2021-2022学年河南省郑州市九年级(上)期中数学试卷 解析版
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一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的,将正确选项的代号字母填人题后括号内.
1.(3分)下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2﹣x=x2+5 B.ax2+bx+c=0
C.(x﹣3)(x﹣2)=2 D.3x2﹣2xy﹣3y2=0
2.(3分)在平行投影下,矩形的投影不可能是( )
A. B. C. D.
3.(3分)下列说法中,错误的是( )
A.全等图形一定是相似图形
B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个直角三角形一定相似
4.(3分)若方程x2+kx﹣6=0的一个根是﹣3,则k的值是( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2
5.(3分)矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.对角线平分一组对角
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
6.(3分)如图,D是△ABC边AB上一点,添加一个条件后,仍不能使△ACD∽△ABC的是( )
A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C. D.AC2=AD•AB
7.(3分)下列方程中,没有实数根的是( )
A.x2﹣3x=0 B.x2﹣6x+10=0 C.x2﹣6x+9=0 D.x2=1
8.(3分)如图,下面方格纸中小正方形边长均相等.△ABC和△DEP的各顶点均为格点(小正方形的顶点),若△ABC∽△PDE且两三角形不全等,则P点所在的格点为( )
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
9.(3分)如图,矩形ABCD中,点E为BC中点,点P为线段BE上一个动点,连接AP,DP,AB=4,BC=10,当∠APD=90°时,AP的长为( )
A.5 B. C. D.
10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的对角线OB上有P,Q两个动点,且PQ=2,已知,点,∠AOC=60°,当△CPQ周长最小时,点P的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)若,则= .
12.(3分)在一个不透明的袋子中装有5个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.75附近,则袋子中红球约有 个.
13.(3分)如图,直线A1A∥BB1∥CC1,若AB=8,BC=4,A1B1=6,则线段B1C1的长是 .
14.(3分)如图,已知直角坐标系中,点A(﹣6,3),B(﹣1,﹣1),以O为位似中心,按比例尺3:1把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标为 .
15.(3分)如图,正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点P为边AB上一个动点,连接PE,以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE,点B的对应点为点F,若AB=4,当射线EF经过正方形ABCD边的中点(不包括点E)时,BP的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(10分)(1)请你用公式法解方程:2x2﹣4x﹣1=0;
(2)请你用因式分解法解方程:x2﹣3x+2=0.
17.(9分)2021年7月20日8时至17时,郑州市出现大暴雨,局部特大暴雨,郑州市区出现大面积积水,积水退去后,小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作,特招募社区抗涝志愿工作者.小明和小亮决定报名参加,根据规定,志愿者会被随机分到A(淤泥清理),B(垃圾搬运),C(街道冲洗),D(消毒灭杀)其中一组.
(1)小明被分到A组的概率为 ;
(2)请利用画树状图或列表的方法求小明和小亮被分到同一组的概率.
18.(9分)小红站在校园围墙EF外的C点恰好看到校内树AB的顶端A,小红的眼睛D、围墙的顶端E和树的顶端A在一条直线上,已知CD=1.5m,EF=2.5m,CF=4m,BF=25m,求树AB的高度.
19.(9分)把边长为1厘米的10个相同正方体摆成如图的形状.
(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图;
(2)直接写出该几何体的表面积为 cm2;
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体,并保持这个几何体的左视图和俯视图不变,那么最多可以再添加 个小正方体.
20.(9分)已知:关于x的一元二次方程(m﹣2)x2﹣(m+2)x+4=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)如果m为正整数,且方程的两个根为不相等的正整数,求m的值.
21.(9分)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,直线MN经过C点垂直于AB,垂足为D.
(1)求证:△ADC∽△BDC;
(2)若直线MN从图1的位置绕M点逆时针旋转,如图2,设旋转的角度为α(0<α<180°),作AP⊥MN,垂足为P,BQ⊥MN,垂足为Q.
