人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试练习题

这是一份人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.直线l:x2019-y2019=1的倾斜角为( )

A.45°B.60°C.120°D.135°
2.点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于( )
A.7B.5C.3D.2
3.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m的值为( )
A.0B.34C.3D.0或34
4.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°≤α≤45°
B.135°≤α<180°
C.0°≤α≤45°或90°≤α<180°
D.45°≤α<90°或135°≤α<180°
5.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= ( )
A.4B.6C.345D.365
6.已知直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是( )
A.-23B.23,-29
C.-23,23,-29D.-23,23,0,-29
7.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1,l2间的距离是( )
A.423B.823C.42D.22
8.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为( )
A.13B.-13C.-32D.23
9.若动点A,B分别在直线l1:x+y-6=0和l2:x+y-2=0上,则AB的中点M到坐标原点的距离的最小值为( )
A.2B.22C.32D.42
10.已知直线ax+y+1=0及两点P(-2,1),Q(3,2),若该直线与线段PQ的延长线相交,则实数a的取值范围是( )
A.a<-1或a>1B.-1C.1511.在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为( )
A.102B.10C.5D.10
12.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是( )
A.(2,4)B.(-2,4)C.(2,-4)D.(-2,-4)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a= .
14.已知直线l∥m,且l在直线m:x+y+1=0的上方,它们的距离是2,则直线l的方程是 .
15.设点A(-2,0)和B(0,3),在直线l:x-y+1=0上找一点P,使|PA|+|PB|取得最小值,则这个最小值为 .
16.已知直线l1:2x-y-25=0与x轴交于点A,直线l1⊥l2,且l1,l2的交点为P,O为坐标原点.若直线l2在y轴上的截距为b(b>0),且∠APO≤45°,则b的取值范围为 .
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)已知直线m:(a-1)x+(2a+3)y-a+6=0,n:x-2y+3=0.
(1)当a=0时,直线l过直线m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O到直线m的距离为5,判断m与n的位置关系.
18.(12分)在平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(0,0),B(3,3),C(4,0).
(1)求边CD所在直线的方程;
(2)证明平行四边形ABCD为矩形,并求其面积.
19.(12分)如图,在△ABC中,顶点A,B和内心I的坐标分别为A(9,1),B(3,4),I(4,1),求顶点C的坐标.
20.(12分)如图,△ABC中,顶点A(1,2),边BC所在直线的方程为x+3y+1=0,边AB的中点为D(0,1).
(1)求边AB所在直线的方程;
(2)若|AC|=|BC|,求边AC所在直线的方程.
21.(12分)已知A-2k2-1,0,B0,-2kk2-1,其中k≠0且k≠±1,直线l经过点P(1,0)和线段AB的中点.
(1)求证:A,B关于直线l对称;
(2)当122.(12分)已知直线l:(2m+1)x+(m-1)y-5m-1=0与坐标轴围成的三角形面积为S.
(1)求证:不论m为何实数,直线l过定点P;
(2)分别求S=3和S=5时,所对应的直线条数;
(3)针对S的不同取值,讨论集合M={l|直线l经过点P,且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素个数.
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一、选择题
1.A 直线l的斜率为1=tan 45°,故倾斜角为45°,故选A.
2.A 5-(-2)=7,故选A.
3.D 点M到直线l的距离d=|m+4-1|m2+1=|m+3|m2+1,所以|m+3|m2+1=3,解得m=0或m=34,故选D.
4.B ∵直线的斜率k=-1a2+1,
∴-1≤k<0,则倾斜角α的范围是135°≤α<180°.
5.C 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,
于是3+n2=2×7+m2-3,n-3m-7=-12,解得m=35,n=315.
故m+n=345.
6.C 由3x+y=4,x-y=0解得x=1,y=1,即直线l1与l2的交点为M(1,1),
因为直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,
所以l3过点M或l3与l1、l2中的一条平行.
若l3过点M,则2-3m=4,即m=-23;
若l3∥l1,则23m=-3,即m=-29;
若l3∥l2,则23m=1,所以m=23.
综上,m的可能取值为-23,23,-29.
故选C.
