还剩26页未读，
继续阅读
2021-2022学年四川省绵阳市安州区九年级（上）期末数学试卷 解析版
展开
这是一份2021-2022学年四川省绵阳市安州区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省绵阳市安州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案，只有一个答案符合题目要求。）
1．（3分）对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．抛物线与x轴无交点
D．抛物线的顶点坐标是（1，2）
2．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
4．（3分）已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
5．（3分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
6．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
7．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．（3分）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．
A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．π﹣2 C．1 D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0；⑤a﹣b≤an2+bn（n是常数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3从大到小的排列是 ．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
17．（4分）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
18．（4分）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我们称4是第2组第1个数字，16是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝ ．
三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程和推理步骤）
19．（16分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．
20．（12分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y＝（k＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
23．（12分）我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．
（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不高于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？
24．（12分）如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，下表给出了抛物线y＝ax2+bx+c上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
…
y
…
0
3
3
0
…
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线y＝﹣2x+3与抛物线交于B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）如图：A为抛物线与x轴的一个交点，在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年四川省绵阳市安州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案，只有一个答案符合题目要求。）
1．（3分）对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．抛物线与x轴无交点
D．抛物线的顶点坐标是（1，2）
【分析】根据二次函数的性质，二次函数的顶点式即可判断；
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（1，2），
∵抛物线顶点（1，2），开口向上，
∴抛物线与x轴没有交点，
∵1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而曾大，
故A、C、D正确．
故选：B．
2．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（3分）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3＝6π，
那么＝6π，
解得n＝180°．
故选：D．
5．（3分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
【分析】由根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，
∴α2+3α＝6，
由根系数的关系可知：α+β＝﹣3，
∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15
故选：B．
6．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
7．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝2．
∴正方形的边长是2，
故选：B．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
9．（3分）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．
A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC＝BC，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，
AC＝＝米，
∴AB＝2AC＝米，
又∵的长＝米，
∴走便民路比走观赏路少走（）米，
故选：D．
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，
令y＝0，则x＝﹣5或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．π﹣2 C．1 D．
【分析】根据切线的性质得到EC＝EF，根据勾股定理列出方程求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：假设AE与BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴EC与BC为直径的半圆相切，
∴EC＝EF，
∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2，
解得：CE＝，
∴DE＝2﹣＝，
∴阴影部分的面积＝22﹣×π×12﹣×2×＝，
故选：D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0；⑤a﹣b≤an2+bn（n是常数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．
【解答】解：①∵y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，所以正确；
②由题意可知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为x＝﹣＝＞﹣，
∴﹣＜﹣＜0，
∴0＜，
∴对称轴x＝﹣＜0，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正确；
③由一元二次方程根与系数的关系知x1•x2＝，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，
④由4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而0＜c＜2，
∴﹣1＜﹣，
∴﹣1＜2a﹣b＜0，
∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确；
⑤∵抛物线开口向下，﹣＜﹣＜0，
∴x＝﹣1时的函数值，不是最大值，
∴a﹣b≤an2+bn（n是常数）不成立，
所以结论错误；
故正确结论的个数是4个．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠﹣2 ．
【分析】根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤且m≠﹣2．
故答案为：m≤且m≠﹣2．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3从大到小的排列是 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 12 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，最终得到答案BM＝BO+OM＝1+．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝2＝CM＝2，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，
∴BM＝BO+OM＝1+，
故答案为：1+．
17．（4分）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 2 ．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y＝﹣x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y＝﹣x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝5，
∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC（AAS），
∴AP＝OB＝3，
∴PQ＝＝2．
∵PQ2＝PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．
18．（4分）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我们称4是第2组第1个数字，16是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝ 65 ．
【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【解答】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010﹣990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65，
故答案为：65．
三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程和推理步骤）
19．（16分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，1）；
（2）如图所示：
△A2B2C2，即为所求，点B2的坐标为：（﹣5，﹣1）．
20．（12分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率＝
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率＝＝
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为k，k+1，得出＝1+或＝1﹣，然后利用有理数的整除性确定k的整数值；
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k，k+1，
∴或，
如果1+为整数，则k为1的约数，
∴k＝±1，
如果1﹣为整数，则k+1为1的约数，
∴k+1＝±1，
则k为0或﹣2．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣2．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y＝（k＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点M、N的坐标利用待定系数法可求出直线l的解析式，根据点A为线段MN的中点可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法可求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义可求出S△OBC的面积，设点P的坐标为（a，﹣a+4），根据三角形的面积公式结合S△ONP的面积即可求出a值，进而即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将（3，0）、（0，4）代入y＝mx+n，
得，解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+4．
∵点A为线段MN的中点，
∴点A的坐标为（，2）．
将A（，2）代入y＝，
得k＝×2＝3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵S△OBC＝|k|＝，
∴S△ONP＝3S△OBC＝．
∵点N（0，4），
∴ON＝4．
设点P的坐标为（a，﹣a+4），则a＞0，
∴S△ONP＝ON•a＝2a，
∴a＝，
则﹣a+4＝﹣×+4＝1，
∴点P的坐标为（，1）．
23．（12分）我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．
（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不高于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？
【分析】（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，根据100×20000+超出100户的数量×5000≤投入资金，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝1500+1875，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，
根据题意得：100×20000+（y﹣100）×5000≤5000000，
解得：y≤700．
答：今年该镇最多有700户享受到优先搬迁奖励．
24．（12分）如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP．
【分析】（1）如图1中，先判断出∠A+∠BOF＝90°，再判断出∠COD＝∠EOD＝∠BOF，即可得出∠A+∠COD＝90°；
（2）如图2中，连接OC，首先证明FC＝FH，再证明点P在以F为圆心FC为半径的圆上即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OF⊥BC，
∴∠B+∠BOF＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A+∠BOF＝90°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠COD＝∠EOD＝∠BOF，
∴∠A+∠COD＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线，
（2）证明：如图2中，连接OC，
∵EF⊥HC，
∴CG＝GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC＝FH，
∵∠CFP＝∠COE，
∵∠COD＝∠DOE，
∴∠CFP＝∠COD，
∵∠CHP＝∠COD，
∴∠CHP＝∠CFP，
∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上，
∴FC＝FP＝FH，
∵DO＝OF，
∴DO+OP＝OF+OP＝FP＝CF，
即CF＝OP+DO．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，下表给出了抛物线y＝ax2+bx+c上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
…
y
…
0
3
3
0
…
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线y＝﹣2x+3与抛物线交于B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）如图：A为抛物线与x轴的一个交点，在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0），（，3），（0，3）三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3．
（2）∵直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（，0），
如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣2x+3），
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣（﹣2x+3）＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝EM•OC
＝×（﹣2x2+3x）×
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，即点E的坐标是（，）时，△BEC的面积最大，最大面积是．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由（2），可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，
∴x﹣（﹣1）＝，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，﹣3）；
②如图3，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣（﹣1）＝x﹣，
解得x＝2，
此时P（2，﹣3）；
③如图4，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣（﹣1）＝，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，2）；
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣，2）．
2021-2022学年四川省绵阳市安州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案，只有一个答案符合题目要求。）
1．（3分）对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．抛物线与x轴无交点
D．抛物线的顶点坐标是（1，2）
2．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
4．（3分）已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
5．（3分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
6．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
