高中6平面向量数量积的坐标表示教案配套ppt课件

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§6 平面向量数量积的坐标表示
数字化是当前社会的最大特色，任何一件事物都被数字化了，当然这里的数字化强调的是数码，向量的数量积的几何运算为我们展示的是一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度、长度(距离)等问题，向量的坐标运算又是如何展示这些问题的呢？
1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝_________________；(2)|a|＝_________；(3)若a⊥b，则_____________________；(4)cs θ＝__________________.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
x1x2＋y1y2＝0　
[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cs 与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cs 求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于(　　)A．3　　B．1　C．－1　　D．－3[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝0，即3x＋1×(－3)＝0.解得x＝1.故选B．
4．已知a＝(2,3)，b＝(－1,4)，c＝(5,6)，那么(a·b)·c＝__________，a·(b·c)＝__________.[解析]　∵a·b＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10，∴(a·b)·c＝10(5,6)＝(50,60)．∵b·c＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19，∴a·(b·c)＝(2,3)·19＝(38,57)．
已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析]　解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.
命题方向1　⇨数量积的坐标表示
『规律总结』　进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　B．0　C．1　　D．2[解析]　a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(16,12)，B(－5,15)．求：
命题方向2　⇨利用数量积的坐标表示求模与夹角
『规律总结』　求向量a与b的夹角θ的步骤：①计算a·b，|a|，|b|；②利用夹角公式计算cs θ；③根据范围[0，π]确定夹角θ的大小．
〔跟踪练习2〕设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
命题方向3　⇨直线的方向向量及应用
〔跟踪练习3〕已知直线l1：7x＋y－1＝0和直线l2：3x＋4y－6＝0，求直线l1和l2的夹角．
『规律总结』　充分利用公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，利用向量数量积的坐标表示，使两向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用．
〔跟踪练习4〕已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求数m的值．
已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，若a与b的夹角是锐角，求λ的取值范围．
[辨析]　当a·b>0，即cs θ>0时，0°≤θ<90°.事实上当λ＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(1，－2)，它们间的夹角是0°，不是锐角，故λ≠－2.
『规律总结』　对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cs θ>0，且cs θ≠1⇔a·b>0，且a≠mb(m<0)；θ为钝角⇔cs θ<0，且cs θ≠－1⇔a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ为直角⇔cs θ＝0⇔a·b＝0.
〔跟踪练习5〕设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．