2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题学案，共31页。学案主要包含了实际问题等内容，欢迎下载使用。

函数图象
解题思路
起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）
中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？
终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？
特殊点：运动过程中特殊的位置。

类型一、实际问题
【经典例题1】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（ ）

A.B.C.D.
【解析】
由题意和图象可得，乙到达B地时甲距A地120km，开始时两人的距离为0；
甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h，乙的速度是：80÷3=km/h，即乙出发1小时后两人距离为km；
设乙出发后被甲追上的时间为xh，则60(x−1)=x，得x=1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.
所以符合题意的函数图象只有选项B.
故选：B.


练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程（单位：米）与所用时间（单位：秒）之间的函数图象分别为线段和折线，则下列说法正确的是（ ）

A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B.跑步过程中，两人相遇一次
C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远 D.乙在跑前300米时，速度最慢

练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间以及容器内水面的高度，并画出表示与的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）

A． B． C． D．

练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（ ）



类型二：几何动态
①动点图形面积
【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）

A.B.C.D.
【解析】作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=4cm，
∴BH=CH，
∵∠B=30°，
∴AH=12AB=2，BH=AH=2，
∴BC=2BH=4，
∵点P运动的速度为m/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0⩽x⩽4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，
在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，
∴y=⋅x⋅x=x2，

当4 在Rt△BDQ中，DQ=CQ=(8−x)，
∴y=⋅(8−x)⋅4=−+8，
综上所述，.
故选D.

练习2-1四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，若直线l⊥AB，直线l截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y，点A到直线L的距离为x，则y与x关系的大致图象为（ ）

A. B. C. D.

练习2-2如图，四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=4，动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B−C−D的方向运动，当点Q到达点D时P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是( )



练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（　　）

A. B.C. D.

练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）

A. B. C. D.

练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）



练习2-6如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
练习2-7如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（ ）

A. B. C. D.

练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　）
A. B. C. D.

练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图②所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )
A. 点C的横坐标 B. 点C的纵坐标 C. △ABC的周长 D. △ABC的面积


练习2-10如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）.


②动点图形边长
【经典例题3】如图①，在矩形ABCD中，AB A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【解析】
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•=3，即AB•BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB 所以AB=3，BC=4．
故选：B．

练习3-1如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿以1cm/s的速度运动到点D，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y(cm2)，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（  ）
A. B. C. 2 D.


练习3-2如如图①，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D.图②是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（ ）

A.2 B.2.5 C.3 D.
练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（　　）

A．10 B． C．8 D．


练习3-4如如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是______．





练习3-5如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是()
A. B. 5 C. 6 D.










【经典例题4——圆】
如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )

【解析】∵P(3，0)，C(0，2)，
∴PC2=13.
∵AC是直径，
∴∠Q=90°.
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形。
∴PE=QF.
∵PF⊥QB于F，
∴QF=BF.
∴AE=BF.
∴y=PE2+PF2=BF2+PF2=PC2=13.
故选：A.

练习4-1如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）

A. B.C.D.

练习4-2如图，点R是以MN为直径的半圆上的动点，MP⊥MN，RE⊥MP于点E，连接MR，设MR=x，MR−PE=y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是( )



练习4-3如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点，连接AC，BC点P从点B出发，沿折线B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△PAB的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则线段AC的长为( )
A. 1cm B.cm C. cm D. 2cm


练习4-4如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2-FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是(　　)


ABCD


类型三：求函数表达式及最值
【经典例题5】矩形ABCD中，BC=4，AB=2，P是线段BC边上一动点，Q在PC或其延长线上，且BP=PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，若BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部份的面积为y，则y与x的函数的大致图象是（ ）

A. B. C. D.
【解析】根据题意，BP=x，则PC=4-x；
当BP 当BP>PC，即x>2时，重合部分在正方形PQRS得内部，则S重叠=2（4-x），
分析可得D符合两段得方程；
故选D．

练习5-1如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为________．





练习5-2如图1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4，EF=8．点A、C、D、E在一条直线上，等腰Rt△DEF静止不动，初始时刻，C与D重合，之后等腰Rt△ABC从C出发，沿射线CE方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当A点与E点重合时，停止运动．设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出线段AC、DE的长度；
（2）在等腰Rt△ABC的运动过程中，设等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，当线段AB与线段EF相交时，设交点为点M，点O为线段CE的中点；是否存在这样的t，使点E、O、M三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．







