7.4综合拔高练-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

7.4综合拔高练

五年高考练

考点　二项展开式的特定项、项的系数、二项式系数

1.(2020北京,3,4分,)在(-2)5的展开式中,x2的系数为(　　)

A.-5 B.5 C.-10 D.10

2.(2020全国Ⅰ理,8,5分,)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为 (　　)

A.5 B.10 C.15 D.20

3.(2021浙江,13,6分,)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　;a2+a3+a4=　　　　. 

4.(2020全国Ⅲ理,14,5分,)的展开式中常数项是　　　　(用数字作答). 

5.(2020浙江,12,6分,)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=　　　　,a1+a3+a5=　　　　. 

6.(2019浙江,13,6分,)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. 

7.(2019江苏,22,10分,)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*,已知=2a2a4.

(1)求n的值;

(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.

三年模拟练

1.(2020湖南湘西古丈第一中学高二下质量检测,)已知多项式(2x-1)5-5(2x-1)4+10(2x-1)3-10(2x-1)2+5(2x-1)-1可以写成a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a2+a4=              (　　)

A.0 B.-1 024

C.-512 D.-256

2.(2020山东百师联盟高三开学摸底大联考,)(x2+x)5(x2-2x+1)10的展开式中,含x7的项的系数为              (　　)

A.100 B.300

C.500 D.110

3.(2020广东东莞高二下期末,)组合恒等式=+可以利用“算两次”的方法证明:分别求(1+x)n+1和(1+x)(1+x)n的展开式中xm的系数.前者(1+x)n+1的展开式中xm的系数为;后者(1+x)(1+x)n的展开式(1+x)(+x+…+xm-1+xm+…+xn)中xm的系数为1×+1×.因为(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n,所以两个展开式中xm的系数相等,即=+.则用“算两次”的方法化简式子++…+(n∈N*)=              (　　)

A. B. 

C. D.

4.(多选)(2020山东烟台高三新高考模拟,)已知(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是              (　　)

A.展开式的奇数项的二项式系数的和为256

B.展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含x15的项的系数为45

5.(2020湖南长沙长郡中学高三教学质量统测,)(x2+2)的展开式中所有项的系数和为　　,常数项为　　　　. 

6.(2020辽宁大连第二十四中学高三上期中,)已知正项等比数列{an}中,a3=3a1a2,a4=,用{x}表示实数x的小数部分,如{1.5}=0.5,{2.4}=0.4,记bn={an},则数列{bn}的前15项的和S15为　　　　. 

7.(2020湖南衡阳八中高三下线上模拟,)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)=a1x+a2x2+…+anxn,

g(x)=f(x)(x-n)=b1x+b2x2+…+bn+1xn+1,其中n∈N*,ai∈R(i=1,2,…,n),bi∈R(i=1,2,…,n+1),则a1+a2+…+an=　　　　,b1+nb2+n2b3+…+nn-1bn=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

7.4综合拔高练

五年高考练

1.C　(-2)5的展开式的通项是Tr+1=()5-r(-2)r=(-2)r,令=2,解得r=1,因此x2的系数为(-2)1=-10,故选C.

2.C　要求(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可,由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为=10,x4y的系数为=5,故x+(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C.

3.答案　5;10

解析　(x-1)3的展开式的通项为Tk+1=x3-k(-1)k(k=0,1,2,3),

(x+1)4的展开式的通项为Tr+1=x4-r(r=0,1,2,3,4).

令3-k=3,4-r=3,得k=0,r=1,所以a1=·(-1)0+=5.

令x=1,则原多项式化为24=1+a1+a2+a3+a4,

所以a2+a3+a4=24-a1-1=16-6=10.

4.答案　240

解析　展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r·=2rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为24=240.

5.答案　80;122

解析　二项展开式的通项Tr+1=(2x)r=·2rxr,∴a4=×24=80;a1+a3+a5=×2+×23+×25=10+80+32=122.

