寒假复习试卷01：2021-2022人教A版（2019）高二上学期数学寒假复习题

高二上学期数学期末模拟试卷（人教A版）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

4．如图，空间四边形中，，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）．

A． B．

C． D．

6．已知数列满足，且，那么（    ）

A． B． C． D．

7．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

8．设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。

9．已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（　　）

A．直线l2的斜率为

B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18

C．直线l1倾斜角的正切值为3

D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2

10．已知曲线（    ）

A．若，，则是两条直线

B．若，则是圆，其半径为

C．若，则是椭圆，其焦点在轴上

D．若，则是双曲线，其渐近线方程为

11．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

12．如图，设E，F分别是正方体的棱上两点，且，，则下列说法中正确的是（    ）

A．异面直线与所成的角为

B．三棱锥的体积为定值

C．平面与平面所成的二面角大小为

D．直线与平面所成的角为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．圆与圆的公共弦长为________．

14．数列中，，记数列的前n项和为Tn，则____________．

15．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________．

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17．已知直线：，⊙的方程为．

（1）求证：与⊙相交；

（2）若与⊙的交点为、两点，求的面积最大值．（为坐标原点）

18．已知过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点．

（1）若AB的斜率为1，求；

（2）求证：的值是定值；

（3）若A点处抛物线的切线方程是，求．

19．已知数列的前项和为，，.

（Ⅰ）求数列的前项和为；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）令，求数列的前项和.

20．如图，在三棱柱中，，侧面底面ABC.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

21．设椭圆：（）的左、右交点分别为，，下顶点为.已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点.

22．对于正项数列，定义为数列的“匀称”值.

（1）若数列的“匀称”值，求数列的通项公式；

（2）若数列的“匀称”值，设，求数列的前项和及的最小值.

参考答案

1．D

【详解】

直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.

故选：D.

2．C

【详解】

由已知得．∴，

∴．

故选：C．

3．B

【详解】

因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

故选：B．

4．A

【详解】

因为，又因为，，所以.
故选：A

5．D

【详解】

由圆，得，

，

由垂径定理可知，

所以直线斜率满足，即，

所以直线的方程为：，即，

故选：D.

6．D

【详解】

解：由，得，，

又，那么．

故选：D．

7．C

【详解】

由题意，设椭圆的方程为，

由椭圆的离心率为，面积为，

∴，解得，

∴椭圆的方程为，

故选：C.

8．C

【详解】

由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大，

∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时，

此时，，即，又，

∴，解得，又，

∴.

故选：C.

9．BD

【详解】

解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，

当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；

当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；

直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；

当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．

故选：BD．

10．AD

【详解】

对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；

对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；

对于C，若，则，

所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；

对于D，若，则为双曲线，

且其渐近线为，故D正确.

故选：AD.

11．BC

【详解】

若，当时，，不满足，故A错误.

若，当时，，且，则，

又满足，所以是等比数列，故B正确.

若是等差数列，则，故C正确.

，故D错误.

故选：BC.

12．BCD

【详解】

A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A错误；

B，面积不变，到平面即平面的距离不变，因此三棱锥体积为变，即三棱锥的体积为定值，正确；

C，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C正确；

D．连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．

故选：BCD．

13．4

【详解】

根据题意，设两圆的交点为A和B，又由圆，圆，则直线的方程为，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则．故答案为：4．

14．100

【详解】

由同取倒数得，即为等差数列，首项为，公差为3，所以.

故答案为：100

15．

【详解】

根据题意，取点为第一象限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：

因为△为等边三角形，又，

故可得

则点的坐标为，代入椭圆方程可得：，

又，整理得：，

即，解得（舍）或.

故答案为：.

16．

【详解】

双曲线方程为：，双曲线的渐近线方程为：，

假设A是双曲线渐近线上的一点，双曲线的左焦点为，

右焦点为.如图示：

到渐近线的距离为：，

在中，，

又，，

在中根据余弦定理：，

又，，

，，.

故答案为：

17．（1）证明见解析（2）

（1）

由直线：，得，

由可得，所以直线过定点，

由圆：可得，

可得圆心坐标，从而可得直线过圆心，则与⊙相交；

（2）

因为直线过圆的圆心，所以，

因为点在圆上，则到直线距离的最大值为，

所以的面积最大值为．

18．（1）（2）证明见解析（3）

（1）

抛物线的焦点，依题意，直线AB的方程为：，

由消去y得：，于是得，

则，

所以长为8.

（2）

显然直线AB不垂直于x轴，设直线AB方程为：，

由消去y得：，因此，，

所以的值是定值.

（3）

因A点处抛物线的切线方程是，则由解得，即点，

而抛物线的弦AB过点F，则由(2)可得，因此，，

所以.

19．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【详解】

（Ⅰ）由，得，

又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，

所以，即.

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得，

又也符合上式，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，

所以，①

，②

①−②，得

故.

20．（1）证明见解析；（2）.

（1）

在侧面中，，则四边形为菱形，对角线，

因侧面底面，，即，平面底面，

则侧面，又侧面，因此，，

又，则平面，而平面，

所以平面平面.

（2）

在中，，则，而是菱形，，则为正三角形，

令，有O为中点，取中点E，连OE，则，而侧面，必有侧面，

以O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

，

设平面的一个法向量为，则，令，得，

又为平面的一个法向量，则，

所求二面角大小为，于是得，所以二面角的正弦值为.

21．（1）.（2）证明见解析.

（1）解：由已知得，解得，

又椭圆过点，所以，即有，解得，

所以椭圆的方程是；

（2）

解：由（1）得，设，

当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则，所以，

解得，此时直线l的方程为；

当直线l的斜率存在时，设其方程为，与椭圆的方程联立消y得：

，

则，

又，

所以，即，

所以，整理得，

因为直线不过点A，所以，所以，即，

所以直线的方程为，即，恒过点，此点也在直线上，

所以直线经过定点.

22．（1）；（2），.

【详解】

（1）当时，由

得

当时，

当时，

即，检验时，成立

；

（2）当时，由

得

当时，

当时，

即，检验时，成立

当为奇数时，当为偶数时，

令，则

所以数列为递增数列，即数列为递增数列

当时，