高中人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示达标测试

这是一份高中人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示达标测试，共25页。试卷主要包含了若向量a=,b=,则2a-b=等内容，欢迎下载使用。
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一 空间向量的坐标表示
1.(2020安徽阜阳三中高二上期中)已知点A(-3,1,-4),点A关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)
C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)
2.(2020山西晋中高一上期末)已知点A(1,1,-3),B(3,1,-1),则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为( )
A.(-2,1,-2)B.(2,1,-2)
C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)
3.(2021首都师范大学附属中学高二上月考)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AA1|=5,|AD|=3,N为棱CC1的中点,分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;
(2)求点N的坐标.
题组二 空间向量线性运算的坐标表示
4.(2020山东滨州十二校高二上联考)已知向量a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则向量b= ( )
A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)
5.(2021辽宁辽阳高二上检测)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=( )
A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)
6.(2020上海徐汇高二下期末)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB1的坐标为(4,3,2),则AC1的坐标为 .
题组三 空间向量数量积的坐标表示
7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a上的投影向量为( )
A.-29,-49,-49B.29,49,49
C.-23,13,13D.23,-13,-13
8.(2020福建莆田第七中学高二上期末)若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于( )
A.5B.-5 C.7D.-1
9.(2021天津静海高二上检测)若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),则(c-a)·2b= .
题组四 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
10.(2021福建南平高二上期中)已知a=(sin θ,cs θ,tan θ),b=csθ,sinθ,1tanθ,且a⊥b,则θ 为( )
A.-π4B.π4 C.2kπ-π2(k∈Z)D.kπ-π4(k∈Z)
11.若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为( )
±10
12.(2020北京中央民族大学附属中学高二上期末)已知a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),若a⊥b,则x2+y2的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.[3,+∞) C.[4,+∞)D.[5,+∞)
题组五 利用空间向量的坐标运算求夹角和模
13.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b的夹角的余弦值为-26,则实数x的值为( )
A.-3B.11C.3D.-3或11
14.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为( )
A.6
15.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若AD=(2,a,1),且AB·AD=1,求a的值,并求此时向量AB与AD夹角的余弦值.
16.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;
(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析
能力提升练
题组一 利用空间向量解决平行、垂直问题
1.(2021江西新余一中、宜春一中高二上联考,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )
A.平行B.相交 C.异面垂直D.异面不垂直
2.(2020辽宁盘锦高二上期末,)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )
A.平行B.垂直 C.相交但不垂直D.位置关系不确定
3.(2020中国人民大学附属中学高一下期末,)三棱锥V-ABC中,侧面VBC⊥底面ABC,∠ABC=45°,VA=VB,AC=AB,则( )
A.AC⊥BCB.VB⊥AC C.VA⊥BCD.VC⊥AB
4.(2020云南师大附中高三下月考,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,M,N,H,R是各条棱的中点.
①直线AD1∥平面MNP;②HD1⊥CQ;③P,Q,H,R四点共面;④A1C1⊥平面AB1D1.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
5.(多选)(2020海南海口海南中学高三下月考,)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则以下四个结论正确的是( )
A.VP-AA1D=13B.点P必在线段B1C上
C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D
6.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.
(1)证明:BD1⊥AC;
(2)证明:BD1∥平面ACE.
题组二 利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题
7.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)
8.(2020四川内江高三三模,)如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23,则该几何体的体积为( )
A.16+8πB.32+16π C.32+8πD.16+16π
9.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是( )
A.62,2B.62,3 C.[1,2]D.[2,3]
10.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,下列命题中正确的是( )
A.AB1与BC1成60°角
B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于点E,则CE=13
C.P点在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则P点的轨迹长等于2
D.E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=π2
11.(2021山东滕州一中高二上月考,)如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成),正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形,正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形,已知点P是线段AC上的动点,点Q是线段B1D上的动点,则线段PQ长度的最小值为 .深度解析
12.(2020青海西宁五中高二期末,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求BN的模;
(2)求cs的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
答案全解全析
基础过关练
1.A ∵在空间直角坐标系中关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,∴点A(-3,1,-4)关于x轴对称的点的坐标是(-3,-1,4).
故选A.
2.A ∵点A(1,1,-3),B(3,1,-1),∴线段AB的中点M(2,1,-2),
∴点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(-2,1,-2).
故选A.
3.解析 (1)由已知,得A(0,0,0),由于点B在x轴的正半轴上,|AB|=4,故B(4,0,0),同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5),由于点C在坐标平面Axy内,BC⊥AB,CD⊥AD,故C(4,3,0),同理可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,|CC1|=|AA1|=5,则C1(4,3,5).
(2)由(1)知,C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点坐标为N4,3,52.
4.A b=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).
故选A.
5.C 因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),
所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0),故选C.
6.答案 (-4,3,2)
解析 因为点D(0,0,0),DB1=(4,3,2),所以B1(4,3,2),即AD=4,CD=3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2),因此AC1=(-4,3,2).
7.B ∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2,
∴向量a方向上的单位向量e=a|a|=13,23,23,
∴向量b在a上的投影向量m=|a·b||a|e=222+22+1213,23,23
=29,49,49.
故选B.
8.B ∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),
∴两式相加得2a=(2,-4,0),
解得a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2),
∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5,故选B.
9.答案 -2
解析 ∵c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),
∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.
10.D ∵a=(sin θ,cs θ,tan θ),b=csθ,sinθ,1tanθ,且a⊥b,
∴sin θcs θ+cs θsin θ+1=0,
即sin 2θ=-1,
∴2θ=-π2+2kπ,k∈Z,
∴θ=-π4+kπ,k∈Z.
故选D.
11.D ∵在△ABC中,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),
∴CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k),
又∠C=90°,∴CB·CA=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)
=-2k2+20=0,
∴k=±10.
故选D.
12.C ∵a=(x,-4,2),b=(3,y,-5),a⊥b,
∴a·b=3x-4y-10=0,∴y=34x-52,
∴x2+y2=x2+34x-522=2516x-652+4≥4,
∴x2+y2的取值范围为[4,+∞).
故选C.
13.A 根据公式cs=a·b|a||b|=x+8-10x2+16+25×1+4+4=-26,
∴x-2x2+41=-22,且x