参考答案
类型一、实际问题
练习1-1【解析】
A. 两人从起跑线同时出发，甲先到达终点，错误；
B. 跑步过程中，两人相遇两次，错误；
C. 起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远，正确；
D. 乙在跑后200米时，速度最慢，错误。
故选：C。

练习1-2【解析】由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，
由开始和结尾可知A. C错误，
由中间不变可知，D错误，
故选：B.
练习1-3【解析】答案：B.
球拉出水面开始时，球上半部分较小，因而水递减较缓慢，球中部拉出水面时水递增的速度较快，最后球中的水全部放回，水面基本持平（因为球是薄壁的）.
故选B.


类型二：几何动态
①动点图形面积
练习2-1【解析】
如图，点D作DE垂直于AB，垂足为E，
∵CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，
∴四边形DEBC为正方形，
∴DC=EB，
∴AE=DE，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
点A到直线L的距离为x，直线左方的图形面积为y，
直线l运动到D点时，函数解析式为y=x2，
当直线l运动由D点运动到C点时，函数解析式为y=BC(2x−BC)，BC为常数，因此为一次函数，
因此符合y与x关系的大致图象只有C.
故选C.

练习2-2【解析】(1)如图1，当动点Q在BC边上运动时，
，
∵4÷3=(秒)，
∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是秒，
∵AP=2x，BQ=3x，
∴y=2x×3x÷2=3x2(0 ∴抛物线开口向上；
(2)如图2，当动点Q在
CD边上运动时，
∵(8+4)÷3=4(秒)，4−=(秒)，
∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是秒，
∵AP=2x，BQ=4，
∴y=2x×4÷2=4x( 综上，可得
y=，
∴能大致表示y与x之间函数关系图象的是：
故选：B.

练习2-3
【解析】通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；
当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x=2时有最大面积为4，
当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x=6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；
故选：C.
练习2-4【解析】在△ABE中，BE=，
∵ABCD是正方形，
∴BE=MN，
∴S四边形MBNE=BE⋅MN=x2+8，
∴阴影部分的面积S=16−(x2+8)=−x2+8.
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0，8)，自变量的取值范围是0 故选C.
练习2-5【解析】当0⩽t⩽4时，S=S正方形ABCD−S△ADF−S△ABE−S△CEF=4⋅4−⋅4⋅(4−t)−⋅4⋅(4−t)−⋅t⋅t=−t2+4t=−(t−4)2+8；
当4 故选D.

练习2-6【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC==8．
当0≤x≤6时，AP=6-x，AQ=x，
∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2-12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x-6，AQ=x，
∴y=PQ2=（AQ-AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14-x，CQ=x-8，
∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2-44x+260．
故选：B．
练习2-7
【解析】作点O关于直线AB的对称点C，
∵A(2，0)，B(0，2)
∴易得C(2，2)
连接CP，则OM+MP的最小值为此时的CP
记CP2=S
∴S=CP2=AC2+AP2=22+(2−x)2=x2−4x+8
故选：A.

练习2-8【解析】连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线。
故选D.

练习2-9【解析】(1)从图②可以看出，当x=0时，y=1，
此时点C的纵坐标为1；
当x=2时，过点C作CD⊥y轴于点D，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠DAC+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠DCA，
∠ADC=∠BOA=90°，AB=AC，
∴△ADC≌△BOA(AAS)，
∴BO=AD，OA=CD，
则OD=AD+OD=1+2=3，
即：点C坐标为3；
故选：B.

练习2-10
【解析】①当点P与点O重合时，x=0，y=2．故可排除C选项；
②当点Q与点O重合时，y=3．故可排除A选项；
③当x=2，即AP∥x轴时，∵AH⊥PQ，
∴AH＜AQ=2，即y＜2．故可排除B选项．
故选：D．


练习3-1【解析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=，
则对角线BD为2，
当点P在线段AC上运动时，
y=AP×BD=×，
由图2知，当x=时，y=a，
即a=×，
解得：a=，
故选：B.

