高中第二章 平面向量综合与测试同步测试题

这是一份高中第二章 平面向量综合与测试同步测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( D )
A．eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))B．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0
C．0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0D．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))；eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))是一对相反向量，它们的和应该为零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
2．设O，A，M，B为平面上四点，eq \(OM,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))，且λ∈(1,2)，则( B )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
[解析] eq \(OM,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OA,\s\up6(→))，所以eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，由λ∈(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段AM上．
3．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( D )
A．a＝b B．a·b＝1
C．a＝－bD．|a|＝|b|
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．
4．如图，a－b等于( C )
A．2e1－4e2B．－4e1－2e2
C．e1－3e2D．3e1－e2
[解析] a－b＝e1－3e2.
5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么eq \(EF,\s\up6(→))＝( D )
A．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))D．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
[解析] eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))．
6．(eq \f(λ1a,|a|)＋eq \f(λ1b,|b|))·(eq \f(λ2a,|a|)－eq \f(λ2b,|b|))等于( A )
A．0B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2D．λ1λ2
[解析] ∵eq \f(a,|a|)＝a0.(a0为a的单位向量)．
∴原式即(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(aeq \\al(2,0)－beq \\al(2,0))＝0.
7．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为( A )
A．eq \f(3\r(2),2)B．eq \f(3\r(15),2)
C．－eq \f(3\r(2),2)D．－eq \f(3\r(15),2)
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．
由条件知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝10＋5＝15.
|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(52＋52)＝5eq \r(2)，则eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(AB,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，故选A．
8．已知a、b是不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线应满足的条件是( D )
A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1D．λμ＝1
[解析] A，B，C三点共线即存在实数k，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1.
9．设a、b是两个非零向量( C )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．(山东高考)已知非零向量m、n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( B )
A．4B．－4
C．eq \f(9,4)D．－eq \f(9,4)
[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，则tm·n＋n2＝0，所以t＝－eq \f(n2,m·n)＝－eq \f(n2,|m|·|n|cs〈m，n〉)＝－eq \f(|n|2,|m|×|n|×\f(1,3))＝－3×eq \f(|n|,|m|)＝－3×eq \f(4,3)＝－4.故选B．
11．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值是( D )
A．2B．0
C．－1D．－2
[解析] 由平行四边形法则得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))，
故(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，又|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2－|eq \(PO,\s\up6(→))|，且eq \(PO,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))反向，设|eq \(PO,\s\up6(→))|＝t(0≤t≤2)，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值－2，故选D．
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( B )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
[解析] 根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不相等，所以B错误；对任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，则cs〈a，c〉＝__eq \f(2,3)__.
[解析] 由题意，得cs〈a，c〉＝eq \f(a·2a－\r(5)b,|a|·|2a－\r(5)b|)
＝eq \f(2a2－\r(5)a·b,|a|·\r(|2a－\r(5)b|2))＝eq \f(2,1×\r(4＋5))＝eq \f(2,3).
14．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.
[解析] 由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，∵a＋b＋c＝0，∴eq \(CA,\s\up6(→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝a－b.
∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形．
∴|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
15．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)．
[解析] 由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＋k2＋2k3＝0，,2k1－k2＋10k3＝0))⇒k1＝－4k3，k2＝2k3，
令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c.
16．(2017·天津理科)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，且eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝－4，则λ的值为__eq \f(3,11)__.
[解析] 由题意，知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝3×2×cs60°＝3，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)))·(λeq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(λ－2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(2λ,3)eq \(AC,\s\up6(→))2
＝eq \f(λ－2,3)×3－eq \f(1,3)×32＋eq \f(2λ,3)×22
＝eq \f(11,3)λ－5＝－4，解得λ＝eq \f(3,11).
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．
(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；
(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．
[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2，
当x＝eq \f(1,2)时，a、b同向．
∴x>－2且x≠eq \f(1,2).
(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)
(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0
即－2x2＋3x＋14＝0
解得：x＝eq \f(7,2)或x＝－2.
18．(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2eq \r(5)，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝eq \r(10)，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
[解析] (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x ①
又因为|b|＝2eq \r(5)，所以x2＋y2＝20 ②
由①②联立，
解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝eq \r(5)，|c|＝eq \r(10)，
解得a·c＝5，
所以csθ＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(2),2)，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝eq \f(π,4).
19．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|2＝|a|2＋t2|b|2＋2ta·b＝|a|2＋t2·|b|2＋2|a|·|b|·t·csθ＝|b|2(t＋eq \f(|a|,|b|)csθ)2＋|a|2(1－cs2θ)．
∴当t＝－eq \f(|a|,|b|)csθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ.
(2)∵a与b的夹角为45°，∴csθ＝eq \f(\r(2),2)，从而t＝－eq \f(|a|,|b|)·eq \f(\r(2),2)，b·(a＋tb)＝a·b＋t·|b|2＝|a|·|b|·eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)·eq \f(|a|,|b|)·|b|2＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，即原结论成立．
20．(本题满分12分)在△ABC中，设eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，且B∈[eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，求eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的取值范围．
[解析] (1)证明：∵eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0.
又eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0则eq \(CA,\s\up6(→))＝－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，
∴－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0.
∴eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(BC,\s\up6(→))2＝0，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2.
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，即△ABC为等腰三角形．
(2)∵B∈[eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，∴csB∈[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]．
设|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝a.
∵|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，∴|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|2＝4，则有a2＋a2＋2a2csB＝4.
∴a2＝eq \f(2,1＋csB)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝a2csB＝eq \f(2csB,1＋csB)＝2－eq \f(2,1＋csB).
又csB∈[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]，
∴eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))∈[－2，eq \f(2,3)]．
21．(本题满分12分)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq \f(1,2).
又x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，
∴x＝－eq \f(π,6).
(2)∵a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2.
又x∈R，
∴当sinx＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.
(3)∵a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5.
由sinx∈[－1,1]，
∴－5≤(sinx＋1)2－5≤－1，得k∈[－5，－1]．
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
22．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝eq \r(3)|a－kb|(k>0，k∈R)．
(1)求a·b关于k的解析式f(k)；
(2)若a∥b，求实数k的值；
(3)求向量a与b夹角的最大值．
[解析] (1)由已知|ka＋b|＝eq \r(3)|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(eq \r(3)|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
又因为|a|＝|b|＝1，
得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝eq \f(k2＋1,4k)，
即f(k)＝eq \f(k2＋1,4k)(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，
所以a·b＝eq \f(k2＋1,4k)>0，
则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即eq \f(k2＋1,4k)＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±eq \r(3)，
所以当k＝2±eq \r(3)时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝a·b＝eq \f(k2＋1,4k)＝eq \f(1,4)(k＋eq \f(1,k))＝eq \f(1,4)[(eq \r(k)－eq \f(1,\r(k)))2＋2]．
当eq \r(k)＝eq \f(1,\r(k))，即k＝1时，
csθ取最小值eq \f(1,2)，此时θ取大值eq \f(π,3).