2022届高考大一轮复习知识点精练：三角函数模型的应用

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：三角函数模型的应用，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置 Px,y．若初始位置为 P032,12，当秒针从 P0（注：此时 t=0）开始走时，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数解析式为
A. y=sinπ30t+π6，t∈0,+∞
B. y=sin−π60t−π6，t∈0,+∞
C. y=sin−π30t+π6，t∈0,+∞
D. y=sin−π30t−π3，t∈0,+∞

2. 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将处于图中的
A. 甲B. 戊C. 丙D. 丁

3. 电流强度 IA 随时间 ts 变化的关系式是 I=5sin100πt+π3，则当 t=1200 s 时，电流强度 I 为
A. 5 AB. 2.5 AC. 2 AD. −5 A

4. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形 OAD 挖去扇形 OBC 后构成）．已知 OA=10 米，OB=x 米（00 在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是
A. I=300sin50πt+π3B. I=300sin50πt−π3
C. I=300sin100πt+π3D. I=300sin100πt−π3

10. 动点 Ax,y 在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周，已知时间 t=0 时，点 A 的坐标是 12,32，则当 0≤t≤12 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A. 0,1B. 1,7
C. 7,12D. 0,1,7,12

11. 稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．某市某房地产中介对本市一楼群今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价 y（每平方米面积的价格，单位：元）与第 x 季度之间近似满足：y=500sinωx+φ+9500ω>0，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x123y100009500?
则此楼群在第三季度的平均单价大约是
A. 10000 元B. 9500 元C. 9000 元D. 8500 元

12. 如图所示，一个单摆以 OA 为始边，OB 为终边的角 θ−π0，∣φ∣s2B. s10,ω>0,∣φ∣0，φ∈0,π．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：
①该地区月平均最高气温最高的 7 月份与最低的 1 月份相差 30 摄氏度；
② 1 月份该地区月平均最高气温为 3 摄氏度，随后逐月递增直到 7 月份达到最高；
③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．
根据已知信息，得到 Gn 的表达式是 ．

25. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asinωπt+π4+60（美元）A>0,ω>0，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t=150（天）时达到最低油价，则 ω 的最小值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为 1 米，圆环的圆心 O 距离地面的高度为 1.5 米，蚂蚁爬行一圈需要 4 分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点 P0 处．
（1）试写出蚂蚁距离地面的高度 h（米）关于时刻 t（分钟）的函数关系式 ht；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 1 米?

27. 如图某公园有一块直角三角形 ABC 的空地，其中 ∠ACB=π2，∠ABC=π6，AC 长 a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 DEF 建文化景观区，其中 D，E，F 分别在 BC，AC，AB 上，设 ∠DEC=θ．
（1）若 θ=π3，求 △DEF 的边长；
（2）当 θ 多大时，△DEF 的边长最小?并求出最小值．

28. 进博会期间，有一个边长 80 m 的正方形展厅 OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以 O 为圆心，60 m 半径的扇形 ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地 PGBF，矩形有两条边分别落在边 AB 和 BC 上，设 ∠POA=π12≤α≤5π12．
（1）用 α 表示矩形 PGBF 的面积，并求出当矩形 PGBF 为正方形时的面积（精确到 1 m2 ）；
（2）当 α 取何值时，矩形 PGBF 的面积 SPGBF 最大?并求出最大面积（精确到 1 m2 ）．

29. 如图，矩形 ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形 DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在 △ADE 区域内参观．在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中 M，N 在线段 DE（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方．经测量得知：AD=6 米，AE=6 米，AP=2 米，∠MPN=π4．记 ∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域 △PMN 的面积为 S 平方米．
（1）分别求线段 PM，PN 关于 θ 的函数关系式，并写出 θ 的取值范围；
（2）求 S 的最小值．

30. 如下平面图，老爷爷想为孙子在后花园做一个简易的过山车轨道．水泥桩 OB 与 MP 的高度分别是 3 米和 2 米，点 B，P，A（A 在 P 的右边）在以 O 为圆心，OB 为半径的圆上，轨道由圆弧 BPA 和切线段 AC 连接而成（A 为切点，C 在地面 OM 上），记锐角 ∠AOC=θrad．

（1）求 csθ 的取值范围．
（2）已知弧线轨道造价为 4003 元/米，直线轨道造价为 100 元/米，当 θ 为多少时，轨道总造价最少?

31. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6 cm，AD=12 cm，在线段 AB 上取一点 M，沿着过 M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点 B 恰好落在矩形的左边 AD 边上．设折痕所在直线与 BC 交于 N 点，记折痕 MN 的长度为 l，翻折角 ∠BNM 为 θ．
（1）探求 l 与 θ 的函数关系，推导出用 θ 表示 l 的函数表达式；
（2）设 BM 的长为 x cm，求 x 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B【解析】将 t=1200 代入 I=5sin100πt+π3 得 I=2.5 A．
4. A
5. A
【解析】因为 ∠xOP0=π6，所以 −π6 是以 Ox 为始边，OP0 为终边的角，
由 OP 在 t s 内转过的角为 2×2π60=π15t，可知以 Ox 为始边，以 OP 为终边的角为 π15t−π6，
则点 P 的纵坐标为 2sin515t−π6，
所以点 P 距水面的高度 h m 表示为时间 t s 的函数关系是 h=2sinπ15t−π6+1，t∈0,+∞．
6. D
7. A【解析】由图表可得函数 y=k+Asinωt+φ 的最大值为 15，最小值为 9，故 k=15+92=12，A=15−12=3，由于当函数取得最大值时，相邻的两个 t 值分别为 t=3 和 t=15，
故函数的周期等于 15−3=12=2πω，
解得 ω=π6，
故函数的解析式为
y=12+3sinπ6t+φ，
由当 t=0 时，函数值等于 12，
可得 12+3sinφ=12，所以 sinφ=0，
所以 φ=kπ，k∈Z，故可取 φ=0，
故函数的解析式为 y=12+3sinπ6t,t∈0,24．
8. B【解析】由题意知 A=3，ω=2π×460=2π15．
9. C
10. D
【解析】因为 T=12，所以 2π12=π6，从而可设 y 关于 t 的函数为 y=sinπ6t+φ．又因为当 t=0 时，y=32，即 sinφ=32，不妨取 φ=π3，所以 y=sinπ6t+π3．所以当 2kπ−π2≤π6t+π3≤2kπ+π2k∈Z，即 12k−5≤t≤12k+1k∈Z 时，该函数单调递增．因为 0≤t≤12，所以函数的单调递增区间为 0,1,7,12．
11. C【解析】因为 y=500sinωx+φ+9500ω>0，所以当 x=1 时，500sinω+φ+9500=10000；当 x=2 时，500sin2ω+φ+9500=9500，解得 ω=π2，φ=0，即 y=500sinπ2x+9500．当 x=3 时，y=9000．
12. B【解析】当 t=0 时，θ=12sinπ2=12，
由函数解析式易知单摆周期为 2π2=π，
故单摆频率为 1π．
13. A【解析】由题意，可得 A=9−52=2，b=7，周期 T=2πω=2×7−3=8，
所以 ω=π4．
于是 fx=2sinπ4x+φ+7，再代入 3,9 结合 φ 的范围得 φ 的值为 −π4．
14. D【解析】由单摆离开平衡位置 O 的距离 scm 和时间 ts 的函数关系可知，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期，即 ω=2π，所以 T=2πω=1．
15. C
【解析】由题意可得 f=1T=160π2π=80，
所以此人每分钟心跳的次数是 80．
16. C【解析】当 t=2π3 时，s1=−5，s2=−5，所以 s1=s2．
17. C【解析】提示：函数 y=3sinπ6+φ+k 为 y=3sinπ6+φ+5，这段时间水深的最大值为 y=3+5=8．
18. B【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
设某人到点 P 所在平面的高度为 fx，时间为 x，
则设 fx=Asinωx+φ，
因为每 30 分钟转一圈，
所以周期 T=30，
因为 T=2πω=30，
所以 ω=π15，
因为摩天轮的半径为 10 m，
所以 A=10，
所以 fx=10sinπ15x+φ，
因为 f0=sinφ=0，
所以 φ=0，
所以 fx=10sinπ15x．
此人距地面 17 m 时，fx=5 m，
若 fx≥5 m，
则 10sinπ15x≥5，
即 sinπ15x≥12，
所以 π6+2kπ≤π15x≤5π6+2kπ，k∈Z，
所以 52+30k≤x≤252+30k，k∈Z，
所以距地面不低于 17 m 的时间约 10 分钟．
19. C【解析】由图可知 −3+k=2，所以 k=5，
所以 y=3sinπ6x+φ+5，所以 ymax=3+5=8．
20. C
【解析】由题意知，函数的周期为 T=60，所以 ∣ω∣=2π60=π30．
设函数解析式为 y=sin±π30t+φ．
因为初始位置为 P032,12，
所以 t=0 时，y=12，所以 sinφ=12，
所以 φ 可取 π6，
所以函数解析式可以是 y=sin±π30t+π6．
又由秒针顺时针转动可知，y 的值从 t=0 开始要先逐渐减小，
故 y=sin−π30t+π6．
第二部分
21. y=10sinπ8x−54π+20
【解析】由图知 A=10，b=20，
12T=14−6，
T=16，
2πω=16，
ω=π8，
14ω+φ=π2，
14×π8+φ=π2，
φ=−54π，
所以 y=10sinπ8x−54π+20．
22. y=2sinπ2t,t∈0,2,sinπ3t−2+π,t∈2,5.
23. 5 s，d=4sin215πt−π6+2
【解析】（1）∠POPʹ=180∘−∠POM=180∘−60∘=120∘．
又 ω=2π7=215π，
所以 t=2π3ω=5s．
（2）因为半径为 4 m，
所以 A=4，
由（1）得 ω=215π，
又 OM=2，
所以 k=2（可以理解为平衡位置时 y=2），
所以 d=4sin215πt+φ+2，
代入 t=0 时，d=0．
⇒φ=−π6，
所以 d=4sin215πt−π6+2．
24. Gn=15csπ6n+5π6+18，n 是正整数且 n∈1,12
【解析】由题意可知 −A+k=3,A+k−−A+k=30, 解得：A=15,k=18,
7−1=12⋅2πω，解得：ω=π6,
当 x=7 时，π6×7+φ=2kπ，k∈Z，
得：φ=−76π+2kπ, 因为 φ∈0,π，所以 φ=56π，
所以 Gn 的表达式是 ，Gn=15csπ6n+5π6+18，n 是正整数且 n∈1,12．
25. 1120
第三部分
26. （1） 如图所示：
蚂蚁爬行一圈需要 4 分钟 ⇒ 在时刻 t 所转过的圆心角为：2π4t=π2t，OB=csπ2t⇒h=1.5−csπ2t．
（2） h=1.5−csπ2t>1⇒csπ2t