练习3-2【解析】
由图2得，t=4时两点停止运动，
∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了4秒
∴AB=4
∵点Q运动到点C之前和之后，△BPQ面积算法不同，即t=2时，S的解析式发生变化
∴图2中点M对应的横坐标为2，
此时P为AB中点，点C与点Q重合
连接AC
∵菱形ABCD中，AB=BC=4，∠B=60°
∴△ABC是等边三角形
∴CP⊥AB，BP=AB=2
∴CP=BC2−BP2=
∴a=S=BP⋅CP=×2×2=2
故选：D.

练习3-3【解析】
当t=5时，点P到达A处，即AB=5，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC=AD，∴DE=CE=CD，
当S=40时，点P到达点D处，则S=CD⋅BC=(2AB)⋅BC=5×BC=40，
则BC=8，
AD=AC=，
故选：B.


练习3-4
【解析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B先A运动时，BP的最大值为5，
即BC=5，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为：×4×6=12
故答案为：12


练习3-5
【解析】若点E在BC上时，如图
∵∠EFC+∠AEB=90∘，∠FEC+∠EFC=90∘，
∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，
∠CFE=∠AEB；∠C=∠B=90∘，∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时
，BE=CE=x−，即，
∴y=(x−)2，当y=时，代入方程式解得：x1=(舍去)，x2=，
∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，
∴矩形ABCD的面积为2×=5；
故选B.


练习4-1
【解析】设P点运动速度为v(常量)，AB=a(常量)，则AP=vt，PB=a−vt；
则阴影面积S=
=，
由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意。
故选：D.


练习4-2
【解析】设圆的半径为R，连接RN，
则sin∠MNR=，
∵PM是圆的切线，则∠RME=∠RMN，
则RE=MRsin∠RMN=，
则y=RM-RE=-，
∴图象为过原点且开口向下的抛物线，
故选：D．


练习4-3
【解析】从图2看，当t=a时，y取得最大值，
此时BC=a，而y=a，
即：y=×AC×BC=AC×a=a，
解得：AC=2，
故选：D.

练习4-4
【解析】答案:C.
延长CD交AB于点G,则CG⊥AB.
∵ C、D是两弧的中点，CG⊥AB，AB=4
∴ AG=BG=2
由于AF=x(0＜x＜4),当点E位于点G左侧时FG=2-x,当点F位于点G右侧时,FG=x-2.
∵ CG⊥AB
∴ AE2=AG2+EG2，FE2=FG2+EG2
∴ y=AE2−FE2=AG2−FG2=4−(x−2)2
化简,得y=−x2+4x=−x(x−4)(0＜x＜4)
即y与x的函数关系的图像是开口向下,与x轴交于(0,0)、(0,4)两点,
且0＜x＜4.
故选C.






类型三：求函数表达式及最值
练习5-1【解析】AM=20−2t，
则重叠部分面积y=×AM2=(20−2t)2，
y=(20−2t)2(0⩽t⩽10).
故答案为：y=(20−2t)2(0⩽t⩽10)

练习5-2
【解析】(1)在Rt△ABC中，
AC=BC，AB=4，
∴AC=BC=4，
同理：DE=DF=8，；
(2)当0 由运动知，CD=t，
∴DG=AD=4−t，
∴S=(DG+BC)×CD=(4−t+4)×t=−t2+4t
当4 如图3，记AB与EF的交点为P，
由运动知，CE=8−t，
∴CQ=8−t，
∴BQ=4−(8−t)=t−4，
∴S=S△ABC−S△PBQ=×4×4−(t−4)×(t−4)=8−(t−4)2，
当8 记AB与EF的交点为N′，
由运动知，AC=4−(t−8)=t−4，
∴S=S′△AEN=(t−4)×(t−4)=(t−4)2；
(3)当∠MOE=90°时，如图6，
即：点C与O重合，
∴t=4，
当∠OME=90°时，如图7，
点A和O重合，
∴t=8，
即：△MOE是等腰三角形时，t=4或8.