①当α的度数为 时,点A,P,B,Q构成的四边形为平行四边形;
②当α的度数为 时,点A,P,B,Q构成的四边形为矩形.
22.(10分)如图,矩形ABCD中,长AB和宽AD的长度分别是方程x2﹣18x+80=0的两个根,点E为AD上一个动点,将△CDE沿CE折叠得到△CFE,点D的对应点为F.
(1)求AB与CD的长;
(2)当点F恰好落在AB边上时,
①求DE的长;
②动点M从点F出发沿FC向C点匀速运动,速度为每秒2个单位长度,同时动点N以每秒1个单位长度的速度从C点出发,沿CB匀速向B点运动,当点M到达C点时,两点同时停止运动,设运动时间为t,若以M,N,C为顶点的三角形与△AEF相似时,求t的值.
23.(10分)(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,点E为AB上一点,以BE为直角边,点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD,连接CE并延一,长交AD于点F,则∠CFA的度数为 ,= .
(2)如图2,在(1)的条件下,若点E为平面内任意一点,以BE为直角边,点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD,连接CE并延长交直线AD于点F,则(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若CE=2,请直接写出BD的取值范围.
2021-2022学年河南省郑州市九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的,将正确选项的代号字母填人题后括号内.
1.(3分)下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2﹣x=x2+5 B.ax2+bx+c=0
C.(x﹣3)(x﹣2)=2 D.3x2﹣2xy﹣3y2=0
【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,未知数最高次数为2次,这样的整式方程为一元二次方程,即可做出判断.
【解答】解:A.方程整理得﹣x=5,是一元一次方程,故此选项不符合题意;
B.当a=0时,该方程不是一元二次方程,故此选项不符合题意;
C.是一元二次方程,故此选项符合题意;
D.方程中含有两个未知数,不是一元二次方程,故此选项不符合题意.
故选:C.
2.(3分)在平行投影下,矩形的投影不可能是( )
A. B. C. D.
【分析】根据平行投影得出矩形的投影图形解答即可.
【解答】解:在平行投影下,矩形的投影可能是直线、矩形、平行四边形,
不可能是直角梯形,
故选:A.
3.(3分)下列说法中,错误的是( )
A.全等图形一定是相似图形
B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个直角三角形一定相似
【分析】直接利用相似图形的定义得出答案.
【解答】解:A、全等图形一定是相似图形,正确,不合题意;
B、两个等边三角形一定相似,正确,不合题意;
C、两个等腰直角三角形一定相似,正确,不合题意;
D、两个直角三角形不一定相似,原说法错误,故此选项符合题意.
故选:D.
4.(3分)若方程x2+kx﹣6=0的一个根是﹣3,则k的值是( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2
【分析】把x=﹣3代入方程得出9﹣3k﹣6=0,求出k的值即可.
【解答】解:把x=﹣3代入方程x2+kx﹣6=0得:9﹣3k﹣6=0,
解得:k=1,
故选:B.
5.(3分)矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.对角线平分一组对角
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
【分析】利用矩形与菱形的性质即可解答本题.
【解答】解:A.因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形,所以矩形与菱形的两组对边分别平行,故A不符合题意;
B.菱形的对角线平分对角,而矩形不是,故B不符合题意;
C.菱形的对角线对角线互相垂直,而矩形不是,故C不符合题意;
D.矩形的对角线相等,而菱形不是,故D符合题意;
故选:D.
6.(3分)如图,D是△ABC边AB上一点,添加一个条件后,仍不能使△ACD∽△ABC的是( )
A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C. D.AC2=AD•AB
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.
【解答】解:A、当∠ACD=∠B时,再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此选项不合题意;
B、当∠ADC=∠ACB时,再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此选项不合题意;
C、当时,无法得出△ACD∽△ABC,故此选项符合题意;
D、当AC2=AD•AB时,即,再由∠A=∠A,可得出△ACD∽△ABC,故此选项不合题意;
故选:C.
