河南省开封市铁路中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

开封市铁路中学2020－2021期中考试试卷

      高二年级    数学试卷   

（时间：120分钟   满分：150分）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A．   B．    C．   D．

2．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．设复数，则复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S8＝（    ）

A．44 B．24 C．20 D．12

5．函数的部分图像象是

A．     B．

C．      D．

6．已知双曲线的两条渐近线夹角为，且，则其离心率为（    ）

A． B．2或   C．    D．或

7．已知角α终边上一点M的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到抛物线的准线的距离为（    ）

A．3 B．4    C．5      D．6

9．在中，，为的中点，则（    ）

A． B． C． D．

10．函数，有两个不同的零点，则实数的取值范围是

A． B．   C．   D．

11．设，，，则a，b，c的大小关系是

A． B． C． D．

12．函数部分图象如图所示，则（    ）              

A． B．      C．     D．

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为________．

14．已知平面向量，则_____．

15．已知实数，满足约束条件则的最小值为______.

16．在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且，若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为_____.

三、解答题

17．在中，角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求及的值.

18．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人.某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取6人作为志愿者.

（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；

（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者与播音主持专业的志愿者分在一组的概率.

19．已知等比数列的前项和为，其中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为递增数列，求数列的前项和.

20．在四棱锥中，四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，，，．

（1）求证：；

（2）（理科）求直线与面所成角的正弦值．

    （文科）求四棱锥的体积.

21．已知椭圆过点，.

（1）求的方程；

（2）经过，且斜率为的直线交椭圆于､两点(均异于点)，证明：直线与的斜率之和为定值.

22．已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．C

2．C

3．D

4．A

5．A

6．D

7．D

8．A

9．A

10．C

11．B

12．D

13．

14．

15．.

16．

17．

【详解】

（1）因为，可得：，

∴，或（舍），∵，

∴.

（2）由余弦定理，

得

所以，

故，

又，

所以，

所以.

18．

【详解】

（1）由题可知选取比例为,故表演专业人,播音主持专业人,影视编导专业人.

（2）设表演专业的3位志愿者为,,,播音主持专业的志愿者为；影视编导专业的志愿者为,.则符合条件的所有可能结果有以下6种：

①,,；

②,,；

③,,；

④,,；

⑤,,；

⑥,,.

其中与分在一组的情况恰有2种,设所求事件为,则.

19．

【详解】

（1）设公比为的等比数列的前项和为，其中，.

则：，解得或，故或.

（2）为递增数列，故

所以.

20．

【详解】

解：（1）设的中点为E，连接与，

因为是等腰三角形，，

所以，

又因为，

所以平面，

所以，

，

所以是等腰直角三角形，

则．   

（2）由（1）可知平面，

故，

平面平面，

又因为，

，

，

易知，

所以．  

如图，以D为原点，所在直线为轴，

以的方向分别为x轴，y轴的正方向，

过D在所在平面内作的垂线为z轴建立空间直角坐标系．

则．  

得，

设平面的法向量，

则，

取，   

所以，

因此直线与平面所成角的正弦值为．

21．

【详解】

（1）因为椭圆过点，得，

过点，得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题设知直线的方程为，

与椭圆方程联立，

整理得，

由，得，且，

设，，，

则，，

从而直线与的斜率之和

所以直线与的斜率之和为定值1.

22．

【详解】

（1）当时，，定义域为，.

令，得；令，得.

因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，

令，，则，

令，，.

所以在单调递增，而，

所以时，，即，单调递减；

时，，即，单调递增.

所以在处取得最小值，

所以，即实数的取值范围是.