还剩22页未读，
继续阅读
2021-2022学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷 解析版
展开
这是一份2021-2022学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（3分）十九大报告指出，十八大以来的五年，我国经济保持中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
3．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．﹣2x2+3x3＝﹣5x2
C．（﹣3ab）2＝9a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
6．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
8．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
10．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
二、填空题（共5题，每题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点（﹣1，2），你写的函数表达式是 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针旋转使得CF与CA重合，并停止旋转．则线段EF经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 ．
15．（3分）如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
三、解答题（共8题，每题75分）
16．（10分）计算与化简：
（1）（1+）0+（）﹣1+2•cos30°；
（2）（a﹣）÷．
17．（9分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛，该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级：74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
50≤x＜59
60≤x＜69
70≤x＜79
80≤x＜89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，m＝ ，n＝ ．
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 人．
18．（9分）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上），求教学楼AB的高度（sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
19．（9分）如图，在△ABC中；AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E，F，且CF＝AC．
（1）求证：△ABF是直角三角形；
（2）当AC＝6时，求BF的长度．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与双曲线y2＝交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA＝AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
21．（9分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
价格
型号
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（10分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．
23．（10分）“类比”是数学中常用的数学方法，在数学课上，小星遇到了如下问题：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上一点（D不与B和AB中点重合），以CD为直角边在其右侧作等腰Rt△CDE．试求：（1）∠CBE的度数；（2）BC+BE与DB的数量关系．
一筹莫展之际，小星想到了一个类似的问题：
如图2，等腰Rt△CDE和等腰Rt△CMB中，∠CDE＝∠CMB＝90°，连接DM，BE…，请你完成接下来的探索：
①在图2中，DM与EB的数量关系是 ，∠CMD和图中 的相等（填角的名称）．
②请你就图1，完成题中的两个问题：
（1）∠CBE的度数；
（2）BC+BE与DB的数量关系．请写出结论并且写出证明求解过程．
③拓展延伸：在图1中，若AC＝4，当sin∠BCE＝时，直接写出AD的长．
2021-2022学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题3分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（3分）十九大报告指出，十八大以来的五年，我国经济保持中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013，
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看是一列2个正方形．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．﹣2x2+3x3＝﹣5x2
C．（﹣3ab）2＝9a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行，完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故原题计算错误；
B、﹣2x2和3x3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（﹣3ab）2＝9a2b2，故原题计算正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误；
故选：C．
5．（3分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
6．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；
B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；
C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；
D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．
故选：A．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P（两次都是白球）＝，
故选：A．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，由四边形ABCD为矩形可得出∠ABC＝90°，结合同角的余角相等可得出∠OBC＝∠OAB，结合∠BOC＝∠AOB＝90°可得出△BOC∽△AOB，利用相似三角形的性质可求出OC的长，进而可得出点C的坐标，再利用矩形的性质（对角线互相平分），即可求出点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），OB＝3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），OA＝4．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
又∵∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴△BOC∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
又∵四边形ABCD为矩形，A（4，0），B（0，3），C（﹣，0），
∴点D的坐标为（4﹣﹣0，0+0﹣3），即（，﹣3）．
故选：D．
10．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积．
【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F．
由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝，BF＝DE＝7﹣4＝3，
