第8章 第5节　椭圆教案

这是一份第8章 第5节　椭圆教案，共17页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若an>0，椭圆的焦点在y轴上⇔00)的焦点坐标相同．(×)
2．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标为( )
A．(±3,0) B．(0，±3)
C．(±9,0) D．(0，±9)
B 解析：根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，所以c＝3，故焦点坐标为(0，±3)．
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2\r(2),3)
C 解析：不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq \r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
4．若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是______________．
eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq \r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
5．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)) 解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2).
又x＞0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，
所以点P坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
考点1 椭圆的定义及应用——基础性
(1)(2020·广东东莞4月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
B 解析：如图所示，因为△ABF2是边长为4的等边三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝eq \f(1,2)|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.
又因为|F1F2|＝2c＝eq \r(|AF2|2－|AF1|2)＝2eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1.故选B．
(2)(2020·怀宁县第二中学高三月考)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B．eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C．eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
D 解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
所以动圆的圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
(3)(2020·深圳高三二模)已知A，F分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且点N的纵坐标为eq \f(3,5)b.若△FMN的周长为6，则△FAN的面积为________．
eq \f(8\r(3),5) 解析：如图所示，
由题意得，A(0，－b)，F(－c,0)，直线MN的方程为y＝eq \r(3)x－b.
把y＝eq \f(3,5)b代入椭圆方程，解得x＝eq \f(4,5)a，
所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)a，\f(3,5)b)).
因为N在直线MN上，所以eq \f(3,5)b＝eq \r(3)×eq \f(4,5)a－b，解得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),2).
又a2＝b2＋c2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(3))b))eq \s\up8(2)＝b2＋c2，解得b＝eq \r(3)c.
令y＝eq \r(3)x－b＝0，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,\r(3))，0))，即M(c，0)，
所以M为椭圆的右焦点，所以|FM|＝2c.
由椭圆的定义可知，|NF|＋|NM|＝2a，因为△FMN的周长为6，所以2a＋2c＝6，
因为eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),2)，b＝eq \r(3)c，所以a＝2c，所以c＝1，a＝2，b＝eq \r(3)，
所以S△FAN＝eq \f(1,2)·|FM|·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,5)b－－b))
＝c·eq \f(8,5)b＝eq \f(8\r(3),5).
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
1．(2020·北京四中高三开学考试)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
A 解析：若△AF1B的周长为4eq \r(3)，由椭圆的定义可知，4a＝4eq \r(3)，所以a＝eq \r(3).因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选A．
2．(2020·上海高三三模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，O为坐标原点，点A是椭圆在第一象限的一点，且△OAF为等边三角形，则a＝________.
eq \f(\r(3)＋1,2) 解析：如图所示，△OAF为等边三角形，由|OF|＝|OF1|＝|OA|＝1，得△AF1F是直角三角形．
所以|F1F|＝2，|AF|＝1，|AF1|＝eq \r(3).由椭圆的定义得2a＝|AF1|＋|AF|＝eq \r(3)＋1，所以a＝eq \f(\r(3)＋1,2).
考点2 椭圆的标准方程——综合性
(1)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C 解析：把椭圆方程化成eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1.若m＞n＞0，则eq \f(1,n)＞eq \f(1,m)＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则eq \f(1,n)＞eq \f(1,m)＞0，即有m＞n＞0.故“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 解析：(方法一)椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq \r(5).
由c2＝a2－b2得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
(方法二)因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在所求椭圆上，所以eq \f(－\r(5)2,a2)＋eq \f(\r(3)2,b2)＝1，即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
本例(2)若改为：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq \r(3)，－eq \r(5))，则椭圆的方程为____________．
eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up8(2) m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up8(2) n＝1，,3m＋5n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,6)，,n＝\f(1,10)，))
所以椭圆的方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
(2)待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1．(2020·银川高级中学高三月考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2eq \r(3)，则椭圆方程为( )
A．eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
C 解析：由题意可得c＝eq \r(3)，eq \f(2b2,a)＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝eq \r(6)，
所以所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1.故选C．
2．(2020·福建省抚州市高三模拟)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2eq \r(3)，点E在C上，EF1⊥EF2，直线EF1的斜率为eq \f(b,c)(c为半焦距)，则椭圆C的方程为____________．
eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 解析：因为EF1⊥EF2，且直线EF1的斜率为eq \f(b,c)，根据斜率的定义可知，倾斜角的正切值eq \f(EF2,EF1)＝eq \f(b,c)，故根据比例关系有EF2∶EF1∶F1F2＝b∶c∶eq \r(b2＋c2)＝b∶c∶a.
故离心率eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(F1F2,EF2＋EF1)＝eq \f(a,b＋c)，即eq \f(c,a)＝eq \f(a,b＋c).
故a2＝bc＋c2⇒a2－c2＝bc⇒b2＝bc，故b＝c.又2c＝2eq \r(3)，故b＝c＝eq \r(3).
故a＝eq \r(3＋3)＝eq \r(6).故椭圆C的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
考点3 椭圆的几何性质——综合性
考向1 求椭圆的离心率或取值范围
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
D 解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示．
设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.
因为|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝eq \r(3)c，即点P(2c，eq \r(3)c)．
因为点P在过点A，且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，
所以eq \f(\r(3)c,2c＋a)＝eq \f(\r(3),6)，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)，所以e＝eq \f(1,4).
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2 与椭圆的性质有关的最值或范围问题
如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
4 解析：由题意知a＝2，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－eq \r(3)≤y0≤eq \r(3).因为F(－1,0)，A(2,0)，eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)－x0－2＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－x0＋1＝eq \f(1,4)(x0－2)2.则当x0＝－2时，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值4.
椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．
1．(多选题)(2020·菏泽期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米．设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
ABD 解析：由题设条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝a－c－R，①,n＝a＋c－R，②))
所以a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；
①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋R＝a－c，,n＋R＝a＋c))可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝eq \r(m＋Rn＋R)，故D正确．故选ABD．
2．已知两定点A(－1,0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值．
解：不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)＝1(a>1)，
与直线l的方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq \r(5)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a)≤eq \f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq \f(\r(5),5).
设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
思路参考：利用曲线范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c,0)，F2(c,0)，
则eq \(F1P,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq \(F2P,\s\up6(→))＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知eq \(F1P,\s\up6(→))⊥eq \(F2P,\s\up6(→))，
则eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(F2P,\s\up6(→))＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
将这个方程与椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1联立，
消去y，可得x2＝eq \f(a2c2－a2b2,a2－b2).
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2