北师大版数学·必修2 综合学业质量标准检测(A) 试卷

综合学业质量标准检测(A)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 给出下列三个结论：

①若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，则a∥b；

②直线a∥直线b，a平面α，b平面β，则α∥β；

③若直线a∥平面α，a∥平面β，则α∥β．

其中正确的结论的个数为(　A　)

A．0　　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

[解析]　对①：a、b可能异面，对②：α、β可能相交，对③：α、β可能相交．

2．已知两点A(3，－5)，B(3,4)，点C在线段AB上，|AB|＝2|CB|，则点C的坐标是(　C　)

A．(3，－)或(3，) B．(－3，－)或(－3，)

C．(3，－) D．(－3，)

[解析]　由已知条件知，点C为线段AB的中点，故由中点坐标公式可以求点C(3，－)．

3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　A　)

A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0

C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0

[解析]　由题意知圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，

∵kCP＝－1，∴kAB＝1，

直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0．

4．(安徽高考)下列说法中，不是公理的是(　A　)

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

[解析]　由空间几何中的公理可知，仅有A不是公理，其余皆为公理．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　A　)

A．＋π B．＋π

C．＋2π D．＋2π

[解析]　由三视图容易看出，原图是一个半圆柱体和锥体，半圆柱体的底面圆半径为1，高为2，得知体积为π，易知锥体的体积为．

6．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　C　)

A．1 B．2

C．4 D．4

[解析]　本题考查了圆的垂径定理．

圆心到直线的距离d＝＝1，半弦长＝＝2.∴弦长＝4．

7．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标为(　A　)

A．(5，－3) B．(9,0)

C．(－3,5) D．(－5,3)

[解析]　过P(2,1)向此直线引垂线，其垂足即为所求的点，过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线方程为4x＋3y＋m＝0，而点P(2,1)在此垂线上，所以4×2＋3×1＋m＝0.所以m＝－11．

由联立求解，

得所求的点的坐标为(5，－3)．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　B　)

A．18＋36 B．54＋18

C．90 D．81

[解析]　由三视图，知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3＝54＋18，故选B．

9．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得劣弧所对的圆心角为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由已知可得直线与圆相交，且圆心到直线的距离d＝＝.而圆的半径为2．

∴直线与圆的两交点与圆心构成等边三角形．

∴可得劣弧所对的圆心角为．

10．如图，定圆的半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在(　B　)

A．第四象限   B．第三象限

C．第二象限   D．第一象限

[解析]　由图知，a>0，b<0，c>0，且c<a<|b|.解方程组得交点坐标为．

∵>0，<0，∴交点在第三象限．

11. 底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的体积为(　B　)

A．9π B．

C．4π D．3π

[解析]　∵底面边长为，∴直角边长为，

∴2R＝3，R＝，

V球＝π3＝π．

12．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　D　)

A．－或－ B．－或－

C．－或－ D．－或－

[解析]　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，

∵光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴＝1，∴12k2＋25k＋12＝0，

解得k＝－或k＝－.故选D．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．(2019·北京卷文，13)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的三个论断作为结论，写出一个正确的命题：__②③⇒①__．

[解析]　证明如下：∵m∥α，∴根据线面平行的性质定理，知存在n⊂α，使得m∥n．

又∵l⊥α，∴l⊥n，∴l⊥m．

14．经过点P(－2,4)，且以两圆x2＋y2－6x＝0和x2＋y2＝4的公共弦为一条弦的圆的方程为__x2＋y2＋6x－8＝0__．

[解析]　设圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0．

∵圆过点P(－2,4)，

∴(－2)2＋42－6×(－2)＋λ[(－2)2＋42－4]＝0，

解得λ＝－2，

∴圆的方程为x2＋y2－6x－2(x2＋y2－4)＝0，

即x2＋y2＋6x－8＝0．

15．已知直线l1：x＋3y－7＝0，l2：y＝kx＋b与x轴、y轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则k＝__3__，b的取值范围是__(－21，)__．

[解析]　由题意可知l1⊥l2，∴k＝3，

直线l1与坐标轴交于点A(0，)和B(7,0)，

∴直线l2与线段AB(不含端点)垂直相交，画图(图略)易得b的取值范围是(－21，)．

16．(2019·全国卷Ⅰ文，16)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为____．

[解析]　如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．

再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，

连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．

又PE＝PF＝，所以OE＝OF，

所以CO为∠ACB的平分线，

即∠ACO＝45°．

在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，

所以OE＝1，所以PO＝＝＝．

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：

(1)经过点(－4,1)；

(2)在y轴上的截距为－10．

[解析]　因为直线y＝－x＋1的斜率为－，所以该直线的倾斜角为120°．

由题意知所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝．

(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜方程得y－1＝(x＋4)，即x－y＋1＋4＝0．

(2)因为直线在y轴上的截距为－10，

所以由直线的斜截式方程得y＝x－10．

即x－y－10＝0．

18．(本小题满分12分)(2017·江苏，15)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC．

[解析]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．

又因为EF⃘平面ABC，AB平面ABC，

所以EF∥平面ABC．

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD．

因为AD平面ABD，所以BC⊥AD．

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．

19．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

[解析]　(1)交线围成的正方形EHGF如图：

(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8，因为EHGF是正方形，所以EH＝EF＝BC＝10，于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为．

20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程．

[解析]　(1)证明：把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0．

由方程组解得

∴直线l总过定点(3,1)．

圆C的方程可写成(x－1)2＋(y－2)2＝25．

∴圆C的圆心为(1,2)，半径为5，定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为＝<5．

∴点(3,1)在圆C内．

∴过点(3,1)的直线l总与圆C相交，即不论m为何实数，直线l与圆C总相交．

(2)解：当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的半径时，l被圆截得的弦长|AB|最短．(如下图)

|AB|＝2

＝2

＝2＝4．

此时，kAB＝－＝2．

∴直线AB的方程为y－1＝2(x－3)，

即2x－y－5＝0．

故直线l被圆C截得的弦长的最短长度为4，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．

21．(本小题满分12分)求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

(1)过原点；

(2)有最小面积．

[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，

即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0．

(1)∵圆过原点，

∴1＋4λ＝0，λ＝－．

故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0．

(2)将圆系方程化为标准式，得

(x＋1＋λ)2＋(y＋)2＝(λ－)2＋．

则当λ＝时，半径取最小值．

此时圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝．

22．(本小题满分12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．

(1)证明：PH⊥平面ABCD；

(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；

(3)证明：EF⊥平面PAB．

[证明]　(1)证明：因为AB⊥平面PAD，

所以PH⊥AB，

因为PH为△PAD中AD边上的高，

所以PH⊥AD．

因为AB∩AD＝A，

所以PH⊥平面 ABCD．

(2)连接BH，取BH中点G，连接EG，

因为E是PB的中点，

所以 EG∥PH，

因为PH⊥平面ABCD，

所以 EG⊥平面 ABCD，

则 EG＝PH＝，

VE－BCF＝S△BCF·EG＝··FC·AD·EG＝．

(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME，

因为E是PB的中点，所以ME綊AB．

因为 DF綊AB，所以 ME綊DF，

所以四边形MEFD是平行四边形．

所以 EF∥MD，

因为 PD＝AD,     所以 MD⊥PA．

因为 AB⊥平面 PAD,     所以 MD⊥AB．

因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面PAB．

所以 EF⊥平面 PAB．