7.(3分)下列方程中,没有实数根的是( )
A.x2﹣3x=0 B.x2﹣6x+10=0 C.x2﹣6x+9=0 D.x2=1
【分析】分别计算每个方程根的判别式的值,从而得出答案.
【解答】解:A.此方程根的判别式Δ=(﹣3)2﹣4×1×0=9>0,有两个不相等的实数根,不符合题意;
B.此方程根的判别式Δ=(﹣6)2﹣4×1×10=﹣4<0,没有实数根,符合题意;
C.此方程根的判别式Δ=(﹣6)2﹣4×1×9=0,有两个相等的实数根,不符合题意;
D.此方程根的判别式Δ=02﹣4×1×(﹣1)=4>0,有两个不相等的实数根,不符合题意;
故选:B.
8.(3分)如图,下面方格纸中小正方形边长均相等.△ABC和△DEP的各顶点均为格点(小正方形的顶点),若△ABC∽△PDE且两三角形不全等,则P点所在的格点为( )
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
【分析】根据对应边成比例夹角相等两三角形相似即可判断.
【解答】解:如图,连接EP4.
∵AB=2,BC=1,DE=2,P4D=4,
∴==,
∵∠ABC=∠D=90°,
∴△ABC∽△P4DE(不全等),
故选:D.
9.(3分)如图,矩形ABCD中,点E为BC中点,点P为线段BE上一个动点,连接AP,DP,AB=4,BC=10,当∠APD=90°时,AP的长为( )
A.5 B. C. D.
【分析】先根据矩形的性质求出矩形各边的长,设BP=x,再根据勾股定理求出AP即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,AB=CD=4,
设BP=x,则CP=10﹣x,
在Rt△ABP中,
AP2=AB2+BP2=16+x2,
在Rt△DCP中,
DP2=CP2+DC2=16+(10﹣x)2,
∵∠APD=90°,
在Rt△APD中,
AD2=AP2+DP2,
100=16+x2+16+(10﹣x)2,
解得:x1=2,x2=8,
∵点E为BC中点,点P为线段BE上一个动点,
∴BP=2,
∴AP==2.
故选:D.
10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的对角线OB上有P,Q两个动点,且PQ=2,已知,点,∠AOC=60°,当△CPQ周长最小时,点P的坐标为( )
A. B. C. D.
【分析】作CD∥PQ,CD=PQ,连接DP,AC交OB于E,由平行四边形和菱形的性质得CQ=PD,CP=AP,要使△CPQ周长最小,只要AP+DP的最小,即为A、D、P三点共线,然后利用含30°角的直角三角形的性质求出点D的坐标即可解决问题.
【解答】解:如图,作CD∥PQ,CD=PQ,连接DP,AC交OB于E,
则四边形CQPD是平行四边形,
∴CQ=PD,
∵四边形OABC是菱形,
∴CP=AP,
∴CP+CQ+PQ=AP+DP+2,
则连接AD交OB于P',此时AP+DP的最小值为AD的长,
∵∠AOC=60°,四边形OABC是菱形,
∴∠CBO=∠ABC=30°,∠ACB=∠ABC=∠AOC=60°,AC⊥OB,
∵CD∥OB,
∴∠DCB=∠CBO=30°,
过点B作BH⊥x轴于H,
∵点,
∴OA=AB=2,
∴BH=3,
∵∠DCB=30°,
∴点D的横坐标为+=2,纵坐标为3+1=4,
∴D(2,4),
∵OB∥CD,点E为AC的中点,
∴点P'为AD的中点,
∴P'(2,2),
故选:B.
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(3分)若,则= .
【分析】根据比例的性质得出=,再把要求的式子化成1﹣,然后代值计算即可得出答案.
【解答】解:∵,
∴=,
∴=1﹣=1﹣=.
故答案为:.
12.(3分)在一个不透明的袋子中装有5个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.75附近,则袋子中红球约有 15 个.
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球,利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可.
【解答】解:设袋中红球有x个,
根据题意,得:=0.75,
解得:x=15,
经检验:x=15是分式方程的解,
所以袋中红球有15个,
故答案为:15.
