2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业37《基本不等式》（教师版）

这是一份2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业37《基本不等式》（教师版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列不等式一定成立的是( C )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)
B．sinx＋eq \f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
解析：对选项A，当x>0时，x2＋eq \f(1,4)－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0，所以lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))≥lgx；对选项B，当sinx0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝( C )
A．2 B．4
C．2eq \r(2) D．2eq \r(5)
解析：∵a>0，b>0，∴ab≤eq \f(a＋b2,4)＝eq \f(t2,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(t,2)时取等号．∵ab的最大值为2，∴eq \f(t2,4)＝2，t2＝8.又t＝a＋b>0，∴t＝eq \r(8)＝2eq \r(2).
4．已知f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上的最小值为( D )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,3)
C．－1 D．0
解析：f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,x)＝x＋eq \f(1,x)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号．又1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上的最小值是0.
5．已知x，y为正实数，且x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝5，则x＋y的最大值是( C )
A．3 B.eq \f(7,2)
C．4 D.eq \f(9,2)
解析：∵x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝5，∴(x＋y)[5－(x＋y)]＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2＋2＝4，
∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，∴1≤x＋y≤4，
∴x＋y的最大值是4，当且仅当x＝y＝2时取得．
6．已知x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，若2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，则实数t的取值范围是( B )
A．(－∞，－8)∪(3，＋∞) B．(－8,3)
C．(－∞，－8) D．(3，＋∞)
解析：∵x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，可得eq \f(3,y)＋eq \f(2,x)＝1，∴2x＋3y＝(2x＋3y)eq \f(3,y)＋eq \f(2,x)＝13＋eq \f(6x,y)＋eq \f(6y,x)≥13＋2eq \r(\f(6x,y)·\f(6y,x))＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．∵2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，∴t2＋5t＋10，则eq \f(a－14a－1,a)的最小值为－1.
解析：eq \f(a－14a－1,a)＝eq \f(4a2－a－4a＋1,a)＝4a－5＋eq \f(1,a).
∵a>0，∴4a－5＋eq \f(1,a)≥2eq \r(4a·\f(1,a))－5＝－1，当且仅当4a＝eq \f(1,a)，即a＝eq \f(1,2)时取等号，∴eq \f(a－14a－1,a)的最小值为－1.
9．若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是3.
解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝eq \f(7－x,x＋2).
则x＋2y＝x＋eq \f(7－x,x＋2)＝x＋2＋eq \f(9,x＋2)－3
≥2eq \r(x＋2·\f(9,x＋2))－3＝3，当且仅当x＝1时取等号．因此其最小值是3.
10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
三、解答题
11．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．
解：(1)因为eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(x＋y,xy)＝eq \f(x2＋y2,xy)≥eq \f(2xy,xy)＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为2.
(2)不存在．理由如下：因为x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
从而有(x＋1)(y＋1)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋1＋y＋1,2)))2≤4，
因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.
12．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，
得S＝(x－8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq \f(7 200,x)＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8