辽宁省大连市普兰店区第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份辽宁省大连市普兰店区第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：150分 时间：150分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数满足（为虚数单位），则（ ）．
A． B． C． D．
3.已知与独立，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知数列，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为4:3，甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C.或 D．或
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有一多项符合题目要求。全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分。
9.若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C. D．
10．等差数列的前项和记为，若，，则（ ）
A． B． C．前项和最大 D．从第项开始，
11.已知，则（ ）
A. B. C. D.
12.将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.当时，在上有个零点
C. D.若在上单调递增，则的最大值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中 16题第一空2分，第二空3分。
13.婴儿从出生到第24个月的体重变化如右图所示，
则婴儿体重在第________年增长较快．（用数字作答）
14．已知，，且，则向量与夹角的大小为_______________；
15.数列的通项为，其前项和为Sn，若，则项数= ；
16．直线被圆截得的弦长为，则实数_______；圆与圆的公共弦所在直线方程是____________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．的展开式一共有项.
（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项
18．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若数列满足_________，且成等比数列. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线中并作答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且=，=，求数列的前n项和.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分。)
设置答题卡，要注意！
加一行“选取条件：__________”
19. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望.
20. 如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表：
（1）能否有以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（3）以题目中的样本频率估计概率，并计算4个病例中有个进入“长潜伏期”的期望与方差.
附：.
若随机变量服从正态分布，则，，，.
22．设数列的前项和满足（），且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，数列的前项和是，求证：.
大连市普兰店区第二中学2020-2021学年下学期期中考试
数学试卷参考答案
1-8 ACAB ADDC 9.BD 10.ABC 11.AB 12.CD
13. 1 14. 15. 99 16. ；
17． 解：（1）由的展开式一共有7项得 QUOTE ，
所以,的展开式中二项式系数之和为 QUOTE ；………………4分
（2）由得:展开式的通项为，
令，得，所以展开式中的常数项为.…………10分
18．解：（1）因为，，成等比数列，则，
故，化简得.因为，所以，所以.
若选①，则，即，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即，则；………………6分
（2）因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，
设数列的公比为，则.，故，，
所以，由，得.又，则，所以，……10分
所以.…………12分
19. 解：（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为精品果的事件为，则，
现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好有2个水果是精品果的概率为.…………4分
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量，所有可能的取值为0,1，2，则
，， …………10分
的分布列为
所以， ………………12分
20. 解：（1）∵四边形ABEF为矩形又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE又，同理可得：平面ADE又，
BF，BC 平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE ………6分
（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
，
设是平面CDF的一个法向量，则即
令，解得又是平面AEFB的一个法向量，
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.……12分
21．解：（1），
由于，
故没有以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关； …………4分
（2）若潜伏期，此时，
由，
显然潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的.…………8分
（3）由于100个病例中有25个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，英特患者属于“长潜伏期”的概率是，
因为，所以期望；
方差.…………12分
22．解：（1）∵，∴，
两式相减得 又且，解得，
所以.∴，∴
又所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.…………4分
（2）由（1）知，∴，则
①
②
①-②得：-=
故，…………10分
令，则，故单调递减，
又，所以恒成立，所以 …………12分
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
长潜伏期
非长潜伏期
40岁以上
15
55
40岁及以下
10
20
0.1
0.05
2.706
3.841
0
1
2