中考数学课时复习（含答案）：23 反比例函数

这是一份中考数学课时复习（含答案）：23 反比例函数，共41页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
23反比例函数

一、选择题
1. 在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：
先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
解答：
解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y=的图象可知m＞0，故本选项正确；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y=的图象可知m＞0，相矛盾，故本选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；
故选：A．
点评：
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
　
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
解答：
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
　
3．已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是（　　）A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜2 C． 5＜y＜10 D． y＞10

考点： 反比例函数的性质．
分析： 将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围．
解答： 解：∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10，
故选C．
点评： 本题考查了反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
　

4．若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y=图象上，则y1与y2的大小关系是：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“=”）．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
直接把点A（1，y1）和点B（2，y2）代入反比例函数y=，求出点y1，y2的值，再比较出其大小即可．
解答：
解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y=的图象上，
∴y1==1，y2=，
∵1＞，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
点评：
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
　
5．如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=（k≠0）中k的值的变化情况是（　　）

　
A．
一直增大
B．
一直减小
C．
先增大后减小
D．
先减小后增大

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
分析：
设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周长始终保持不变，则a+b为定值．根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k=AB•AD=ab，再根据a+b一定时，当a=b时，ab最大可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．
解答：
解：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b．
∵矩形ABCD的周长始终保持不变，
∴2（2a+2b）=4（a+b）为定值，
∴a+b为定值．
∵矩形对角线的交点与原点O重合
∴k=AB•AD=ab，
又∵a+b为定值时，当a=b时，ab最大，
∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．
故选C．
点评：
本题考查了矩形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，有一定难度．根据题意得出k=AB•AD=ab是解题的关键．

6．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象
分析：
根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
解答：
解：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，所给各选项没有此种图形；
若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，D答案符合；
故选D．
点评：
考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．
　
关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象
分析：
根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
解答：
解：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，所给各选项没有此种图形；
若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，D答案符合；
故选D．
点评：
考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．
　

7.左下图是反比例函数的图像，则一次函数的图像大致是（ ）
考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：
根据反比例函数的图象，可知，结合一次函数的图象性质进行判断即可．
解答：
解：根据反比例函数的图象经过一、三象限，可知，由一次函数，可知：时，图象从左至右呈上升趋势，是图象与轴的交点，
所以交点在轴负半轴上.
故选B．
点评：
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

8. 如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）

（第1题图）
　
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

考点：
反比例函数系数k的几何意义．
分析：
欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．
解答：
解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．
故选D．
点评：
本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
9. 正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于（　　）
　
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第一、三象限
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．
解答：
解：解方程组得或，
所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为（1，6），（﹣1，﹣6）．
故选D．
点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
10. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　）
　
A．
（﹣6，1）
B．
（1，6）
C．
（2，﹣3）
D．
（3，﹣2）

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
先根据点（2，3），在反比例函数y=的图象上求出k的值，再根据k=xy的特点对各选项进行逐一判断．
解答：
解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），
∴k=2×3=6，
A、∵（﹣6）×1=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
B、∵1×6=6，∴此点在反比例函数图象上；
C、∵2×（﹣3）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
D、∵3×（﹣2）=﹣6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．
故选B．
点评：
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
11. 若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象的点是（　　）
　
A．
（3，﹣2）
B．
（1，﹣6）
C．
（﹣1，6）
D．
（﹣1，﹣6）

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征
分析：
先把P（﹣2，3）代入反比例函数的解析式求出k=﹣6，再把所给点的横纵坐标相乘，结果不是﹣6的，该函数的图象就不经过此点．
解答：
解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴只需把各点横纵坐标相乘，不是﹣6的，该函数的图象就不经过此点，
四个选项中只有D不符合．
故选D．
点评：
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

二.填空题
1. 如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①=；
②阴影部分面积是（k1+k2）；
③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是　①④　（把所有正确的结论的序号都填上）．

考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN，所以有=；由S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S阴影部分=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|）=（k1﹣k2）；当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
解答：
解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB=S△COB，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN，
∴=，所以①正确；
∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，
∴S阴影部分=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分=（k1﹣k2），所以②错误；
当∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k1|=|k2|，所以③错误；
若OABC是菱形，则OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k1|=|k2|，
∴k1=﹣k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，所以④正确．
故答案为①④．

点评：
本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．
　
2．已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为　1　．

考点： 反比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）
解答： 解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
点评： 此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．

3.如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为 ．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质
分析：
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=3x，则BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．
解答：
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OC=3x，则BD=x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=x，CE=x，
则点C坐标为（x，x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF=x，DF=x，
则点D的坐标为（5﹣x，x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，
则x2=x﹣x2，
解得：x1=1，x2=0（舍去），
故k=×12=．
故答案为：．

点评：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．

4.若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是 ﹣2 ．
考点：
待定系数法求反比例函数解析式
分析：
因为（﹣1，2）在函数图象上，k=xy，从而可确定k的值．
解答：
解：∵图象经过点（﹣1，2），
∴k=xy=﹣1×2=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，关键知道反比例函数式的形式，从而得解．

