【配套新教材】专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 第八讲 函数模型及函数的综合应用（实战训练）——2022届新高考数学一轮复习

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第八讲 函数模型及函数的综合应用（实战训练）——2022届新高考数学一轮复习
一、基础练
1.四人赛跑,假设他们跑过的路程(其中)和时间的函数关系分别是,如果他们一直跑下去,那么最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.B.C.D.
2.已知三个变量随变量x变化的数据如下表:
则反映随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
A.B.
C.D.
3.如图记录了一种叫万年松的树生长时间t(年)与树高之间的散点图.请你据此判断,拟合这种树生长的年数与树高的关系式,选择的函数模型最好的是( )
A.B.C.D.
4.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:
则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( )
A.B.
C.D.
5.某工厂常年生产红木家具,根据预测可知,该产品近10 年的产量平稳增长.记2014年为第1年,且前4年中, 第x年与年产量(单位:万件)之间的关系如下表所示:
若近似符合以下三种函数模型之一:①②③.则你认为最适合的函数模型的序号为（ ）
A.①B.②C.③D.无法确定
6.某商品价格y（单位：元）因上架时间x（单位：天）的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即（且）.当商品上架第1天的价格为元，而上架第3天的价格为元，则该商品上架第4天的价格为________ 元．
7.国家对出书所得的稿费纳税作如下规定：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元，则这个人的稿费为________.
8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增，八月份销售总额比七月份递增，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达到7 000万元，则的最小值是________
二、提升练
9.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系式为，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是________万元.
10.某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为(为常数).在min和min时测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在min时，该物质的浓度为 mg/;若该物质的浓度小于24.001mg/L，则最小的整数的值为 .
11.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板长为，跳水板距水面的高为，，，为了安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点时达到距水面最大高度，规定：以为横轴，为纵轴建立直角坐标系.
(1)当时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由函数的增长趋势可知,指数函数增长最快,所以最终跑在最前面的人具有的函数关系为,故选D.
2.答案：B
解析：从题表格可以看出,三个变量都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量的增长速度最慢,呈对数型函数变化,故选B.
3.答案：B
解析：分析可知,若为A选项,则A选项函数过点,而该函数图像不过,故错误;对于B选项,可知该函数图像类似于对数函数图像,故正确;C选项,该函数递增很快,不符合这个图像,故错误;D选项,同样函数递增很快,不符合这个图像,故错误.故选B.
4.答案：D
解析：对于A选项,当时,对应的y值分别为;对于B选项,当时,对应的y值分别为;对于C选项,当时,对应的y值分别为;对于D选项,当时,对应的y值分别为.而表中所给的数据当时,对应的y值分别为,通过比较,即可发现选项D中y的值误差最小,即能较好地反映y与x之间的关系,故选D.
5.答案：A
解析：若模型为,则由得，即,此时,与表格数据相差太大，不符合;若模型为,则是减函数， 与表格数据相差太大，不符合;若模型为,由已知得;解得所以，所以最适合的函数模型的序号为①.
6.答案：
解析：由題意可知解得
∴，∴当时，，∴该商品上架第4天的价格为元。
7.答案：3800元
解析：设稿费为x元时，纳税y元，
则由题意得，
即.
由，解得；
由，解得 (舍去).
8.答案：20
解析：七月份的销售额为，八月份的销售额为，则一月份到十月份的销售总额是．根据题意有，即.令，则，解得或 (舍去)，故，解得
9.答案：5；8
解析：每台机器运转x 年的年平均利润为，而，故，当且仅当时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8 万元.
10.答案：26.56；13
解析：根据条件:，，
所以，，所以
所以，
由得，
所以；
所以；所以；
所以代入得；
解得；所以最小的整数t的值是13.
11.答案：(1)由题意知最高点坐标为，
设抛物线方程为，
当时，最高点为，方程为，
将代入，得，
解得，
所以当时，跳水曲线所在的抛物线方程.
(2)将点代入方程，
得，所以.
由题意知，方程在区间内有一解.
令，
则，且.
解得.
所以达到压水花的训练要求时h的取值范围为.
x
1
2
4
6
8
…
2
4
16
64
256
…
1
4
16
36
64
…
0
1
2
2.585
3
…
第x天
1
2
3
4
5
被感染的计算机数量y/台
10
20
39
81
160
x
1
2
3
4
4.00
5.61
7.00
8.87