2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．在等比数列中，，，则（    ）

A．－81 B．－27 C．27 D．81

【答案】D

【分析】利用等比中项的公式进行求解.

【详解】因为等比数列中，，，

所以，即.

故选：D.

2．已知数列的前项和为，若，则（    ）

A． B．5 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据计算可得.

【详解】因为，所以.

故选：B

3．已知数列，若，则（    ）

A．9 B．11 C．13 D．15

【答案】B

【分析】由题中条件，分别令，，即可得解.

【详解】由，

令，则，则，

令，则，则.

故选：B.

4．某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（   ）

A．0.12 B．0.16 C．0.2 D．0.32

【答案】A

【分析】利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.

【详解】由题意，该厂生产的口罩中任选一个，选到绑带式口罩的概率为.

故选：A

5．已知等差数列的前n项和，若，则（    ）

A．150 B．160 C．170 D．180

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算出，再利用求和公式变形得到答案.

【详解】因为为等差数列，所以，

因为，所以，

.

故选：B

6．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．

【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，

，

，解得．

故选：C.

7．下列有关事件的说法正确的是（    ）

A．若，则事件A，B为对立事件

B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大

C．若A，B为互斥事件，则

D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则

【答案】C

【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，条件概率的定义判断．

【详解】对于A，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立．若在同一试验下，说明事件和对立．所以A错误；

对于B，若事件和都为不可能事件，则B错误；

对于C，互斥，若对立，则，若不对立，则，C正确；

对于D，若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则，则D错误，

故选：C．

8．标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，结合条件概率的计算公式依次求解即可.

【详解】由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：

共36个.

则A事件有：，，，，，共6个，

B事件有：，，，，，共6个，

C事件有：，，，，共5个，

D事件有：，，，，，共6个，

所以，，，，

，

所以，而，故A错误；

，而，故B错误；

，而，故C错误；

，而，故D正确.

故选：D.

二、多选题

9．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（    ）

A．是等比数列

B．若， ，则

C．若，则数列是递增数列

D．若数列的前n项和，则

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答.

【详解】令等比数列的公比为，则，

对于A，，且，则是等比数列，A正确；

对于B，，则，B错误；

对于C，由知，，则，，

即，，数列是递增数列，C正确；

对于D，显然，则，而，

因此，D正确.

故选：ACD

10．4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是（    ）

A．随机变量的取值为 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望，即可得出答案.

【详解】4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，

则随机变量可取，故A错误；

则，，

，，

故B正确，C错误；

，故D正确.

故选：BD.

11．已知数列中，，且点在函数的图象上，则下列结论正确的是（    ）

A．数列单调递增 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用数列单调性的定义可判断A选项；由结合不等式的基本性质可判断B选项；利用累加法结合不等式的基本性质可判断C选项；利用累乘法结合不等式的基本性质可判断D选项.

【详解】由题意可知，所以，所以，

当时，与矛盾，所以，则，

所以数列单调递增，A项正确；

又，所以，B项错误；

由上可知，

，

所以，C项正确；

由上可知，则（当且仅当时取得等号），

当时，，所以，D项正确．

故选：ACD．

12．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，其中，则

B．若事件与互斥，且，则

C．若事件发生，则事件一定发生，且则

D．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为

【答案】BD

【分析】由正态分布的对称性可判断A；由互斥事件的定义和条件概率的公式可判断B；由事件的包含关系和条件概率的公式可判断C；根据全概率公式可判断D.

【详解】对于A，若随机变量，其中，

则或，故A不正确；

对于B，若事件与互斥，则，

，

所以，因为，

，故B正确；

对于C，若事件发生，则事件一定发生，则，

，，故C不正确；

对于D，设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，

设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，

则有,

所以，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．随机变量X服从正态分布，若，则        ．

【答案】0.12

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答.

【详解】因为随机变量X服从正态分布，，

所以.

故答案为：0.12

14．已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖        次.（参考数据：）

【答案】3

【分析】设投掷飞镖n次中靶次，则且，利用二项分布概率公式及求n的范围，即可得结果.