则AB＝＝＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×4＝8．
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围为 x≥ ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0，
解得：x≥，
故答案为：x≥．
12．（3分）请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点（﹣1，2），你写的函数表达式是 y＝x+3 ．
【分析】根据①y随x的增大而增大，得到这是一个一次函数且k是正数，取k＝1，设直线的解析式是y＝x+b，把（﹣1，2）代入求出b，即可得到答案．
【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴设直线的解析式是y＝x+b，
把（﹣1，2）代入得：b＝3，
∴y＝x+3，
故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．
13．（3分）不等式组的解集是 x≤﹣3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣3，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣3，
故答案为：x≤﹣3．
14．（3分）如图，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针旋转使得CF与CA重合，并停止旋转．则线段EF经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 ．
【分析】线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．
【解答】解：线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．
∴S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．
故答案为．
15．（3分）如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 2.5 ．
【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD＝30°求解即可．
【解答】解：取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×10＝5，
∴EG＝AG＝×5＝2.5，
∴DF＝2.5．
故答案为：2.5．
三、解答题（共8题，每题75分）
16．（10分）计算与化简：
（1）（1+）0+（）﹣1+2•cos30°；
（2）（a﹣）÷．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2+2×
＝1+2+
＝3+；
（2）原式＝•
＝•
＝．
17．（9分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛，该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级：74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
50≤x＜59
60≤x＜69
70≤x＜79
80≤x＜89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 2 ，m＝ 88.5 ，n＝ 89 ．
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 460 人．
【分析】（1）根据总数据可得a的值，根据中位数和众数的定义可得m和n的值；
（2）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得；
（3）分别计算该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的人数，相加可得结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣3﹣8﹣6＝2，
将八年级的成绩从小到大排列后处在第10、11位的数是88，89，因此中位数是（88+89）÷2＝88，
八年级成绩出现次数最多的是89，共出现4次，因此众数是8，
故答案为：2，88.5，89．
（2）八年级成绩较好，理由是：①从中位数上看八年级中位数数是88.5比七年级的77要高，说明八年级成绩较好，
②从众数上看八年级的众数是89而七年级的众数是74，八年级成绩比七年级好；
（3）400×+400×＝460人，
则估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有460人．
故答案为：460．
18．（9分）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上），求教学楼AB的高度（sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
【分析】首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°＝，求出即可；
【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝BF+FC＝x+13，
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，
tan22°＝，
则≈，
解得：x≈12．
即教学楼的高约为12m．
19．（9分）如图，在△ABC中；AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E，F，且CF＝AC．
（1）求证：△ABF是直角三角形；
（2）当AC＝6时，求BF的长度．
【分析】（1）连接CD，根据切线的性质得到CD⊥AB，根据CD＝AC，得出∠A＝30°，进而求出∠ACB的度数，证明△BCD≌△BCF，可得∠BFC＝∠BDC＝90°，证明结论；
（2）根据含30度的直角三角形的性质求出AD，根据BF＝AD，求出BF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵CF＝AC，
∴CD＝CF＝AC，
∴∠A＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∴∠BCD＝∠BCF＝60°，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴△ABF是直角三角形；
（2）解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝BF，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝6，
∴CD＝AC＝3，
∴AD＝CD＝3，
∴BF＝3．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与双曲线y2＝交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA＝AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
【分析】（1）作高线AD，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x＝2x﹣2，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点C的坐标，根据图象可得结论．
【解答】解：（1）∵点A在直线y1＝2x﹣2上，
∴设A（x，2x﹣2），
过A作AD⊥OB于D，
∵AB⊥OA，且OA＝AB，
∴OD＝BD，
∴AD＝OB＝OD，
∴x＝2x﹣2，
x＝2，
∴A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴；
（2）∵，解得：，，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
21．（9分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
价格
型号
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，
w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
22．（10分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；
