黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

2020-2021学年度下学期期中考试

高二文科数学试题

考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．，，若，则的取值集合为　　

A． B． C． D．

2．若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

4．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知复数在复平面内对应的向量分别为，则的模为（    ）

A． B． C．4 D．

6．在平面内，点到直线Ax+By+C=0的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点（2,1,2）到平面x+y+2z-1=0的距离为（   ）

A．3 B． C．              D．

7．设为正整数经计算得，观察上述结果，可推测出一般结论（    ）

A． B． C． D．

8．将参数方程，（为参数）化为普通方程得（    ）

A．y=x-2 B．y=x+2

C．y=x-2 D．y=x+2

9．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（    ）

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为

C．有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关

D．出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨

10．已知函数的导函数是，且满足，则（    ）

A．-e B．2 C．-2 D．e

11．函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C．和 D．和

12．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．若复数z＝(a∈R)的实部为3，则z的虚部为________．

14．已知点，则它的极坐标是________．

15．曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______．

16．函数的最小值为_____________．

三、解答题（本小题共6个小题，其中17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17．（本题10分）已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：（为参数），点．

（1）求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）设曲线与曲线相交于两点，求的值．

18．（本题12分）已知等差数列的前项和满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．（本题12分）随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络游戏，促进学生健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.

（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；

（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？

参考数据：，其中.

20．（本题12分）如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面．

21．（本题12分）已知分别是椭圆C：（其中）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线有一个公共的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段的长度.

22．（本题12分）已知，.

（1）讨论单调性；

（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.

高二文科数学试题答案

1．D

【分析】

求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．

【详解】

，

，，

，或，

或或．

的取值集合为．

故选D．

【点睛】

本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．

2．C

【分析】

直接由复数的乘法运算后令其实部为0即可得解.

【详解】

，

，

则．

故选：C．

3．C

【分析】

先求出集合,然后再求交集.

【详解】

由可得，可得

所以集合，

所以.

故选：C.

4．C

【分析】

根据复数的四则运算得到，再根据模长公式求解即可.

【详解】

因为，

所以，

所以，

故选：C.

5．D

【分析】

根据复数的几何意义和向量坐标运算及模公式即可求解．

【详解】

由已知得

．

故选：D

6．B

【解析】

【分析】

类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.

【详解】

类比得到在空间，点到直线的距离公式为，

所以点到平面的距离为.

故选：B

【点睛】

本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

7．D

【分析】

根据自变量取值之间的关系，结合函数值的数字特征进行归类即可.

【详解】

自变量的取值分别为：

它们对应的函数值分别为：，因此一般结论为：

.

故选：D

【点睛】

本题考查了归类推理的应用，属于基础题.

8．C

【解析】

分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.

详解：因为，所以y＝x－2，

因为，所以2≤x≤3,

因此选C.

点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．

9．D

【分析】

根据列联表数据用样本数据估计总体概率，计算卡方，以及独立性检验的概念判断各选项．

【详解】

据列联表，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此下雨的概率约为，A正确；

同样，未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为，B正确；

列联表如下：

，、

因此有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，C正确；

有关只是说可能性．不代表一定下雨，D错．

故选：D．

【点睛】

本题考查古典概型，考查独立性质检验．考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．

10．B

【分析】

首先求导得到，从而得到，，再计算即可.

【详解】

因为，

所以，

所以，解得.

所以，.

故选：B

11．B

【分析】

解不等式可得出函数的单调递增区间.

【详解】

函数的定义域为，且.

由，可得，解得.

所以，函数的单调递增区间为.

故选：B.

12．B

【分析】

利用导数研究函数的单调性，分类讨论，根据有两个零点求出的取值范围.

【详解】

定义域为，

（1）当a=0时，在上只有一个零点，舍去；

（2）当时，，令，得x=1，

在上，，单减；在上，，单增；

故，又，

因此，当，即有两个零点，所以；

（3）当时，令，得x=1或x=a,

①若时，此时在，上单增，在上单减，而，

需，但时恒成立，故舍去；

②若时，恒成立，在上单增，不可能有两个零点；

③若时，此时在，上单增，在上单减，而，

因此不可能有两个零点，故舍去；

综上所述：实数的取值范围是.

故选：B

【点睛】

利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究，

13．1

【分析】

先化简求出，根据实部为3求出，即可得出虚部.

【详解】

．

由题意知，，．

z的虚部为1．

故答案为：1.

14．

【分析】

直接利用极坐标公式得到答案.

【详解】

已知点，

则：

（在第四象限）

故答案为

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的转换，属于简单题.

15．

【分析】

根据函数求导，再由切线的斜率为4，求得切点的坐标，写出切线方程.

【详解】

因为，

所以，

设切点为，

因为切线的斜率为4，

所以，

解得，

所以该切线的方程是，即

故答案为：

16．

【分析】

首先对函数求导，研究导数的符号，判断函数的单调性，最后确定出函数的最小值.

【详解】

，

所以当时，，当时，，

所以函数在上单调减，在上单调增，

所以函数在处取得最小值，最小值为，

故答案是：.

【点睛】

该题是一道关于求函数最值的题目，熟练掌握应用的导数研究函数的最值问题是解题的关键，属于简单题目.

17．解：(Ⅰ)，，

，

的直角坐标方程为:·······················2分

，

的普通方程为······················5分

（Ⅱ）将

得：，······················7分

，······················9分

······················10分

由的几何意义可得：······················12分

18．解：（1）设等差数列的公差为，

因为，.

所以，······················2分

化简得，解得，······················4分

所以，······················6分

（2）由（1）可知，······················7分

所以，······················9分

所以···············12分

19．解：（1）由己知得解得··············2分

补全表中所缺数据如下：

·········································································6分

（2）根据题意计算观测值为，·····10分

所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响. ·······················12分

20．解：（1）在中，E，F分别是的中点，

所以．·············2分

又因为平面，平面，·············4分

所以平面．·············5分

（2）在中， ，

所以，所以．

因为平面，平面，

所以．

又因为平面平面．

所以平面．

因为平面，所以·············8分

在中，因为，E为的中点，

所以．·············10分

又因为平面平面．

所以平面．·············12分

21．解：（1）抛物线的焦点为，·············1分

∴椭圆C：的左焦点为，，.·············3分

又，得，解得（舍去）. ·············5分

故椭圆C的方程为.·············6分

（2）直线l的方程为.·············7分

联立方程组，

消去y并整理得.·············9分

设，.

故.·············10分

则.·············12分

22．解：（1），·············1分

所以当时，有恒成立，在单调递增，·············3分

当时，由解得：，在上单调递增；

由解得：，在上单调递减；············5分

（2）当时，，·············6分

根据题意，不等式等价于，，·············7分

对于，，，

所以在上单增，所以，·············8分

则有，·············9分

设，则，

在定义域内为减函数，·············10分

又，所以，

即的取值范围是.·············12分