2021年北京顺义区四中顺义分校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区四中顺义分校八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知 1 纳米 =0.000000001 米，则 26 纳米用科学记数法表示为
A. 2.6×10−9 米B. 2.6×10−8 米C. 2.6×10−10 米D. 2.6×108 米

2. 下面有 4 个汽车标致图案，其中是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

3. 下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是
A. 12x+1B. x2x+1C. 3x+1x2D. x22x2+1

4. 下列各式运算正确的是
A. x2+x3=x5B. x3−x2=xC. x2⋅x3=x6D. x32=x6

5. 下列交通标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 化简：x−4x2−9÷1−1x−3 的结果是
A. x−4B. x+3C. 1x−3D. 1x+3

7. 下列多项式能分解因式的是
A. x2−yB. x2+1C. x2+y+y2D. x2−4x+4

8. 如图所示，A，B，C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在
A. AC ， BC 两边高线的交点处
B. AC ， BC 两边中线的交点处
C. AC ， BC 两边垂直平分线的交点处
D. ∠A ， ∠B 两内角平分线的交点处

9. 计算 xx−2−xx+2÷4x2−x 的结果是
A. −1x+2B. 1x+2C. −1D. 1

10. 在 △ABC 和 △DEF 中，根据下面条件，不能得出 △ABC 与 △DEF 全等的是
A. AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF
B. AB=DE，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE
C. AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠EDF
D. AB=DE，BC=EF，AC=DF

11. 下列语句正确的是
A. 三个角分别对应相等的两个三角形全等
B. 有两边对应相等，且有一角为 30∘ 的两个三角形全等
C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D. 有两个角和其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等

12. 如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形 ABCDEF，点 P 沿直线 AB 从右向左移动，当出现点 P 与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线 AB 上会发出警报的点 P 有
A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个

二、填空题（共8小题；共40分）
13. 若分式 x2−9x+3 的值为 0，则 x= ．

14. 分解因式 2x2−18= ．

15. 计算：−n4m÷n2m2⋅m2n2= ．

16. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，下列说法：
① BC 边上的高线和中线重合；
② AB 和 AC 边上的中线的长度相等；
③ △ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的长度相等；
④ AB 和 BC 边上的高线的长度相等．
其中正确的是 （填序号）．

17. 计算：−a−2b2= ．

18. 如图，OP 平分 ∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为 ．

19. 如图：D，E 分别是 △ABC 的边 BC，AC 上的点，若 ∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∠BAD=30∘，则 ∠EDC= 度．

20. 已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，⋯⋯，按照这个规律写下去，第 9 个数是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
21. 计算：−a3−2⋅−a−3−2．

22. 化简：2−x−1x+1÷x2+6x+9x2−1．

23. 解方程：x−2−x2=1−x−33．

24. 计算：2x+3x−2−x+12．

25. 如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．

26. 新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩 250 万个，在加工了 100 万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工 2.5 万个，结果提前了 3 天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩?

27. 作图：已知 △ABC 和线段 r，请在 △ABC 内部作点 P，使得点 P 到 AC 和 BC 的距离相等，并且点 A 到点 P 的距离等于定长 r．（不写作法，保留痕迹）

28. 问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求 n 个数的和的情况，这 n 个数的和可以表示为 Tn．那么怎样求 Tn=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1 的值呢?
问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：S2=1+2, ⋯⋯①
2S2=2+22, ⋯⋯②
① − ②得 1−2S2=1−22，S2=1−221−2=22−1，
S3=1+2+22, ⋯⋯③
2S3=2+22+23, ⋯⋯④
③ − ④得 1−2S3=1−23，S3=1−231−2=23−1，
S4=1+2+22+23, ⋯⋯⑤
2S4=2+22+23+24, ⋯⋯⑥
⑤ − ⑥得 1−2S4=1−24，
S4=1−241−2=24−1．
（1）由以上规律可知 1+2+⋯+210= ；1+2+⋯+2n= ．
（2）探究二：T2=1⋅1+3⋅2, ⋯⋯⑦
2T2=1⋅2+3⋅22, ⋯⋯⑧
⑦ − ⑧得 1−2T2=1⋅1+3−1⋅2−3⋅22=1⋅1+2⋅2−3⋅22=5−3⋅22，
T2=3⋅22−5，
T3=1⋅1+3⋅2+5⋅22, ⋯⋯⑨
2T3=1⋅2+3⋅22+5⋅23, ⋯⋯⑩
⑨ − ⑩
1−2T3=1⋅1+3−1⋅2+5−3⋅22−5⋅23=1⋅1+22+23−5⋅23=2+22+23−5⋅23−1=21+2+22−5⋅23−1=223−1−5⋅23−1=−3⋅23−3,
T3=3⋅23+3．
①请根据前面推导过程推导 T10，并写出推导过程．
②问题解决：请求 Tn=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，写出求解过程．