（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；
②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得﹣2m+3＝﹣7，解之可得；
（3）由开口向上及函数值都不小于1可得，解之即可．
【解答】解：（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，
∴对称轴方程为x＝1．
（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴n＝﹣2m+3．
②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．
∴m＝5．
（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．
依题可得
解得
∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．
23．（10分）“类比”是数学中常用的数学方法，在数学课上，小星遇到了如下问题：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上一点（D不与B和AB中点重合），以CD为直角边在其右侧作等腰Rt△CDE．试求：（1）∠CBE的度数；（2）BC+BE与DB的数量关系．
一筹莫展之际，小星想到了一个类似的问题：
如图2，等腰Rt△CDE和等腰Rt△CMB中，∠CDE＝∠CMB＝90°，连接DM，BE…，请你完成接下来的探索：
①在图2中，DM与EB的数量关系是 ，∠CMD和图中 ∠CBE 的相等（填角的名称）．
②请你就图1，完成题中的两个问题：
（1）∠CBE的度数；
（2）BC+BE与DB的数量关系．请写出结论并且写出证明求解过程．
③拓展延伸：在图1中，若AC＝4，当sin∠BCE＝时，直接写出AD的长．
【分析】①由等腰直角三角形的性质得∠DCE＝∠BCM＝45°，，，从而说明△CDM∽△CEB，得，∠CMD＝∠CBE，即可得出答案；
②（1）过C作CM⊥AB于M，由①同理得△CDM∽△CEB，得∠CMD＝∠CBE＝90°；
（2）由△CDM∽△CEB，得BE＝DM，则BC+BE＝BM++DM＝BD；
③根据sin∠BCE＝，设BE＝x，CE＝5x，由勾股定理得，BC＝2x＝4，求出BE＝2，由（1）知，BE＝DM，从而解决问题．
【解答】解：①∵△CDE和△CMB都是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠BCM＝45°，，，
∴∠DCM＝∠BCE，，
∴△CDM∽△CEB，
∴，∠CMD＝∠CBE，
∴BE＝DM，
故答案为：，∠CBE；
②（1）过C作CM⊥AB于M，
∵△ABC是等腰直角三角形，CM⊥AB，
∴CM＝BM，∠CMB＝90°，
由①同理得△CDM∽△CEB，
∴∠CMD＝∠CBE＝90°，
（2）BC+BE＝BD，理由如下：
∵△CDM∽△CEB，
∴BE＝DM，
∴BC+BE＝BM++DM＝BD；
③在△ABC中，∵AC＝4，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝4，AB＝AC＝4，
在Rt△BCE中，∵sin∠BCE＝，
设BE＝x，CE＝5x，
由勾股定理得，BC＝2x＝4，
∴x＝2，
∴BE＝2，
由（1）知，BE＝DM，
∴DM＝，
∴AD＝AM﹣DM＝AB﹣＝．
2021-2022学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（3分）十九大报告指出，十八大以来的五年，我国经济保持中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
3．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．﹣2x2+3x3＝﹣5x2
C．（﹣3ab）2＝9a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．（3分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
6．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
8．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
10．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
二、填空题（共5题，每题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点（﹣1，2），你写的函数表达式是 ．
13．（3分）不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针旋转使得CF与CA重合，并停止旋转．则线段EF经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 ．
15．（3分）如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
三、解答题（共8题，每题75分）
16．（10分）计算与化简：
（1）（1+）0+（）﹣1+2•cos30°；
（2）（a﹣）÷．
17．（9分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛，该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级：74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
50≤x＜59
60≤x＜69
70≤x＜79
80≤x＜89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，m＝ ，n＝ ．
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 人．
18．（9分）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上），求教学楼AB的高度（sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
19．（9分）如图，在△ABC中；AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E，F，且CF＝AC．
（1）求证：△ABF是直角三角形；
（2）当AC＝6时，求BF的长度．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与双曲线y2＝交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA＝AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
21．（9分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
价格
型号
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（10分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．
23．（10分）“类比”是数学中常用的数学方法，在数学课上，小星遇到了如下问题：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上一点（D不与B和AB中点重合），以CD为直角边在其右侧作等腰Rt△CDE．试求：（1）∠CBE的度数；（2）BC+BE与DB的数量关系．
一筹莫展之际，小星想到了一个类似的问题：
如图2，等腰Rt△CDE和等腰Rt△CMB中，∠CDE＝∠CMB＝90°，连接DM，BE…，请你完成接下来的探索：
①在图2中，DM与EB的数量关系是 ，∠CMD和图中 的相等（填角的名称）．
②请你就图1，完成题中的两个问题：
（1）∠CBE的度数；
（2）BC+BE与DB的数量关系．请写出结论并且写出证明求解过程．
③拓展延伸：在图1中，若AC＝4，当sin∠BCE＝时，直接写出AD的长．
2021-2022学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每题3分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（3分）十九大报告指出，十八大以来的五年，我国经济保持中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013，