【详解】若投掷飞镖n次中靶次，则，且，

所以，即，

两边取对数有，则次，，

所以至少需要投掷飞镖3次.

故答案为：3

15．甲乙两个盒子中分别装有大小､形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1､2､3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为，则          .

【答案】

【分析】根据离散型随机变量，先列出分布列得出期望，再计算方差，后根据公式得出

【详解】由题意可得X的可能取值为：1、2、3、4、6、9

其分布列为

所以

故答案为：

四、双空题

16．某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本点处的残差为，则的值为      ，表中m的值为      .

【答案】     0.35/     4.5/

【分析】由残差定义可得当x=4时的预测值，代入回归方程可得，再利用回归方程过样本中心点可得m.

【详解】由在样本点处的残差为-0.15，可得当时；，即，解得.又，，回归直线过点，所以，解得.

故答案为：0.35,4.5

五、解答题

17．为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如表：

(1)甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少？

(2)能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异？

【答案】(1)甲、乙

(2)没有的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异.

【分析】（1）根据频率公式计算可得；

（2）计算出卡方，即可判断.

【详解】（1）甲学校竞赛成绩优秀的频率为，

乙学校竞赛成绩优秀的频率为；

（2）由列联表可得，

故没有的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异.

18．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列和等比中项的性质列式求解即可得出答案.

（2）由（1）求出，再由错位相减法求和.

【详解】（1）由，则，则

，

由，，成等比数列可得：，

解得：，

设的公差为d，则．

故．

（2）由（1）知，，

则，

所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，．

19．甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．

(1)求比赛二球后甲得分的期望；

(2)求比赛六球后甲得分比乙得分多分的概率．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）方法一：记甲得分为，则的所有可能取值是，，，求出所对应的概率，即可得到数学期望．方法二：可得服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式计算可得.

（2）依题意比赛六球后甲赢四球，乙赢两球，且发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，再分类讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】（1）方法一：记甲得分为，则的所有可能取值是，，．

因为

，

，

所以．

方法二：因为服从二项分布，

所以．

（2）因为，所以，即比赛六球后甲赢四球，乙赢两球．

比赛六球时发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，

记“比赛六球后甲得分比乙得分多2分”为事件，

“乙赢两球均在乙发球时”为事件，“乙赢两球均在甲发球时”为事件，

“乙赢两球一球在甲发球时，一球在乙发球时”为事件．

因为，，

．

所以．

20．已知数列满足，

(1)记，写出，，并求数列的通项公式；

(2)求的前20项和．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）由题意分析出数列是等差数列，通过等差数列通项公式求解即可；（2）通过等差数列前项和求和公式求解即可.

【详解】（1），，．

因为，所以，

所以数列是等差数列，所以．

（2）因为当为奇数时，，

所以的前20项和为

．

21．记是各项均不为零的数列的前n项和，已知．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知等式化简可得，再利用与的关系，整理得，即可得等差数列，求得，由相减法即可得数列的通项公式；

（2）根据裂项相消法求得数列的前n项和即可．

【详解】（1）因为，所以，即，

整理得，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，

则，于是有

当时，，且时，，不符合该式，

故；

（2）

所以.

22．甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球，.现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.

(1)当，，时，求乙胜的概率；

(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x，y，z的值.

【答案】(1)

(2)乙得分均值的最大值为，此时，

【分析】（1）设出事件，根据古典概型概率公式求得事件的概率，进而表示出事件乙胜，根据独立事件以及互斥事件，即可求出答案；

（2）用随机变量来表示乙得分，则可取.然后分别计算得出取时的概率，根据期望公式求出即可得出，根据已知结合的取值范围，即可得出答案.

【详解】（1）记“甲取红球”为事件，“甲取黄球”为事件，“甲取蓝球”为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件，

则由已知可得，，，，，，.

由已知，乙胜可以用事件来表示，

根据独立事件以及互斥事件可知，.

（2）由题意知，，，.

用随机变量来表示乙得分，则可取,

则，，，

所以.

所以.

因为，所以，且，，，

所以，

当且仅当，，时，等号成立.

所以，乙得分均值的最大值为，此时，，.