合题意；

B、 ，所以该方程有两个相等实数根，故本选项符合题意；

C、 ，所以该方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；

D、 ，所以该方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．

6、A

【分析】

方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．

【详解】

解：∵x2-x＝0，

∴x（x-1）＝0，

则x＝0或x-1＝0，

解得：x1＝0，x2＝1．

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法-因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

7、D

【分析】

因式分解后求解即可.

【详解】

x2﹣x＝0，

x（x-1）=0，

x=0，或x-1=0，

解得x1＝0，x2＝1，

故选：D

【点睛】

此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

8、D

【分析】

根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可

【详解】

解：A. ，，，不符合题意；

B. ，，该方程无实根，不符合题意；

C. ，，该方程无实根，不符合题意；

D. ，，该方程有实根，且，符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．

9、B

【分析】

根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．

【详解】

解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；

②当时，此方程是一元二次方程，可得

k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

10、B

【分析】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可．

【详解】

解：A．是二元二次方程，故本选项不合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是二元二次方程，故本选项不合题意；

D．当a=0时，不含二次项，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

二、填空题

1、64（1+x）2＝81

【分析】

如果每月的增长率都为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，则7月份接待游客64（1+x）万人次，8月份共接待游客64（1+x）2万人次，根据题意可列出方程．

【详解】

解：设每月的增长率都为x，列方程得

64（1+x）2＝81．

故答案为：64（1+x）2＝81．

【点睛】

本题考查了增长率问题，理解题意，用含x式子表示出8月份游客人次是解题关键．

2、0

【分析】

由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．

【详解】

原式为x2＝6x

移项得x2-6x＝0

化积为x（x-6）=0

转化得x=0，x-6=0

解得x=0，x=6

故答案为：0．

【点睛】

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项→将方程的右边化为零；化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积； 转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

3、

【详解】

延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．

【解答】

延长B1D交BC于E，如图：

∵B1D⊥BC，

∴∠BED＝∠B1EC＝90°，

∵∠B＝30°，

∴DE＝BD，

∴BE＝＝BD，

设BD＝x，

∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，

∴B1D＝x，

∵BC＝3，

∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，

在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，

∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32

∴

∴x＝0（舍去）或x＝

∴BD＝

故答案为：．

【点睛】

本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．

4、

【分析】

利用配方法得到：．利用非负数的性质作答．

【详解】

解：因为≥0，

所以当x=1时，代数式的最小值是，

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．

5、

【分析】

先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.

【详解】

解：

则或或

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.

三、解答题

1、（1）x1＝1＋，x2＝1－；（2）x1=1，

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解的方法解一元二次方程

【详解】

解：（1）2x2－4x－3＝0

a=2，b=-4，c=-3，

△=16+24=40＞0，

，

∴x1＝1＋，x2＝1－

（2）3x（x-1）+2（x-1）=0，

（x-1）（3x+2）=0，

x-1=0或3x+2=0，

所以x1=1，

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．

2、（1）；（2）

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可

【详解】

解：（1）

（2）

即或

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．

3、m的最大整数值为0

【分析】

根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．

【详解】

解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，

解得：m≤且m≠1，

则m的最大整数值为0．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，准确计算是解题的关键．

4、（1），

（2），

（3）x1＝2，x2＝7

【分析】

（1）方程利用直接开平方法即可求出解．

（2）利用公式法求解可得；

（3）整理后，利用因式分解法求解即可．

（1）

解：∵，

∴，

∴，；

（2）

解：∵，

∴，，，

∴，

∴，

∴，；

（3）

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

5、（1），；（2）①二；②，

【详解】

解：（1）配方，得，即．

由此可得．

解得，．

（2）①第二步在两边同时除以时未考虑的情况，故第二步错误．

故答案为：二；

②正确的解答过程如下：

原方程可以化简为．

移项，得．

因式分解，得．

由此可得或．

解得，．

【点睛】

本题考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键．