13.(3分)如图,直线A1A∥BB1∥CC1,若AB=8,BC=4,A1B1=6,则线段B1C1的长是 3 .
【分析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式,利用比例的基本性质即可得解.
【解答】解:∵A1A∥BB1∥CC1,
∴,
∵AB=8,BC=4,A1B1=6,
∴B1C1=3.
14.(3分)如图,已知直角坐标系中,点A(﹣6,3),B(﹣1,﹣1),以O为位似中心,按比例尺3:1把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标为 (﹣2,1)或(2,﹣1) .
【分析】利用位似变换的性质分两种情形求解即可.
【解答】解:当点A′在第二象限时,A′(﹣2,1),
当点A′在第四象限时,A′(2,﹣1).
故答案为:(﹣2,1)或(2,﹣1).
15.(3分)如图,正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点P为边AB上一个动点,连接PE,以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE,点B的对应点为点F,若AB=4,当射线EF经过正方形ABCD边的中点(不包括点E)时,BP的长为 2或2﹣2 .
【分析】EF不能经过CD的中点,分两种情况:①当EF过AD中点G时,可得四边形ABEG是矩形,又以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE,可证△BPE是等腰直角三角形,故BP=BE=2;②当EF过AB中点H时,可得HE==2,HF=HE﹣EF=2﹣2,设BP=x,则PF=x,HP=2﹣x,由勾股定理可得BP=2﹣2(也可由等腰直角三角形推得BP=2﹣2).
【解答】解:∵点P为边AB上一个动点,
∴EF只能经过AD或AB的中点,
①当EF过AD中点G时,如图:
∵AG=BE=2,AG∥BE,∠B=90°,
∴四边形ABEG是矩形,
∴∠BEG=90°,
∵以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE,
∴∠BEP=∠FEP=45°,
∴△BPE是等腰直角三角形,
∴BP=BE=2;
②当EF过AB中点H时,如图:
∵BE=BH=2,∠B=90°,
∴HE==2,
∵以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE,
∴EF=BE=2,
∴HF=HE﹣EF=2﹣2,
设BP=x,则PF=x,HP=2﹣x,
在Rt△HPF中,HF2+PF2=HP2,
∴(2﹣2)2+x2=(2﹣x)2,
解得x=2﹣2,
∴BP=2﹣2.
故答案为:2或2﹣2.
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(10分)(1)请你用公式法解方程:2x2﹣4x﹣1=0;
(2)请你用因式分解法解方程:x2﹣3x+2=0.
【分析】(1)根据公式法即可求出答案.
(2)根据因式分解法即可求出答案.
【解答】解:(1)∵2x2﹣4x﹣1=0,
∴a=2,b=﹣4,c=﹣1,
∴△=16+8=24>0,
∴x===,
x1=,x2=
(2)∵x2﹣3x+2=0,
∴(x﹣1)(x﹣2)=0,
∴x﹣1=0或x﹣2=0,
∴x1=1或x2=2.
17.(9分)2021年7月20日8时至17时,郑州市出现大暴雨,局部特大暴雨,郑州市区出现大面积积水,积水退去后,小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作,特招募社区抗涝志愿工作者.小明和小亮决定报名参加,根据规定,志愿者会被随机分到A(淤泥清理),B(垃圾搬运),C(街道冲洗),D(消毒灭杀)其中一组.
(1)小明被分到A组的概率为 ;
(2)请利用画树状图或列表的方法求小明和小亮被分到同一组的概率.
【分析】(1)根据概率公式直接得出答案;
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数,小明和小亮被分到同一组的结果数为4,再根据概率公式求解可得.
【解答】解:(1)小明被分到A组的概率为;
故答案为:;
(2)根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中小明和小亮被分到同一组的结果有4种,
则小明和小亮被分到同一组的概率是=.
18.(9分)小红站在校园围墙EF外的C点恰好看到校内树AB的顶端A,小红的眼睛D、围墙的顶端E和树的顶端A在一条直线上,已知CD=1.5m,EF=2.5m,CF=4m,BF=25m,求树AB的高度.
