初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试习题

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京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列方程是一元二次方程的是（    ）A． B．C． D．2、一元二次方程根的情况是（    ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断3、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44、已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（    ）A．5 B．3 C．－3 D．－45、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．A．3 B．4 C．5 D．66、若一元二次方程x25x+k =0的一根为2，则另一个根为（   ）A．3 B．4 C．5 D．67、一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（    ）A．7 B．11 C．15 D．198、下列方程中是一元二次方程的是（　　）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．9、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）A．20% B．30% C．40% D．50%10、下列方程中一定是一元二次方程的是（    ）A．x2﹣4＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2﹣y＋1＝0 D．＋x﹣1＝0第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．2、若m是方程的一个根，则的值为______．3、已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝_____．4、若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是__________．5、江苏省某县去年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，明年平均房价将达到每平方米5 500 元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，所列方程是_______________________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）3x（x+1）＝3x+3．2、小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段在桌面上各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和为，小林该如何剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他说的对吗？请说明理由．3、已知关于x的方程x2 - 5x + m = 0（1）若方程有一根为 - 1，求m的值；（2）若方程无实数根，求m的取值范围4、已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．5、（1）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1＝0；（2）用公式法解方程：4x2﹣8x+3＝0． -参考答案-一、单选题1、C【分析】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【详解】A.有两个未知数，错误；B.不是整式方程，错误；C.符合条件；D.化简以后为，不是二次，错误；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．2、A【分析】计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．【详解】∵，，，∴，∴方程有有两个不相等的实数根．故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．3、B【分析】根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，∴将代入得，，解得：．故选：B．【点睛】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．4、A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键．5、A【分析】根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴判别式△＞0，∴，∴a＜4，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．6、A【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2＋t＝5，求出t即可．【详解】解：设方程的另一根为t，根据题意得2＋t＝5，解得t＝3．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1·x2＝．7、D【分析】先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项．【详解】解：，解得：，∴这个三角形的两边的长为6和11，∴第三边长x的范围为5＜x＜17；故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．8、C【详解】解：A、未知数次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．9、C【分析】先用含x的代数式表示出2021年底5G用户的数量， 然后根据2021年底5G用户数为3.92万户列出关于x的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意，得： ，整理得：，∴，解得：x1=0.4=40%，x2= −2.4（不合题意，舍去）．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．10、A【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二、填空题1、且【详解】利用判别式，根据一元二次方程的定义，列出不等式即可解决问题；【分析】解：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9＋4k≥0，∴k≥﹣，且k≠0，故答案为k≥﹣且k≠0．【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2、-16【分析】把x=m代入，可得，然后代入计算即可；【详解】解：把x=m代入，得，∴，∴==-3-13=-16．故答案为：-16．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及整体代入法求代数式的值，求出是解答本题的关键．3、7【分析】根据题意得到m+n=-2，mn=-1，m2+2m=1，n2+2n=1，再将（m2+3m+3）（n2+3n+3）变形为（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3），进而得到（m+4）（n+4），进而得到mn+4（m+n）+16，问题得解．【详解】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，∴m2+2m﹣1＝0 ，n2+2n﹣1＝0，m+n=-2，mn=-1，∴m2+2m=1，n2+2n=1，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）=（m2+2m+m+3）（n2+2n+n+3）=（1+m+3）（1+n+3）=（m+4）（n+4）=mn+4m+4n+16=mn+4（m+n）+16=-1+4×（-2）+16=7．故答案为：7【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键．4、且【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，∴ b2﹣4ac＝1﹣4k×（﹣）＝1+9k≥0，且k≠0， 解得： 且，故答案为：且．【点睛】此题考查利用一元二次方程的定义及根的判别式求系数，正确理解一元二次方程根的三种情况是解题的关键，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．5、4000（1+x）2=5500【分析】根据去年及明年的平均房价，列出关于x的一元二次方程即可解题．【详解】解：设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意得，4000（1+x）2=5500故答案为：4000（1+x）2=5500【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．三、解答题1、（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1【分析】（1）根据配方法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．【详解】（1）x2﹣6x﹣4＝0x2﹣6x+9＝13（x-3）2＝13x-3=±∴x1=+3，x2=-+3（2）3x（x+1）＝3x+33x（x+1）-3（x+1）=03（x+1）（x-1）=0∴x+1=0或x-1=0∴x1=-1，x2=1．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用．2、（1）剪成的两段分别为12cm，28cm；（2）小峰的说法正确，理由见解析【分析】（1）设剪成的两段分别为，，然后由题意得，进而问题可求解；（2）设剪成的两段分别为，，然后由题意得，进而问题可求解．【详解】解：设剪成的两段分别为，．（1）根据题意，得，解得，．当时，；当时，．∴剪成的两段分别为12cm，28cm．（2）根据题意，得，整理，得．∵，∴该方程无解，∴小峰的说法正确．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．3、（1）m的值为．（2）【分析】（1）将代入原方程，即可求出m的值．（2）令根的判别式，即可求出m的取值范围．【详解】（1）解：方程有一根为 - 1，是该方程的根，，解得：，故m的值为．（2）解：方程无实数根，解得：．【点睛】本题主要是考查了一元二次方程的根以及根的判别式，熟练利用根的判别式，求出对应无实数根的方程中的参数取值，这是解决该题的关键．4、（1）见解析；（2）【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．【详解】（1）证明：∵一元二次方程，∴==．   ∵，∴．∴ 该方程总有两个实数根．　　　 　              （2）解：∵一元二次方程，解方程，得，．                    ∵ ，∴ ．∵该方程的两个实数根的差为3，∴ ．∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．5、（1）x1=，x2=；（2）x1=，x2=．【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．【详解】解：（1）∵3x2-6x-1=0，∴x2-2x=，配方得：x2-2x+1=+1，∴（x-1）2=，∴x-1=，∴x1=，x2=；（2）∵4x2﹣8x+3=0，∴a=4，b=-8，c=3，∴△=64-4×4×3=16>0，∴x==，∴x1=，x2=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．