7.B 易知a≠0.∵l1∥l2,∴1a-2=a3≠62a,
∴a(a-2)-3=0,2a-6(a-2)≠0,解得a=-1.
∴l1的方程为x-y+6=0,l2的方程为-3x+3y-2=0,即x-y+23=0,
∴l1,l2间的距离是6-2312+(-1)2=823.
8.B 依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有a+7=2,b+1=-2,解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为-3-17-(-5)=-13.
9.B 根据题意,可得直线l1与l2平行,点M在与直线l1和l2平行且距离都相等的直线上,
则M与原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,
设点M所在直线l的方程为x+y+m=0(m≠-2且m≠-6),
则|m+6|2=|m+2|2,解得m=-4,
可得l:x+y-4=0,
所以M与原点的距离的最小值为|-4|2=22.
故选B.
10.B 易知a≠0.直线ax+y+1=0经过定点A(0,-1),且斜率为-a.
若直线与线段PQ的延长线相交,
则-akPQ=2-13+2=15,
∴-1故选B.
11.D 由题意知P(0,1),Q(-3,0),∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,∴PM⊥QM.∵|PQ|=(-3-0)2+(0-1)2=10,∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10,故选D.
12.A 设平面上任一点M,连接MA,MB,MC,MD,AC,BD,∵|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当A,M,C共线时取等号,|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当B,M,D共线时取等号,∴若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|的值最小,则点M应为AC与BD的交点.∵kAC=6-23-1=2,∴直线AC的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.①
∵kBD=5-(-1)1-7=-1,∴直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0.②
由①②得2x-y=0,x+y-6=0,解得x=2,y=4,
∴M(2,4).故选A.
二、填空题
13.答案 83
解析 令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,∴a=83.
14.答案 x+y-1=0
解析 因为l∥m,且直线l在m:x+y+1=0的上方,
所以可设直线l的方程是x+y+c=0(c<1),
因为直线l与直线m的距离是2,
所以|c-1|12+12=2,
所以c=-1或c=3(舍去),
所以直线l的方程是x+y-1=0.
15.答案 17
解析 设点B关于直线l:x-y+1=0的对称点为C(m,n),连接AC,交l于点P,如图,
易得|PA|+|PB|的最小值即为|AC|.
因为线段BC的中点m2,n+32在直线x-y+1=0上,
所以m2-n+32+1=0,①
又kl·kBC=-1,
所以n-3m×1=-1,②
由①②解得m=2,n=1,所以C(2,1),
所以|AC|=(2+2)2+12=17.
故答案为17.
16.答案 b≥5
解析 ∵直线l1:2x-y-25=0与x轴交于点A,∴A(5,0).
∵直线l1⊥l2,且l1,l2的交点为P,O为坐标原点,直线l2在y轴上的截距为b(b>0),∴设直线l2:x+2y-2b=0.
当∠APO=45°时,点O到直线l2与l1的距离相等,
设直线l2与y轴交于点B,则|OB|=|OA|,即b=5,
∴当∠APO≤45°时,b≥5.
三、解答题
17.解析 (1)当a=0时,直线m:-x+3y+6=0,联立得-x+3y+6=0,x-2y+3=0,解得x=-21,y=-9,
即直线m与直线n的交点为(-21,-9).(1分)
当直线l过原点时,直线l的方程为3x-7y=0;(2分)
当直线l不过原点时,设l的方程为xb+y-b=1,将(-21,-9)代入,得b=-12,
所以直线l的方程为x-y+12=0.(4分)
故满足条件的直线l的方程为3x-7y=0或x-y+12=0.(5分)
(2)设原点O到直线m的距离为d,
则d=|-a+6|(a-1)2+(2a+3)2=5,
解得a=-14或a=-73.(8分)
当a=-14时,直线m的方程为x-2y-5=0,此时m∥n;
当a=-73时,直线m的方程为2x+y-5=0,此时m⊥n.(10分)
18.解析 (1)易得边AB所在直线的斜率kAB=33,CD∥AB,
∴kCD=kAB=33,(3分)
又∵C(4,0),∴边CD所在直线的方程为y-0=33(x-4),即x-3y-4=0.(6分)
(2)易得边BC所在直线的斜率kBC=-3,∴kAB·kBC=-1,
∴AB⊥BC,∴平行四边形ABCD为矩形.(8分)
可求得|AB|=23,|BC|=2,(10分)
故矩形ABCD的面积为|AB|·|BC|=43.(12分)
19.解析 AB边所在直线的方程为y-14-1=x-93-9,即x+2y-11=0.