29. 我们常把长与宽之比为 2 的长方形纸片称为标准纸，请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸 ABCDAB＜BC 对折，如图所示，所得的长方形纸片 ABEF 是标准纸．请给予证明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将长方形纸片 ABCDAB＜BC 进行如下操作：
第一步：沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE 如图 ①．
第二步：沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 N 处，折痕为 DG 如图②，此时点 E 恰好落在 AE 边上的点 M 处．
第三步：沿直线 DM 折叠（如图③，此时点 G 恰好与点 N 重合）．
请你探究：长方形纸片 ABCD 是否是一张标准纸?请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图一次又一次对折后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC=2，问：第 5 次对折后所得标准纸的周长是多少?探索并直接写出第 2014 次对折后所得标准纸的周长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. D
5. D
6. D
7. D
8. C【解析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到三角形三个顶点的距离相等的点一定是三角形任意两边的垂直平分线的交点．
9. A
10. C
11. D
12. C【解析】
如图所示，直线 AB 上会发出警报的点 P 有 5 个．
第二部分
13. 3
14. 2x−3x+3
15. −m3
16. ①②③
【解析】由 AB=AC，知 BC 为底边，由等腰三角形的性质知①正确，由全等三角形的性质可判断②③正确．
17. a2+4ab+4b2
18. 2
19. 15
【解析】∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+30∘，
∵∠AED 是 △CDE 的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC−∠EDC=∠B+30∘−∠EDC=∠B+∠EDC，
解得 ∠EDC=15∘．
20. 13a+21b
第三部分
21. 1．
22. 原式=2x+2x+1−x−1x+1÷x+32x+1x−1=x+3x+1⋅x+1x−1x+32=x−1x+3.
23. x=1811．
24. x2−13．
25. ∵∠BCE=∠DCA，
∴BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即 ∠ACB=∠ECD，
在 △ABC 和 △EDC 中，
∠ACB=∠ECDEC=AC∠A=∠E，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC=DC．
26. 设原来每天加工 x 万个口罩，采用了新技术后，每天加工 x+2.5 万个口罩，
根据题意得：
100x+150x+2.5+3=250x.
整理得：
x2+2.5x−125=0.
解得：
x1=10,x2=−12.5.
经检验，x1=10，x2=−12.5 均是原方程的解，
但 x1=−12.5 不符合题意，舍去．
答：该厂原来每天加工 10 万个口罩．
27. 如图，线段 AP 即为所求作．
28. （1） 211−1；2n+1−1
【解析】设 M=1+2+22+⋯+210, ⋯⋯①
则 2M=2+22+23+⋯+211, ⋯⋯②
② − ①得 2M−M=211−1，M=211−1，
∴1+2+⋯+210=211−1，
设 S=1+2+⋯+2n, ⋯⋯③
则 2S=2+22+⋯+2n+1, ⋯⋯④
④ − ③得 2S−S=2n+1−1，
S=2n+1−1，
∴1+2+⋯+2n=2n+1−1．
（2） ①由题意得 T10=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯⋯+19⋅29, ⋯⋯⑤
2T10=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋯⋯19⋅210, ⋯⋯⑥
⑤ − ⑥得
1−2T10=1⋅1+3−1⋅2+5−3⋅22⋯19−17⋅29−19⋅210=2+22+23⋯+210−19⋅210−1=21+2+22⋯+29−19⋅210−1=2210−1−19⋅210−1=211−2−19⋅210−1=−17⋅210−3,
∴T10=17⋅210+3．
② ∵Tn=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1, ⋯⋯⑦
∴2Tn=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋯+2n−32n−1+2n−12n, ⋯⋯⑧
⑦ − ⑧得
1−2Tn=1⋅1+3−1⋅2+5−3⋅22+⋯2n−1−2n+32n−1−2n−12n=2+22+23+⋯2n−2n−12n−1=21+2+22+⋯+2n−1−2n−12n−1=22n−1−2n−12n−1=2⋅2n−2n−1⋅2n−3=3−2n⋅2n−3,
∴Tn=2n−3⋅2n+3．
29. （1） ∵ 长方形 ABCD 是标准纸，
∴ BCAB=2．
由对折的含义知：AF=12BC，
∴ ABAF=AB12BC=2×ABBC=22=2，
∴ 长方形纸片 ABEF 是标准纸．
（2） 是标准纸．理由如下：
设 AB=CD=a，
由图形的折叠可知：
DN=DG=CD=a，DG⊥EM，△ABE≌△AFE ，
∴∠DAE=12∠BAD=45∘．
同理，∠ADG=45∘．
∴△ADG 是等腰直角三角形，
∴AD=AG2+DG2=2a ，
∴ADAB=2aa=2 ，
∴ 长方形纸片 ABCD 是一张标准纸．
（3） 第 1 次对折后，周长为 21+122=2+2，
第 2 次对折后，周长为 212+122=1+2，
第 3 次对折后，周长为 212+142=1+22，
第 4 次对折后，周长为 214+142=1+22，
第 5 次对折后，周长为 214+182=2+24，
第 6 次对折后，周长为 218+182=1+24，
……
∴ 第 5 次对折后所得标准纸的周长为 2+24
第 2014 次对折后所得标准纸的周长为 1+221006．