2023届高考一轮复习讲义（理科）选修4－4　坐标系与参数方程 第2讲　高效演练分层突破学案

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(1)求曲线C的直角坐标方程．
(2)设点M的直角坐标为(0，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|＋|MB|的值．
解：(1)把ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，展开得ρ＝2sin θ＋2eq \r(3) cs θ，两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ＋2eq \r(3)ρcs θ ①.
将ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，ρsin θ＝y代入①，
即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x－2y＝0 ②.
(2)将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)t，,y＝3＋\f(\r(3),2)t))代入②式，得t2＋3eq \r(3)t＋3＝0，
点M的直角坐标为(0，3)．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－3eq \r(3)，t1·t2＝3，
所以t1<0，t2<0.
则由参数t的几何意义即得|MA|＋|MB|＝|t1＋t2|＝3eq \r(3).
2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆C的参数方程为：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs α，,y＝\r(3)＋2sin α))(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs φ，,y＝tsin φ))(t为参数)被圆C截得的弦长为2eq \r(3)，求直线l的倾斜角．
解：(1)圆C：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs α，,y＝\r(3)＋2sin α，))消去参数α得(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4，
即x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ.
所以ρ2－2ρcs θ－2eq \r(3)ρsin θ＝0，ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).
(2)因为直线l：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs φ，,y＝tsin φ))的极坐标方程为θ＝φ，
当θ＝φ时ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,3)))＝2eq \r(3).
即cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以φ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)或φ－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6).
所以φ＝eq \f(π,2)或φ＝eq \f(π,6)，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,6)或eq \f(π,2).
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2t－1，,y＝－4t－2))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝eq \f(2,1－cs θ).
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．
解：(1)因为ρ＝eq \f(2,1－cs θ)，
所以ρ－ρcs θ＝2，
即ρ＝ρcs θ＋2.
因为x＝ρcs θ，ρ2＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝(x＋2)2，化简得y2－4x－4＝0.
所以曲线C2的直角坐标方程为y2－4x－4＝0.
(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2t－1，,y＝－4t－2，))
所以2x＋y＋4＝0.
所以曲线C1的普通方程为2x＋y＋4＝0.
因为M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，
所以|M1M2|的最小值等于点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离的最小值．
不妨设M2(r2－1，2r)，点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离为d，
则d＝eq \f(2|r2＋r＋1|,\r(5))＝eq \f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))),\r(5))≥eq \f(3,2\r(5))＝eq \f(3\r(5),10)，
当且仅当r＝－eq \f(1,2)时取等号．
所以|M1M2|的最小值为eq \f(3\r(5),10).
4．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs α，,y＝2sin α))(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6))).
(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
(2)若过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))(极坐标)且倾斜角为eq \f(π,3)的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求eq \f(|AP|,|AM|·|AN|)的值．
解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,9)＋eq \f(ρ2sin2θ,4)＝1.
因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))，
所以ρ2＝4ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝4ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin θ－\f(1,2)cs θ))，
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2eq \r(3)y－2x，
所以曲线C的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,9)＋eq \f(ρ2sin2θ,4)＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2eq \r(3)y＝0.
(2)点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2\r(2)cs\f(π,4)＝2，,y＝2\r(2)sin\f(π,4)＝2，))所以A(2，2)．
因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为eq \f(π,3)，所以直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs \f(π,3)，,y＝2＋tsin \f(π,3)))(t为参数)，代入eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1中可得，eq \f(31,4)t2＋(8＋18eq \r(3))t＋16＝0，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－eq \f(32＋72\r(3),31)，t1t2＝eq \f(64,31)，
所以eq \f(|AP|,|AM|·|AN|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2))),|t1t2|)＝eq \f(4＋9\r(3),16).
[综合题组练]
1．(2020·广州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋\r(7)cs α，,y＝\r(7)sin α))(α为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cs θ，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为曲线C2上的动点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)依题意得，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝7，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcs θ－3＝0.
直线l的直角坐标方程为y＝eq \r(3)x.
(2)曲线C2的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝16，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ1，\f(π,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，\f(π,3)))，
则ρeq \\al(2,1)－4ρ1cs eq \f(π,3)－3＝0，即ρeq \\al(2,1)－2ρ1－3＝0，
得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，
又ρ2＝8cs eq \f(π,3)＝4，则|AB|＝|ρ2－ρ1|＝1.
C2(4，0)到l的距离d＝eq \f(|4\r(3)|,\r(4))＝2eq \r(3)，以AB为底边的△PAB的高的最大值为4＋2eq \r(3)，
则△PAB的面积的最大值为eq \f(1,2)×1×(4＋2eq \r(3))＝2＋eq \r(3).
2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcs θ－ρsin θ＝2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2Pcs θ(P>0)．
(1)求直线l过点(－2，－4)的参数方程；
(2)已知直线l与曲线C交于N，Q两点，M(－2，－4)，且|NQ|2＝|MN|·|MQ|，求实数P的值．
解：(1)将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
所以直线l过点(－2，－4)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝－4＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)．
(2)由ρsin2θ＝2Pcs θ(P>0)，
得(ρsin θ)2＝2Pρcs θ(P>0)，
将ρcs θ＝x，ρsin θ＝y代入，得y2＝2Px(P>0)．
将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得t2－2eq \r(2)(4＋P)t＋8(4＋P)＝0，(*)
Δ＝8P(4＋P)>0.
设点N，Q分别对应参数t1，t2，恰好为上述方程的根，
则|MN|＝t1，|MQ|＝t2，|NQ|＝|t1－t2|.
由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.
由(*)得t1＋t2＝2eq \r(2)(4＋P)，t1t2＝8(4＋P)>0，
则有(4＋P)2－5(4＋P)＝0，
得P＝1或P＝－4.因为P>0，所以P＝1.
3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝2sin t))(t为参数，a>0)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－4eq \r(2).
(1)设P是曲线C上的一个动点，当a＝2eq \r(3)时，求点P到直线l的距离的最小值；
(2)若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围．
解：(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－4eq \r(2)，得到ρ(cs θ－sin θ)＝－8，
因为ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的普通方程为x－y＋8＝0.
设P(2eq \r(3)cs t，2sin t)，则点P到直线l的距离
d＝eq \f(|2\r(3)cs t－2sin t＋8|,\r(2))＝eq \f(|4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))－8|,\r(2))
＝2eq \r(2)|sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))－2|，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(π,3)))＝1时，dmin＝2eq \r(2)，
所以点P到直线l的距离的最小值为2eq \r(2).
(2)设曲线C上任意点P(acs t，2sin t)，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，
所以acs t－2sin t＋8>0对任意t∈R恒成立．
eq \r(a2＋4)sin(t－φ)<8，其中cs φ＝eq \f(2,\r(a2＋4))，
sin φ＝eq \f(a,\r(a2＋4)).
从而eq \r(a2＋4)<8.
由于a>0，解得0即a∈(0，2eq \r(15))．
4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcs(θ＋eq \f(π,4))＝－eq \r(2).
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t，))消去参数t，
得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcs (θ＋eq \f(π,4))＝－eq \r(2)，得ρcs θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为A(2，π)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，
设点P的坐标为(－5＋eq \r(2)cs t，3＋eq \r(2)sin t)，则点P到直线l的距离为d＝eq \f(|－5＋\r(2)cs t－3－\r(2)sin t＋2|,\r(2))
＝eq \f(|－6＋2cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4)))|,\r(2)).
所以dmin＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，又|AB|＝2eq \r(2).
所以△PAB面积的最小值是S＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.