6.答案　16;5

解析　(+x)9的展开式的通项为Tr+1=xr=··xr(r=0,1,2,…,9),

令r=0,得常数项T1=××x0==16,

要使系数为有理数,则只需∈Z,则r必为奇数,满足条件的r有1,3,5,7,9,

故系数为有理数的项的个数是5.

7.解析　(1)因为(1+x)n=+x+x2+…+xn,n≥4,

所以a2==,a3==,

a4==.

因为=2a2a4,

所以=2××,解得n=5.

(2)由(1)知,n=5.

(1+)n=(1+)5=++()2+()3+()4+()5=a+b.

解法一:因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,

从而a2-3b2=762-3×442=-32.

解法二:(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+(-)4+(-)5=-+()2-()3+()4-()5.

因为a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.

因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.

三年模拟练

1.C　(2x-1)5-5(2x-1)4+10(2x-1)3-10(2x-1)2+5(2x-1)-1=[(2x-1)-1]5=(2x-2)5,即(2x-2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-4)5=-1 024,两式相加,可得2(a0+a2+a4)=-1 024,故a0+a2+a4=-512.故选C.

2.A　(x2+x)5(x2-2x+1)10=(x2+x)5(x-1)20,

其展开式的通项为xr·x20-k(-1)k=(-1)kx30-(r+k),

其中0≤r≤5,0≤k≤20,r,k∈N,

令30-(r+k)=7,得r+k=23,

所以可取r=3,k=20,此时含x7的项的系数为(-1)20=10;

取r=4,k=19,此时含x7的项的系数为

(-1)19=-100;

取r=5,k=18,此时含x7的项的系数为

(-1)18=190,

所以含x7的项的系数为10-100+190=100.

故选A.

3.A　(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n,

在(1+x)2n的展开式中xn的系数为,

而(1+x)n(1+x)n=(+x+x2+…+xn)(+x+x2+…+xn),

这个式子中xn的系数可由前一个括号中的一项乘后一个括号中的相应项得出,即+++…+,两个式子中xn的系数应相等,所以++…+=.故选A.

4.BCD　由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10,

又展开式的各项系数之和为1 024,所以当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1,

所以=(x2+)10,

其展开式的各二项式系数的和为210=1 024,则奇数项的二项式系数的和为×1 024=512,故A错误;

由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,所以展开式的各项的二项式系数与系数相同,即第6项的系数与二项式系数相等且最大,故B正确;

若展开式中存在常数项,则展开式中存在x的指数为0的项,由通项Tr+1=x2(10-r)·=,可得当20-r=0,即r=8时,符合要求,故C正确;

令20-r=15,得r=2,所以展开式中含x15的项的系数为=45,故D正确.

故选 BCD.

5.答案　3;-260

解析　将x=1代入(x2+2)中,得所有项的系数和为(1+2)×(2-1)6=3.

因为的展开式中含的项为×(2x)2=,常数项为(2x)3×=-160,所以(x2+2)的展开式中的常数项为60-2×160=-260.

6.答案　5

解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a3=3a1a2得a1q2=3q,易知a1≠0,q≠0,所以q=3a1,由a4=得=,解得q=4或q=-4(舍去),所以a1=,则an=a1qn-1=.

由==(3n+3n-1+…+3+)=3n-1+3n-2+…++,

所以bn=,则S15=15×=5.

7.答案　0;-nn

解析　由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)=a1x+a2x2+…+anxn,得f(1)=a1+a2+…+an=0.

b1x+b2x2+…+bn+1xn+1=g(x)=f(x)(x-n)=x(x-1)(x-2)…(x-n),

显然bn+1=1,

∴b1x+b2x2+…+bnxn=x(x-1)(x-2)…(x-n)-xn+1,

即b1+b2x+…+bnxn-1=(x-1)(x-2)…(x-n)-xn,

令x=n,得b1+b2n+…+bnnn-1=-nn,

∴b1+nb2+n2b3+…+nn-1bn=-nn.