2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与四边形综合问题（二）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与四边形综合问题（二），共20页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，已知 A8,0，P 是 y 轴上一动点，线段 PA 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90∘ 至线段 PB 位置，连接 AB，OB．
（1）设 P 点坐标为 0,m，请求出 B 点坐标；
（2）求 BO+BA 的最小值．

2. ，如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A3,0，B−1,0，C0,−3．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标．
（3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求点 P 的坐标．若不存在，请说明理由．

3. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，定义如下：点 M 与点 N 的“直角距离”为 x1−x2+y1−y2，记作 dMN．
例如：点 M1,5 与 N7,2 的“直角距离”dMN=1−7+5−2=9．
（1）已知点 P1−1,0，P2−32,12，P3−12,14，P4−12,−12，则在这四个点中，与原点 O 的“直角距离”等于 1 的点是 ．
（2）如图，已知点 A1,0，B0,1，根据定义可知线段 AB 上的任意一点与原点 O 的“直角距离”都等于 1．
若点 P 与原点 O 的“直角距离”dOP=1，请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全．
（3）已知直线 y=kx+2，点 Ct,0 是 x 轴上的一个动点．
①当 t=3 时，若直线 y=kx+2 上存在点 D，满足 dCD=1，求 k 的取值范围．
②当 k=−2 时，直线 y=kx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F．若线段 EF 上任意一点 H 都满足 1≤dCH≤4，直接写出 t 的取值范围．

4. 如图，四边形 ABCD 为菱形，已知 A3,0 ， B0,4 ．
（1）求点 C 的坐标；
（2）求经过点 C ， D 两点的一次函数的解析式．

5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，点 C 在 x 轴的正半轴上，线段 OA，OC 的长分别是 m，n 且满足 m−62+n−8=0．点 D 是线段 OC 上一点，将 △AOD 沿直线 AD 翻折，点 O 落在矩形对角线 AC 上的点 E 处．
（1）求 OA，OC 的长．
（2）求直线 AD 的解析式．
（3）点 M 在直线 DE 上，在 x 轴的正半轴上是否存在点 N，使以 M，A，N，C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 如图，A−2,2，AB⊥x 轴于点 B，AD⊥y 轴于点 D，C−2,1 为 AB 的中点，直线 CD 交 x 轴于点 F．
（1）求直线 CD 的函数关系式．
（2）过点 C 作 CE⊥DF 且交 x 轴于点 E，求证：∠ADC=∠EDC．
（3）点 P 是直线 CE 上的一个动点，求得 PB+PF 的最小值为 ．（请直接写出答案）

7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−23x+4 分别交 x，y 轴于 B，A 两点，将 △AOB 沿直线 l2:y=2x−92 折叠，使点 B 落在 y 轴上的点 C 处．
（1）①点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ．
②求点 C 的坐标．
（2）①点 D 在线段 BA 上，当 △CDB 与 △CDO 面积相等时，求 OD 所在直线的解析式．
②如图，在①的条件下，以 OD 为一边作正方形 OPQD（点 Q 在第二象限），则点 Q 的坐标为 ．
（3）在射线 BA 上是否还存在其它的点 Dʹ，使得 △CDʹB 与 △CDʹO 面积相等?若存在，求出点 Dʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，已知一次函数 y=33x+6 的图象分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，点 P 从点 A 出发沿 AO 方向以每秒 3 单位长度的速度向终点 O 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 2 个单位长度向终点 A 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 t 秒，过点 Q 作 QC⊥y 轴，连接 PQ，PC．
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，AB= ．
（2）当点 Q 运动到 AB 中点时，求此时 PC 所在直线的解析式．
（3）若点 D0,2，点 N 在 x 轴上，直线 AB 上是否存在点 M，使以 M，N，B，D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 如图，等腰直角 △ABC 的斜边 AB 在 x 轴上且长为 4，点 C 在 x 轴上方．矩形 ODEF 中，点 D，F 分别落在 x，y 轴上，边 OD 长为 2，DE 长为 4，将等腰直角 △ABC 沿 x 轴向右平移得等腰直角 △AʹBʹCʹ．
（1）当点 Bʹ 与点 D 重合时，求直线 AʹCʹ 的解析式；
（2）连接 CʹF，CʹE．当线段 CʹF 和线段 CʹE 之和最短时，求矩形 ODEF 和等腰直角 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积；
（3）当矩形 ODEF 和等腰直角 △AʹBʹCʹ 重叠部分的面积为 2.5 时，求直线 AʹCʹ 与 y 轴交点的坐标．（本问直接写出答案即可）

10. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−34x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PC⊥AB 于点 C．
（1）当点 P 是 OA 中点时，求 △APC 的面积；
（2）连接 BP，若 BP 平分 ∠ABO，求此时点 P 的坐标；
（3）设点 D 是 x 轴上方的坐标平面内一点，若以点 O，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求点 D 的坐标及此时 OP 的长．
答案
第一部分
1. （1） 如图，作 BC⊥y 轴于点 C，
∵ 线段 PA 绕着点 P 按逆时针方向旋转 90∘ 至线段 PB 位置，
∴PA=PB，∠BPA=90∘，
∵BC⊥y 轴，∠POA=90∘，
∴∠BCP=∠POA=90∘，
∴∠OAP+∠OPA=90∘，∠CPB+∠OPA=90∘，
∴∠CPB=∠OAP，
∴△BPC≌△PAOAAS，
∴BC=OP，PC=AO，
∵P0,m，A8,0，
∴BC=OP=m，PC=AO=8，
∴B 点坐标为 m,m+8．
（2） 如图，
∵Bm,m+8，
∴B 点直线 y=x+8 上，
设直线 y=x+8 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，作点 O 关于 y=x+8 的对称点 D，连接 DE，DF，DA，DB，则 EF 垂直平分 OD，
∴BD=BO，
∴OB+AB=BD+AB≥AD，
∴BD+AB 的最小值为 AD，即 BO+AB 的最小值为 AD，
∵OE=OF=8，
∴∠FEO=∠EFO=45∘，
∴ 四边形 DEOF 为正方形，
∴∠DEA=90∘，DE=8，EA=16，
∴AD=82+162=85，
∴BO+AB 的最小值为 85．
2. （1） 把 A3,0，B−1,0，C0,−3 代入抛物线解析式得：9a+3b+c=0,a−b+c=0,c=−3,
解得：a=1,b=−2,c=−3,
则该抛物线解析式为 y=x2−2x−3．
（2） 设直线 BC 解析式为 y=kx−3，
把 B−1,0 代入得：−k−3=0，即 k=−3，
∴ 直线 BC 解析式为 y=−3x−3，
∴ 直线 AM 解析式为 y=13x+m，
把 A3,0 代入得：1+m=0，即 m=−1，
∴ 直线 AM 解析式为 y=13x−1，
联立得：y=−3x−3,y=13x−1,
解得：x=−35,y=−65,
则 M−35,−65．
（3） 存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设 Qx,0，Pm,m2−2m−3，
当四边形 BCQP 为平行四边形时，由 B−1,0，C0,−3，
根据平移规律得：−1+x=0+m，0+0=−3+m2−2m−3，
解得：m=1±7，x=2±7，
当 m=1+7 时，m2−2m−3=8+27−2−27−3=3，即 P1+7,2．
当 m=1−7 时，m2−2m−3=8−27−2+27−3=3，即 P1−7,2．
3. （1） P1，P4
【解析】由题意有 dOP1=−1−0=1，
dOP2=−32−0+12−0=2，
dOP3=−12−0+14−0=34，
dOP4=−12−0+−12−0=1，
∴ 与原点 O 的直角距离等于 1 的点是 P1 与 P4．
（2） 如图 1 所示，正方形 ABPQ 上所有的点都满足条件，
∴ 线段 AB 上的所有点都满足与原点的“直角距离”等于 1，
∴ 线段 AB 关于原点的对称线段 QP 满足条件，
线段 AB 与 x 轴，y 轴的对称线段也满足条件，
∴ 所有满足条件的 P 点，组成的图形即为正方形 ABPQ．
（3） ①当 t=3 时，C 点坐标为 3,0，
由（2）可得，若 dCD=1，则 D 点在正方形 EFMN 上 CN=CF=CE=CM=1，
此时：F2,0，M3,−1，N4,0，E3,1，
由图 2 可知，要使 y=kx+2 上存在 D，使 dOD=1，则 k