【分析】如图,过点D作DN⊥AB于N,交EF于点M,构造相似三角形△DEM∽△DAN,结合相似三角形的性质求得相关线段的长度.
【解答】解:如图,过点D作DN⊥AB于N,交EF于点M,
由题意知,MN=FB=25m,DM=CF=4m,NB=MF=DC=1.5m,则EM=1.
∵EM∥AN,
∴△DEM∽△DAN.
∴=.
∴AN===7.25(m).
∴AB=AN+NB=7.25+1.5=8.75(m).
所以树AB的高度为8.75m.
19.(9分)把边长为1厘米的10个相同正方体摆成如图的形状.
(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图;
(2)直接写出该几何体的表面积为 32 cm2;
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体,并保持这个几何体的左视图和俯视图不变,那么最多可以再添加 4 个小正方体.
【分析】(1)根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形即可;
(2)三视图的面积和的2倍,再加上被挡住的面即可;
(3)利用俯视图,在相应的位置上增加小立方体,使左视图和俯视图不变,直至最多.
【解答】解:(1)这个几何体三个视图如图所示:
(2)(6+6+6)×2+2=38(cm2).
故该几何体的表面积为32cm2.
故答案为:32;
(3)这个几何体的左视图和俯视图不变,在俯视图上,标上该位置放小立方体的个数(+后面的数是可以增加的数),
因此最多可以再添加4个小正方体.
故答案为:4.
20.(9分)已知:关于x的一元二次方程(m﹣2)x2﹣(m+2)x+4=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)如果m为正整数,且方程的两个根为不相等的正整数,求m的值.
【分析】(1)计算判别式的值得到Δ=(m+2)2≥0,然后根据判别式的意义得到结论;
(2)利用分解因式法解一元二次方程,可得出方程的解,根据方程的两个根为不相等的正整数结合m为正整数,即可求出m的值.
【解答】(1)证明:由一元二次方程得m﹣2≠0,
Δ=(m+2)2﹣4(m﹣2)
=m2+4m﹣4m+8
=m2+4≥0,
∴方程总有两个实数根;
(2)解:(m﹣2)x2﹣(m+2)x+4=0,即[(m﹣2)x﹣4](x﹣1)=0,
解得:x1=,x2=1.
∵方程的两个根为不相等的正整数,
∴m=4或5.
21.(9分)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,直线MN经过C点垂直于AB,垂足为D.
(1)求证:△ADC∽△BDC;
(2)若直线MN从图1的位置绕M点逆时针旋转,如图2,设旋转的角度为α(0<α<180°),作AP⊥MN,垂足为P,BQ⊥MN,垂足为Q.
①当α的度数为 30° 时,点A,P,B,Q构成的四边形为平行四边形;
②当α的度数为 90° 时,点A,P,B,Q构成的四边形为矩形.
【分析】(1)由CD⊥AB,∠ACB=90°可证明∠ADC=∠CDB=90°,∠A=∠DCB,则△ADC∽△BDC;
(2)①作CE⊥AB于点E,则CE所在直线就是直线MN开始的位置,四边形APBQ是平行四边形,则AP=BQ,可证明△DAP≌△DBQ,得AD=BD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明CD=AD,∠ACD=∠BAC=60°,可求出旋转角的度数;
②作CE⊥AB于点E,则CE所在直线就是直线MN开始的位置,四边形APQB是矩形,则∠ABQ=90°,可证明四边形CEBQ是矩形,求出旋转角的度数.
【解答】(1)证明:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠A=90°﹣∠ACD=∠DCB,
∴△ADC∽△BDC.