5.如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为　6　．

考点：
反比例函数系数k的几何意义．
分析：
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
解答：
解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴=．
∵双曲线的解析式是y=，
∴S△BOD=S△COE=k，
∴S△AOB=4S△COE=2k，
由S△AOB﹣S△BOD=S△OBC=2S△DOC=18，得2k﹣k=18，
k=12，
S△BOD=S△COE=k=6，
故答案为：6．

点评：
本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．

6．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为　　．
分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，
∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，
∴=，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．

7.已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣3时，y=　　．
考点：反比例函数
分析：先把点A（﹣2，3）代入y=求得k的值，然后将x=﹣3代入，即可求出y的值．
解答：∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣，∴当x=﹣3时，y=﹣=2．故答案是：2．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．

8．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ﹣6 ．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质
专题：
探究型．
分析：
先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
解答：
解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴C（﹣3，2），
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴2=，解得k=﹣6．
故答案为：﹣6．
点评：
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

9.如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 y=﹣．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
分析：
设点B在反比例函数y=（k＜0）上，分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，由相似三角形的判定定理得出△AOC∽△OBD，再由相似三角形的性质得出△OBD的面积，进而可得出结论．
解答：
解：设点B在反比例函数y=（k＜0）上，分别过点A、B作AC，BD分别垂直y轴于点C、D，
∵∠ACO=∠BDO=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴=（）2=（）2=，
∵点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，
∴S△AOC=，
∴S△BOD=1，
∴k=﹣2，
∴点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为y=﹣．
故答案为：y=﹣．

点评：
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10.如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为　2　．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程－因式分解法．
分析：
先确定B点坐标（1，6），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=6，则反比例函数解析式为y=，设AD=t，则OD=1+t，所以E点坐标为（1+t，t），
再利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得（1+t）•t=6，利用因式分解法可求出t的值．
解答：
解：∵OA=1，OB=6，
∴B点坐标为（1，6），
∴k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y=，
设AD=t，则OD=1+t，
∴E点坐标为（1+t，t），
∴（1+t）•t=6，
整理为t2+t﹣6=0，
解得t1=﹣3（舍去），t2=2，
∴正方形ADEF的边长为2．
故答案为2．
点评：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

三.解答题
1. 如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：
反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
专题：
压轴题；探究型．
分析：
（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
解答：
解：（1）设反比例函数的关系式y=．
∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y=．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3，A′C=．
∴△A′BC的周长为3++2．
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3×CD．
∴CD=．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=
=
=．
∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC===．
∵sin∠BMC=，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=
=．
∴OM=OH=EG=．
∴点M的坐标为（，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=
=
=．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=
=
=．
∴OH=EG=．
∴OM=OH﹣MH=﹣，
∴OM′=OH+HM′=+，
∴M（﹣，0）、M′（+，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．



点评：
本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．
　
2. 如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
解答：
解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；

（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．
　
3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案．
解答：
解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，
∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．
∵反比例函数y=的图象过点B，
∴，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b的图象过B、D点，
∴，解得．
直线BD的解析式y=﹣x﹣1；
（2）∵直线BD与反比例函数y=的图象交于点E，
∴，解得
∵B（1，﹣2），
∴E（﹣2，1）．
点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程组求交点坐标．
　
4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．
解答： 解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，
反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2），
解得，或，
∴B（，﹣4）
由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．
　
5．将油箱注满k升油后，轿车科行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
考点： 反比例函数的应用．
分析： （1）将a=0.1，s=700代入到函数的关系S=中即可求得k的值，从而确定解析式；
（2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得s的值．
解答： 解：（1）由题意得：a=0.1，s=700，
代入反比例函数关系S=中，
解得：k=sa=70，
所以函数关系式为：s=；
（2）将a=0.08代入s=得：s===875千米，
故该轿车可以行驶多875米；
点评： 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型．
　
6．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

考点：
二次函数的应用；反比例函数的应用
分析：
（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
解答：
解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，
∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），
∴k=xy=45×5=225；
（2）不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=，则y=＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
点评：
此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
　
7.如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题
专题：
计算题．
分析：
（1）作BD⊥x轴于D，如图，在Rt△OBD中，根据正切的定义得到tan∠BOC==，则=，即m=﹣2n，再把点B（m，n）代入y1=﹣x+2得n=﹣m+2，然后解关于m、n的方程组得到n=﹣2，m=4，即B点坐标为（4，﹣2），再把B（4，﹣2）代入y2=可计算出k=﹣8，所以反比例函数解析式为y2=﹣；
（2）观察函数图象得到当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2．
解答：
解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，
在Rt△OBD中，tan∠BOC==，
∴=，即m=﹣2n，
把点B（m，n）代入y1=﹣x+2得n=﹣m+2，
∴n=2n+2，解得n=﹣2，
∴m=4，
∴B点坐标为（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入y2=得k=4×（﹣2）=﹣8，
∴反比例函数解析式为y2=﹣；
（2）当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