内心I到直线AB的距离d=|4+2×1-11|12+22=5.(3分)
设AC边所在直线的方程为y-1=k(x-9),即kx-y+1-9k=0.
又I到直线AC的距离是5,
∴|4k-1+1-9k|k2+(-1)2=5,(5分)
解得k=±12.
∵kAB=-12,∴k=12.(7分)
故AC边所在直线的方程为x-2y-7=0.(8分)
同理,可求得BC边所在直线的方程为2x-y-2=0.(10分)
解方程组2x-y-2=0,x-2y-7=0,得x=-1,y=-4.
故顶点C的坐标为(-1,-4).(12分)
20.解析 (1)∵边AB的中点为D(0,1),A(1,2),
∴边AB所在直线的方程为y-21-2=x-10-1,
即x-y+1=0.(4分)
(2)∵|AC|=|BC|,
∴点C在线段AB的中垂线上,(6分)
易求得线段AB的中垂线方程为x+y-1=0,(8分)
由x+y-1=0,x+3y+1=0,得x=2,y=-1,
即C点的坐标为(2,-1).(10分)
又点A(1,2),
∴边AC所在直线的方程为y-2-1-2=x-12-1,
即3x+y-5=0.(12分)
21.解析 (1)证明:因为直线l经过线段AB的中点,
所以只需要证AB⊥l即可.
因为A-2k2-1,0,B0,-2kk2-1,
所以线段AB的中点为-1k2-1,-kk2-1.(2分)
又kAB=2kk2-1-2k2-1=-k,kl=kk2-11+1k2-1=1k,(4分)
所以kAB·kl=-k·1k=-1,
所以AB⊥l,
所以A,B关于直线l对称.(6分)
(2)因为kl=1k,所以直线l的方程为y=1k(x-1),其在y轴上的截距b=-1k,(8分)
因为1即-1所以直线l在y轴上的截距b的取值范围是-122.解析 (1)证明:(2m+1)x+(m-1)y-5m-1=0可化为m(2x+y-5)+(x-y-1)=0,
由2x+y-5=0,x-y-1=0,解得x=2,y=1,
∴不论m为何实数,直线l过定点P(2,1).(3分)
(2)由题意知,直线的斜率k存在,且k≠0,
设直线方程为y-1=k(x-2),直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,则A2-1k,0,B(0,1-2k),
∴S=12×2-1k×|1-2k|=(2k-1)22|k|.(4分)
令S=3,得(2k-1)2=6|k|.
当k>0时,方程化为4k2-10k+1=0,解得k=5±214,有两个正根,即有两条对应直线;
当k<0时,方程化为4k2+2k+1=0,Δ=-12<0,方程无实数根,即无对应直线.
综上,S=3时,所对应的直线条数为2.(6分)
令S=5,得(2k-1)2=10|k|.
当k>0时,方程化为4k2-14k+1=0,解得k=7±354,有两个正根,即有两条对应直线;
当k<0时,方程化为4k2+6k+1=0,解得k=-3±54,有两个负根,即有两条对应直线.
综上,S=5时,所对应的直线条数为4.(8分)
(3)由题意得,(2k-1)2=2S|k|.
当k>0时,方程化为4k2-(2S+4)k+1=0,
解得k=(S+2)±S2+4S4,有两个正根,即有两条对应直线.(9分)
当k<0时,方程化为4k2-(4-2S)k+1=0,Δ=4S(S-4).
若0若S=4,则Δ=0,方程有一个负根k=-12,此时有一条对应直线;
若S>4,则Δ>0,解得k=(2-S)±S2-4S4,方程有两个负根,即有两条对应直线.(11分)
综上,当04时,集合M中的元素有4个.(12分)
1.A
2.A
3.D
4.B
5.C
6.C
7.B
8.B
9.B
10.B
11.D
12.A