第八章 第八节 双曲线-2022届（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第八节 双曲线
知识回顾
1．双曲线的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x.

4．双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
课前检测
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(－5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|－|PF2|＝8,则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
D
由于两点间的距离|F1F2|＝10,动点P满足|PF1|－|PF2|＝80，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB＝4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
变式4.（1）(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
解析：选C　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝＝b.在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
（2）．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.
考点四.直线与双曲线的位置关系
例1.过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求AB；
(2)求△AOB的面积．
思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求AB；求O到直线的距离，代入面积公式得△AOB的面积．
(1)解　由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴AB＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.
(2)解　直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为
d＝＝.
∴S△AOB＝AB·d＝××＝.
探究提高　双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则AB＝|x1－x2|.
变式1. 已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解　(1)设双曲线C2的方程为
－＝1 (a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
，
∴k2≠且k22，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，解得0时，c＝＝，解得λ＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1；
当λ0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且PF1－PF2＝3，则双曲线C的焦距为________．
答案　3
解析　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝PF1－PF2＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
25.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．

答案　＋1
解析　设F1F2＝2c，连接AF1，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴AF1＝c，AF2＝c，
2a＝c－c，e＝＝＝＋1.
26.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．

答案　
解析　设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．
29．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
答案　(－2,2)
解析　如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，

∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵AF＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．
由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，
∴PF＝PE＋2，
又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，
解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．

四． 解答题
30．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝－x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2.所以m的取值范围为(－∞，－2)．

31.设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解　(1)由题意知a＝2，一条渐近线方程为y＝x，
即bx－ay＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则 x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴　∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
32.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解　(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程
2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2