8．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题
专题：
计算题．
分析：
（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，这样得到A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数求一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到在第一象限内，当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象都在一次函数图象上方；
（3）先确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标，然后利用S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD进行计算．
解答：
解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，；
（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），
当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），
所以S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD
=×4×8﹣×8×1﹣×4×2
=8．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
9．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
分析：（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10b=3；
（2）作AC⊥x轴与点C，，
由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），OB=3，
点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．

10．如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．
（1）求证：△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．

考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）利用“HL”证明△AOB≌△DCA；
（2）先利用勾股定理计算出AC=1，再确定C点坐标，然后根据点E为CD的中点可得到点E的坐标为（3，1），则可根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k=3；
（3）根据中心对称的性质得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，则可得到G点坐标为（1，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断G点是否在函数y=的图象上．
解答：
（1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，
∴∠AOB=∠DCA=90°，
在Rt△AOB和Rt△DCA中
，
∴Rt△AOB≌Rt△DCA；
（2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD=，
∴AC==1，
∴OC=OA+AC=2+1=3，
∴D点坐标为（3，2），
∵点E为CD的中点，
∴点E的坐标为（3，1），
∴k=3×1=3；
（3）解：点G是否在反比例函数的图象上．理由如下：
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，
∴△BFG≌△DCA，
∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，
而OB=AC=1，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴G点坐标为（1，3），
∵1×3=3，
∴G（1，3）在反比例函数y=的图象上．

点评：
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、中心对称的性质和三角形全等的判定与性质；会利用勾股定理进行几何计算．

11. 平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为
a、b．

（第1题图）
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

考点：
反比例函数综合题．
分析：
（1）如图1，AB交y轴于P，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；
（2）根据分别函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、﹣，根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，则利用等腰三角形的性质得到a2+（）2=b2+（﹣）2，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；
（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为（a﹣3，），F点的坐标为（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比较FC与3的大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．
解答：
解：（1）如图1，AB交y轴于P，
∵AB∥x轴，
∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；
（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，
∴A、B的纵坐标分别为、﹣，
∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴a2+（）2=b2+（﹣）2，
∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，
∴a2﹣b2+=0，
∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，
∵a+b≠0，a＞0，b＜0，
∴1﹣=0，
∴ab=﹣4；
（3）∵a≥4，
而AC=3，
∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，
设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，
∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，
∴C点坐标为（a﹣3，），
∴F点的坐标为（a﹣3，），
∴FC=﹣，
∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，
而a≥4，
∴3﹣FC≥0，即FC≤3，
∵CD=3，
∴点F在线段DC上，
即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点．

点评：
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小．
　

12.如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．

考点：
反比例函数综合题．
分析：
（1）把A点坐标代入y=可得k的值，进而得到函数解析式；
（2）根据A、B两点坐标可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，则=，再根据反比例函数解析式可得=m，则=m﹣1，而=，可得=，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．
解答：
解：（1）∵y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，
∴==﹣1，
∵B（m，n）在y=上，
∴=m，
∴=m﹣1，而=，
∴=，
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；

（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，
∴m﹣1=2，
m=3，
∴B（3，），
设AB所在直线解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴解析式为y=﹣x+．
点评：
此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等．

13．如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．

考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）将D坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，将A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，得到CN与BM平行，进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为OB的中点，得到相似比为1：2，确定出三角形OCN与三角形OBM面积比为1：4，利用反比例函数k的意义确定出三角形OCN与三角形AOM面积，根据相似三角形面积之比为1：4，求出三角形AOB面积即可．
解答：
解：（1）将点A（2，3）代入解析式y=，得：k=6；
（2）将D（3，m）代入反比例解析式y=，得：m==2，
∴点D坐标为（3，2），
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A（2，3）与D（3，2）代入得：，
解得：k=﹣1，b=5，
则直线AD解析式为y=﹣x+5；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，
∵AB∥x轴，
∴BM⊥y轴，
∴MB∥CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C为OB的中点，即=，
∴=（）2，
∵A，C都在双曲线y=上，
∴S△OCN=S△AOM=3，
由=，得到S△AOB=9，
则△AOB面积为9．

点评：
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14.（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．
①求m的值和一次函数的解析式；
②结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（2）①将B点坐标代入，求出m的值，将点A和点B的坐标代入求出k和b的值，继而可求得解析式；
②根据图象，写出解集即可．
解答：
解：（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，
由题意得，2x+3（100﹣x）=270，
解得：x=30，100﹣x=70，
答：A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶；
（2）①∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B（2，1），
∴m=1×2=2，
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），点B（2，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x﹣1；
②由图象可得：x＞2．
点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．
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15．如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．
（1）当m=4时，如图②．若反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）若反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．

分析：（1）根据题意得出：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0），进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）首先得出A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）则2m=m+2，求出m的值即可．
解：（1）由图②值：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0），
∴k=4×2=8，∴y=，
把（4，2），（8，0）代入y=ax+b得：，解得：，
∴经过A′、B′两点的一次函数表达式为：y=﹣x+4；
（2）当△AOB向右平移m个单位时，A′点的坐标为：（m，2），B′点的坐标为：（m+4，0）
则A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）∴2m=m+2，解得：m=2，
∴当m=2时，反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标的平移等知识，得出A′，B′点坐标是解题关键．