人教版高中数学高考一轮复习训练--三角函数的图象与性质

考点规范练20　三角函数的图象与性质

一、基础巩固

1.下列函数是周期为π的奇函数的是(　　)

A.y=sin xcos x B.y=sin2x

C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x

2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于(　　)

A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0

3.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(　　)

A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称

C.关于点对称 D.关于点对称

4.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω等于(　　)

A. B. C. D.

5.函数y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是(　　)

A. B.π C.2 D.

6.(多选)若函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=,则φ可能的取值为(　　)

A.- B.- C. D.

7.已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈,则x0等于(　　)

A. B. C. D.

8.(多选)已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值可能是(　　)

A. B. C. D.π

9.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是　　　　　. 

10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且f=1,则f(x)图象的对称中心是　　　　　. 

11.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最近的两个交点的距离为2,则ω=　　　　　. 

二、综合应用

12.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,且-<φ<,则函数y=fx+为(　　)

A.奇函数,且在区间内单调递增

B.偶函数,且在区间内单调递增

C.偶函数,且在区间内单调递减

D.奇函数,且在区间内单调递减

13.设函数f(x)=sin2x+x∈0,,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则2x1+3x2+x3的值为(　　)

A.π B. C. D.

14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,直线x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间内单调,则ω的最大值为(　　)

A.11 B.9 C.7 D.5

15.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是　　　　　　　. 

三、探究创新

16.已知函数f(x)=sin,其中x∈.当a=时,f(x)的值域是　　　　　　　;若f(x)的值域是,则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 

17.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<),给出以下四个论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-,0)内单调递增;③f(x)的图象关于点(,0)对称;④f(x)的图象关于直线x=对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出一个真命题(写成“p⇒q”的形式)　　　　　　　　　　. (用到的论断都用序号表示) 

考点规范练20　三角函数的图象与性质

1.A　y=sin xcos x=sin 2x是周期为π的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故选A.

2.B　由f=f知,函数图象关于直线x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.

3.B　∵函数f(x)的最小正周期为π,

=π,∴ω=2,∴f(x)=sin

则由2x+=kπ+(k∈Z),可得函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z);函数f(x)图象的对称中心的横坐标满足2x+=kπ(k∈Z),即x=-(k∈Z).

故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.

4.A　由题意,得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1==3,x2==6,故函数的周期为2×(6-3)=,得ω=,故选A.

5.A　因为y=cos(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是,故选A.

6.BD　因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=,所以2+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z),所以当k=0时,φ=;当k=1时,φ=;当k=-1时,φ=-

7.C　由题意可知f(x)=2sin,其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+=kπ(k∈Z),即x0=-(k∈Z).

又x0,故k=1,x0=,故选C.

8.ABC　∵f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1

=2sin xcos x-2cos2x+1=sin,

且a≤x≤b,∴2a-2x-2b-

∵-sin,即-1≤sin,

,min=,故b-a,故选ABC.

9　由题意,cos=sin,即sin,

+φ=2kπ+(k∈Z)或+φ=2kπ+(k∈Z).

因为0≤φ<π,所以φ=

10(k∈Z)　由题意得=4π,解得ω=,故f(x)=sin

由f=1,可得+φ=2kπ+(k∈Z),由|φ|<,可得φ=,故f(x)=sin

由x+=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-(k∈Z).

故f(x)图象的对称中心为点(k∈Z).

11　如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的大致图象.A,B为符合条件的两个交点.

则A,B由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=

12.D　因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z).

又-<φ<,则φ=-,于是y=f=cos2x+-=cos=-sin 2x,所以该函数为奇函数,且在区间内单调递减,故选D.

13.D　由题意x∈0,,则2x+,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.

由图可得,当a<1时,方程f(x)=a恰有三个根.

由2x+,得x=;由2x+,得x=

由图可知,点(x1,a)与点(x2,a)关于直线x=对称,点(x2,a)和点(x3,a)关于直线x=对称,所以x1+x2=,x2+x3=,所以2x1+3x2+x3=2(x1+x2)+(x2+x3)=

14.B　由题意得

解得φ=+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.

∵|φ|,∴φ=或φ=-

∵f(x)在区间内单调,

(T为周期),T,即,ω≤12.

∵ω>0,∴0<ω≤12.

若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9,若ω=9,则f(x)=sin在区间内单调递减,符合题意;

若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11,

若ω=11,则f(x)=sin在区间内单调递增,在区间内单调递减,不符合题意.

综上,ω的最大值为9.

15　由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin

当x时,-2x-,解得-sin(2x-)≤1,故f(x)

16　若-x,则-2x+,此时-sin1,即f(x)的值域是[-,1].若-x≤a,则-2x+2a+

因为当2x+=-或2x+时,sin=-,所以要使f(x)的值域是,则2a+,即2a≤π,所以a,即a的取值范围是

17.①④⇒②③或①③⇒②④　若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ).

同时若f(x)的图象关于直线x=对称,则sin(2+φ)=±1.

∵-<φ<,∴2+φ=,∴φ=,此时f(x)=sin2x+,②③成立,故①④⇒②③.

若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ),同时若f(x)的图象关于点(,0)对称,则2+φ=kπ(k∈Z).

∵-<φ<,∴φ=,此时f(x)=sin(2x+),②④成立,故①③⇒②④.