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看是一列2个正方形．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．﹣2x2+3x3＝﹣5x2
C．（﹣3ab）2＝9a2b2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行，完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故原题计算错误；
B、﹣2x2和3x3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（﹣3ab）2＝9a2b2，故原题计算正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误；
故选：C．
5．（3分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
6．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；
B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；
C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；
D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．
故选：A．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴P（两次都是白球）＝，
故选：A．
9．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在x轴上，点D为平面内一点，且四边形ABCD为矩形，则点D的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣） D．（，﹣3）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，由四边形ABCD为矩形可得出∠ABC＝90°，结合同角的余角相等可得出∠OBC＝∠OAB，结合∠BOC＝∠AOB＝90°可得出△BOC∽△AOB，利用相似三角形的性质可求出OC的长，进而可得出点C的坐标，再利用矩形的性质（对角线互相平分），即可求出点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），OB＝3；
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），OA＝4．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OAB，
又∵∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴△BOC∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
又∵四边形ABCD为矩形，A（4，0），B（0，3），C（﹣，0），
∴点D的坐标为（4﹣﹣0，0+0﹣3），即（，﹣3）．
故选：D．
10．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C．8 D．10
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积．
【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F．
由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝，BF＝DE＝7﹣4＝3，
则AB＝＝＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×4＝8．
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围为 x≥ ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣3≥0，
解得：x≥，
故答案为：x≥．
12．（3分）请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点（﹣1，2），你写的函数表达式是 y＝x+3 ．
【分析】根据①y随x的增大而增大，得到这是一个一次函数且k是正数，取k＝1，设直线的解析式是y＝x+b，把（﹣1，2）代入求出b，即可得到答案．
【解答】解：∵y随x的增大而增大，
∴设直线的解析式是y＝x+b，
把（﹣1，2）代入得：b＝3，
∴y＝x+3，
故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．
13．（3分）不等式组的解集是 x≤﹣3 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣3，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣3，
故答案为：x≤﹣3．
14．（3分）如图，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针旋转使得CF与CA重合，并停止旋转．则线段EF经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 ．
【分析】线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．
【解答】解：线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．
∴S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．
故答案为．
15．（3分）如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 2.5 ．
【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD＝30°求解即可．
【解答】解：取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴DF＝EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×10＝5，
∴EG＝AG＝×5＝2.5，
∴DF＝2.5．
故答案为：2.5．
三、解答题（共8题，每题75分）
16．（10分）计算与化简：
（1）（1+）0+（）﹣1+2•cos30°；
（2）（a﹣）÷．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2+2×
＝1+2+
＝3+；
（2）原式＝•
＝•
＝．
17．（9分）为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛，该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级：74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
50≤x＜59
60≤x＜69
70≤x＜79
80≤x＜89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 2 ，m＝ 88.5 ，n＝ 89 ．
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 460 人．
【分析】（1）根据总数据可得a的值，根据中位数和众数的定义可得m和n的值；
（2）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得；
（3）分别计算该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的人数，相加可得结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣3﹣8﹣6＝2，
将八年级的成绩从小到大排列后处在第10、11位的数是88，89，因此中位数是（88+89）÷2＝88，
八年级成绩出现次数最多的是89，共出现4次，因此众数是8，
故答案为：2，88.5，89．
（2）八年级成绩较好，理由是：①从中位数上看八年级中位数数是88.5比七年级的77要高，说明八年级成绩较好，
②从众数上看八年级的众数是89而七年级的众数是74，八年级成绩比七年级好；
（3）400×+400×＝460人，
则估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有460人．