7．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．（3分）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．
A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．π﹣2 C．1 D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0；⑤a﹣b≤an2+bn（n是常数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3从大到小的排列是 ．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
17．（4分）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
18．（4分）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我们称4是第2组第1个数字，16是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝ ．
三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程和推理步骤）
19．（16分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．
20．（12分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y＝（k＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
23．（12分）我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．
（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不高于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？
24．（12分）如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，下表给出了抛物线y＝ax2+bx+c上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
…
y
…
0
3
3
0
…
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线y＝﹣2x+3与抛物线交于B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）如图：A为抛物线与x轴的一个交点，在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年四川省绵阳市安州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案，只有一个答案符合题目要求。）
1．（3分）对于抛物线y＝（x﹣1）2+2的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．抛物线与x轴无交点
D．抛物线的顶点坐标是（1，2）
【分析】根据二次函数的性质，二次函数的顶点式即可判断；
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（1，2），
∵抛物线顶点（1，2），开口向上，
∴抛物线与x轴没有交点，
∵1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而曾大，
故A、C、D正确．
故选：B．
2．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（3分）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．
【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3＝6π，
那么＝6π，
解得n＝180°．
故选：D．
5．（3分）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）
A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15
【分析】由根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，
∴α2+3α＝6，
由根系数的关系可知：α+β＝﹣3，
∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15
故选：B．
6．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
7．（3分）正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝2．
∴正方形的边长是2，
故选：B．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
9．（3分）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．
A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC＝BC，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，
在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，
AC＝＝米，
∴AB＝2AC＝米，
又∵的长＝米，
∴走便民路比走观赏路少走（）米，
故选：D．
10．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．
【解答】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，
把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，
解得：a＝，
当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，
此时抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3，
令y＝0，则x＝﹣5或1，
即点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．π﹣2 C．1 D．
【分析】根据切线的性质得到EC＝EF，根据勾股定理列出方程求出CE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：假设AE与BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴EC与BC为直径的半圆相切，
∴EC＝EF，
∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2，
解得：CE＝，
∴DE＝2﹣＝，
∴阴影部分的面积＝22﹣×π×12﹣×2×＝，
故选：D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0；⑤a﹣b≤an2+bn（n是常数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．
【解答】解：①∵y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，所以正确；
②由题意可知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为x＝﹣＝＞﹣，
∴﹣＜﹣＜0，
∴0＜，
∴对称轴x＝﹣＜0，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正确；
③由一元二次方程根与系数的关系知x1•x2＝，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，
④由4a﹣2b+c＝0得2a﹣b＝﹣，而0＜c＜2，
∴﹣1＜﹣，
∴﹣1＜2a﹣b＜0，
∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确；
⑤∵抛物线开口向下，﹣＜﹣＜0，
∴x＝﹣1时的函数值，不是最大值，
∴a﹣b≤an2+bn（n是常数）不成立，
所以结论错误；
故正确结论的个数是4个．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24）
13．（4分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤且m≠﹣2 ．
【分析】根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，
解得m≤且m≠﹣2．
故答案为：m≤且m≠﹣2．
14．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3从大到小的排列是 y3＜y1＜y2 ．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 12 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，最终得到答案BM＝BO+OM＝1+．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝2＝CM＝2，
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，
∴BM＝BO+OM＝1+，
故答案为：1+．
17．（4分）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 2 ．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y＝﹣x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y＝﹣x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝5，
∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC（AAS），
∴AP＝OB＝3，
∴PQ＝＝2．
∵PQ2＝PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．
18．（4分）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我们称4是第2组第1个数字，16是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝ 65 ．
【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【解答】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010﹣990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65，
故答案为：65．
三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程和推理步骤）
19．（16分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，1）；
（2）如图所示：
△A2B2C2，即为所求，点B2的坐标为：（﹣5，﹣1）．
20．（12分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率＝
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率＝＝
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为k，k+1，得出＝1+或＝1﹣，然后利用有理数的整除性确定k的整数值；
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k，k+1，
∴或，
如果1+为整数，则k为1的约数，
∴k＝±1，
如果1﹣为整数，则k+1为1的约数，
∴k+1＝±1，
则k为0或﹣2．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣2．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y＝（k＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．
【分析】（1）根据点M、N的坐标利用待定系数法可求出直线l的解析式，根据点A为线段MN的中点可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法可求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义可求出S△OBC的面积，设点P的坐标为（a，﹣a+4），根据三角形的面积公式结合S△ONP的面积即可求出a值，进而即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将（3，0）、（0，4）代入y＝mx+n，
得，解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+4．
∵点A为线段MN的中点，
∴点A的坐标为（，2）．
将A（，2）代入y＝，
得k＝×2＝3，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵S△OBC＝|k|＝，
∴S△ONP＝3S△OBC＝．
∵点N（0，4），
∴ON＝4．
设点P的坐标为（a，﹣a+4），则a＞0，
∴S△ONP＝ON•a＝2a，
∴a＝，
则﹣a+4＝﹣×+4＝1，
∴点P的坐标为（，1）．
23．（12分）我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．
（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不高于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？
【分析】（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，根据100×20000+超出100户的数量×5000≤投入资金，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝1500+1875，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，
根据题意得：100×20000+（y﹣100）×5000≤5000000，
解得：y≤700．
答：今年该镇最多有700户享受到优先搬迁奖励．
24．（12分）如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP．
【分析】（1）如图1中，先判断出∠A+∠BOF＝90°，再判断出∠COD＝∠EOD＝∠BOF，即可得出∠A+∠COD＝90°；
（2）如图2中，连接OC，首先证明FC＝FH，再证明点P在以F为圆心FC为半径的圆上即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OF⊥BC，
∴∠B+∠BOF＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A+∠BOF＝90°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠COD＝∠EOD＝∠BOF，
∴∠A+∠COD＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线，
（2）证明：如图2中，连接OC，
∵EF⊥HC，
∴CG＝GH，
∴EF垂直平分HC，
∴FC＝FH，
∵∠CFP＝∠COE，
∵∠COD＝∠DOE，
∴∠CFP＝∠COD，
∵∠CHP＝∠COD，
∴∠CHP＝∠CFP，
∴点P在以F为圆心FC为半径的圆上，
∴FC＝FP＝FH，
∵DO＝OF，
∴DO+OP＝OF+OP＝FP＝CF，
即CF＝OP+DO．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，下表给出了抛物线y＝ax2+bx+c上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
…
y
…
0
3
3
0
…
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，直线y＝﹣2x+3与抛物线交于B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）如图：A为抛物线与x轴的一个交点，在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0），（，3），（0，3）三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+x+3．
（2）∵直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（，0），
如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
则点M的坐标是（x，﹣2x+3），
∴EM＝﹣2x2+x+3﹣（﹣2x+3）＝﹣2x2+3x，
∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC
＝EM•OC
＝×（﹣2x2+3x）×
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，即点E的坐标是（，）时，△BEC的面积最大，最大面积是．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，AM∥PQ，AM＝PQ．
由（2），可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，
∴x﹣（﹣1）＝，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，﹣3）；
②如图3，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（，），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣（﹣1）＝x﹣，
解得x＝2，
此时P（2，﹣3）；
③如图4，由（2）知，可得点M的横坐标是，
∵点M在直线y＝﹣2x+3上，
∴点M的坐标是（），
又∵抛物线y＝﹣2x2+x+3的对称轴是直线x＝，
∴设点P的坐标是（x，﹣2x2+x+3），点Q的横坐标是，
∵点A的坐标是（﹣1，0），
∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣（﹣1）＝，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，2）；
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣，2）．
相关试卷
四川省绵阳市安州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)： 这是一份四川省绵阳市安州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省绵阳市安州区2023-2024学年数学九上期末达标检测模拟试题含答案： 这是一份四川省绵阳市安州区2023-2024学年数学九上期末达标检测模拟试题含答案，共8页。试卷主要包含了下列各组图形中，是相似图形的是，在平面直角坐标系中，点，对于函数，下列结论错误的是等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省绵阳市安州区示范学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省绵阳市安州区示范学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