(2)解:①如图2,四边形APBQ是平行四边形,
作CE⊥AB于点E,则CE所在直线就是直线MN开始的位置,
∵AP⊥MN,BQ⊥MN,
∴AP∥BQ,
∴∠DAP=∠DBQ,∠DPA=∠DQB,
∵AP=BQ,
∴△DAP≌△DBQ(ASA),
∴AD=BD,
∵∠ACB=90°,
∴CD=AB=AD,
∵∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠BAC=60°,
∵∠AEC=90°,
∴∠ACE=30°,
∴α=∠DCE=60°﹣30°=30°,
故答案为:30°.
②如图2,四边形APQB是矩形,则∠ABQ=90°,
作CE⊥AB于点E,则CE所在直线就是直线MN开始的位置,
∵BQ⊥MN,
∴∠EBQ=∠BQC=∠CEB=90°,
∴四边形CEBQ是矩形,
∴α=∠ECQ=90°,
故答案为:90°.
22.(10分)如图,矩形ABCD中,长AB和宽AD的长度分别是方程x2﹣18x+80=0的两个根,点E为AD上一个动点,将△CDE沿CE折叠得到△CFE,点D的对应点为F.
(1)求AB与CD的长;
(2)当点F恰好落在AB边上时,
①求DE的长;
②动点M从点F出发沿FC向C点匀速运动,速度为每秒2个单位长度,同时动点N以每秒1个单位长度的速度从C点出发,沿CB匀速向B点运动,当点M到达C点时,两点同时停止运动,设运动时间为t,若以M,N,C为顶点的三角形与△AEF相似时,求t的值.
【分析】(1)解一元二次方程即可求解;
(2)①根据折叠的性质得出AF,进而利用直角三角形的性质解答即可;
②根据相似三角形的判定和性质解答即可.
【解答】解:(1)∵长AB和宽AD的长度分别是方程x2﹣18x+80=0的两个根,
可得(x﹣10)(x﹣8)=0,
解得:x1=10,x2=8,
即AB=10,AD=8;
(2)①由折叠可得,CF=CD=AB=10,而BC=AD=8,
∴BF=6,
∴AF=10﹣6=4,
设DE=EF=x,则AE=8﹣x,
在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,
∴(8﹣x)2+42=x2,
解得:x=5,
∴DE=5;
②∵∠EFA+∠BFC=90°,∠BCF+∠BFC=90°,
∴∠EFA=∠BCF,
由①可得,AE=3,AF=4,EF=5,
∵CN=t,FM=2t,
∴MC=10﹣2t,
a:当∠MNC=∠EAF=90°时,△AEF∽△NMC,
∴,
即,
解得:t=;
b:当∠NMC=∠EAF=90°时,△AEF∽△MNC,
∴,
即,
解得:t=,
综上所述,当t=或时,以M,N,C为顶点的三角形与△AEF相似.
23.(10分)(1)如图1,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,点E为AB上一点,以BE为直角边,点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD,连接CE并延一,长交AD于点F,则∠CFA的度数为 45° ,= .
(2)如图2,在(1)的条件下,若点E为平面内任意一点,以BE为直角边,点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD,连接CE并延长交直线AD于点F,则(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若CE=2,请直接写出BD的取值范围.
【分析】(1)证明△CBE∽△ABD,可得结论;
(2)结论不变,证明△CBE∽△ABD,可得结论;
(3)求出BE的取值范围,可得结论.
【解答】解:(1)如图1中,
∵△ACB,△BDE都是等腰直角三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=45°,
∴==,
∴△CBE∽△ABD,
∴==,∠ECB=∠BAD,
∵∠CEB=∠AEF,
∴∠AFE=∠CBE=45°,
故答案为:45°,;
(2)如图2中,结论成立.
理由:设AB交CF于点J.
∵△ACB,△BDE都是等腰直角三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=45°,
∴==,∠CBE=∠ABD,
∴△CBE∽△ABD,
∴==,∠ECB=∠BAD,
∵∠CJB=∠AJF,
∴∠AFE=∠CBE=45°,
(3)如图3中,
∵CE=2,CB=4,
∴4﹣2≤BE≤2+4,
∴2≤BE≤6,
∵BD=BE,
∴2≤BD≤6.
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