故答案为：460．
18．（9分）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上），求教学楼AB的高度（sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
【分析】首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°＝，求出即可；
【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x，
∴BC＝BF+FC＝x+13，
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，
tan22°＝，
则≈，
解得：x≈12．
即教学楼的高约为12m．
19．（9分）如图，在△ABC中；AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E，F，且CF＝AC．
（1）求证：△ABF是直角三角形；
（2）当AC＝6时，求BF的长度．
【分析】（1）连接CD，根据切线的性质得到CD⊥AB，根据CD＝AC，得出∠A＝30°，进而求出∠ACB的度数，证明△BCD≌△BCF，可得∠BFC＝∠BDC＝90°，证明结论；
（2）根据含30度的直角三角形的性质求出AD，根据BF＝AD，求出BF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵CF＝AC，
∴CD＝CF＝AC，
∴∠A＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∴∠BCD＝∠BCF＝60°，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴△ABF是直角三角形；
（2）解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝BF，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝6，
∴CD＝AC＝3，
∴AD＝CD＝3，
∴BF＝3．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x﹣2与双曲线y2＝交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA＝AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
【分析】（1）作高线AD，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x＝2x﹣2，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点C的坐标，根据图象可得结论．
【解答】解：（1）∵点A在直线y1＝2x﹣2上，
∴设A（x，2x﹣2），
过A作AD⊥OB于D，
∵AB⊥OA，且OA＝AB，
∴OD＝BD，
∴AD＝OB＝OD，
∴x＝2x﹣2，
x＝2，
∴A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴；
（2）∵，解得：，，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
21．（9分）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格
价格
型号
进价（元/部）
售价（元/部）
A
3000
3400
B
3500
4000
某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，
，
解得，，
答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机（30﹣x）部，获得的利润为w元，
w＝（3400﹣3000）x+（4000﹣3500）（30﹣x）＝﹣100x+15000，
∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
∴30﹣x≤2x，
解得，x≥10，
∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20，
答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
22．（10分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；
（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；
②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得﹣2m+3＝﹣7，解之可得；
（3）由开口向上及函数值都不小于1可得，解之即可．
【解答】解：（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，
∴对称轴方程为x＝1．
（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴n＝﹣2m+3．
②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．
∴m＝5．
（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．
依题可得
解得
∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．
23．（10分）“类比”是数学中常用的数学方法，在数学课上，小星遇到了如下问题：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB上一点（D不与B和AB中点重合），以CD为直角边在其右侧作等腰Rt△CDE．试求：（1）∠CBE的度数；（2）BC+BE与DB的数量关系．
一筹莫展之际，小星想到了一个类似的问题：
如图2，等腰Rt△CDE和等腰Rt△CMB中，∠CDE＝∠CMB＝90°，连接DM，BE…，请你完成接下来的探索：
①在图2中，DM与EB的数量关系是 ，∠CMD和图中 ∠CBE 的相等（填角的名称）．
②请你就图1，完成题中的两个问题：
（1）∠CBE的度数；
（2）BC+BE与DB的数量关系．请写出结论并且写出证明求解过程．
③拓展延伸：在图1中，若AC＝4，当sin∠BCE＝时，直接写出AD的长．
【分析】①由等腰直角三角形的性质得∠DCE＝∠BCM＝45°，，，从而说明△CDM∽△CEB，得，∠CMD＝∠CBE，即可得出答案；
②（1）过C作CM⊥AB于M，由①同理得△CDM∽△CEB，得∠CMD＝∠CBE＝90°；
（2）由△CDM∽△CEB，得BE＝DM，则BC+BE＝BM++DM＝BD；
③根据sin∠BCE＝，设BE＝x，CE＝5x，由勾股定理得，BC＝2x＝4，求出BE＝2，由（1）知，BE＝DM，从而解决问题．
【解答】解：①∵△CDE和△CMB都是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠BCM＝45°，，，
∴∠DCM＝∠BCE，，
∴△CDM∽△CEB，
∴，∠CMD＝∠CBE，
∴BE＝DM，
故答案为：，∠CBE；
②（1）过C作CM⊥AB于M，
∵△ABC是等腰直角三角形，CM⊥AB，
∴CM＝BM，∠CMB＝90°，
由①同理得△CDM∽△CEB，
∴∠CMD＝∠CBE＝90°，
（2）BC+BE＝BD，理由如下：
∵△CDM∽△CEB，
∴BE＝DM，
∴BC+BE＝BM++DM＝BD；
③在△ABC中，∵AC＝4，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝4，AB＝AC＝4，
在Rt△BCE中，∵sin∠BCE＝，
设BE＝x，CE＝5x，
由勾股定理得，BC＝2x＝4，
∴x＝2，
∴BE＝2，
由（1）知，BE＝DM，
∴DM＝，
∴AD＝AM﹣DM＝AB﹣＝．
相关试卷
2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年河南省郑州市中原区领航实验学校九年级（上）第二次调研数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市中原区七年级（上）期末数学试卷（含答案解析）： 这是一份2022-2023学年河南省郑州市中原区七年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年河南省郑州市中原区九年级（上）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
