二轮大题重难点专题三 空间几何体的综合问题（含解析）

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专题三   空间几何体的综合问题总分：70分   建议用时：60分钟三、解答题17、如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．     18、如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．      19、如图①，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图②所示的二面角，且二面角的大小为60°，点M在线段AB上(包含端点)，连接AD.(1)若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求此时二面角M­EC­F的余弦值；若不存在，说明理由． 20、如图，在四棱锥中，平面，四边形是等腰梯形分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积.   21、如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 22、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.  答案解析 17、解析：(1)证明：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，设F(1,2，h)．依题意，＝(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又＝(0,2，h)，可得·＝0，又直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.(2)依题意，D(0,1,0)，E(0,0,2)，C(1,2,0)，则＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(－1，－2,2)．设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(2,2,1)．因此有cos〈，n〉＝＝－.所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1＝1，可得m＝.由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得h＝.经检验，符合题意．所以线段CF的长为.18、【解】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FG∥AB，且FG＝AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE＝AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG.因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE.19、【答案】见解析【解析】：(1)因为直线MF⊂平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线(即直线AE)上(如图所示)．因为AO∥BF，M为AB的中点，所以△OAM≌△FBM，所以OM＝MF，AO＝BF，所以AO＝2.故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2.连接DF，交EC于点N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点．连接MN，则MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，又MN⊂平面EMC，OD⊂/ 平面EMC，所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得EF⊥AE，EF⊥DE，又AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE.所以平面ABFE⊥平面ADE，易知△ADE为等边三角形，取AE的中点H，则易得DH⊥平面ABFE，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(－1，0，0)，D(0，0，)，C(0，4，)，F(－1，4，0)，所以＝(1，0，)，＝(1，4，)．设M(1，t，0)(0≤t≤4)，则＝(2，t，0)，设平面EMC的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒取y＝－2，则x＝t，z＝，所以m＝为平面EMC的一个法向量．要使直线DE与平面EMC所成的角为60°，则＝，所以＝，整理得t2－4t＋3＝0，解得t＝1或t＝3，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°，取ED的中点Q，连接QA，则为平面CEF的法向量，易得Q，A(1，0，0)，所以＝.设二面角M－EC－F的大小为θ，则|cos θ|＝＝＝.因为当t＝2时，cos θ＝0，平面EMC⊥平面CDEF，所以当t＝1时，cos θ＝－，θ为钝角；当t＝3时，cos θ＝，θ为锐角．综上，二面角M－EC－F的余弦值为±.20、【答案】（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）连接，显然且，∴四边形为平行四边形，且，是正三角形，，又平面平面,平面，又平面，∴平面平面. （2）连接，易知.建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，.设平面的法向量为，，即令，而平面的一个法向量为， 解得，所以. 21、【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥．又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．当三棱锥体积最大时，为的中点．由题设得，，，，，，，设是平面的法向量，则即可取．是平面的法向量，因此，，所以面与面所成二面角的正弦值是． 22、【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又已知，，所以平面.（III）解：连接，由（II）中平面，可知为直线与平面所成的角.因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，，所以，直线与平面所成角的正弦值为.