2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题3.3二次函数应用之面积问题学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题3.3二次函数应用之面积问题学案，共26页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2，经典例题3，经典例题4等内容，欢迎下载使用。

2021中考专项训练：二次函数应用题
类型四：图形面积
【经典例题1】工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少?

(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元?
【解析】
（1）如图所示：

设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（12-2x）（8-2x）=32，
即x2-10x+16=0，
解得x=2或x=8（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为32dm2；
（2）设总费用为y元，
则y=2（12-2x）（8-2x）+0.5×[2x（12-2x）+2x（8-2x）]
=4x2-60x+192
=4（x-7.5）2-33，
又∵12-2x≤5（8-2x），
∴x≤3.5，
∵a=4>0，
∴当x<7.5时，y随x的增大而减小，
∴当x=3.5时，y取得最小值，最小值为31，
答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．


练习1-1如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．
（1）用含x的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？




练习1-2为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？




练习1-3如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为　　米．
（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．


练习1-4如图，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．
（1）若y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？






【经典例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，线段AB上一动点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动。过点D作DE⊥AB，交折线AC−CB于点E，以DE为一边，在DE左侧作正方形DEFG.设运动时间为x(s)(0 (1)当x=___s时，点F在AC上；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)设正方形DEFG的中心为点O，直接写出运动过程中，直线BO平分△ABC面积时，自变量x的取值范围。

(1)如图1中，当点F在AB上时，易证AG=GE=DG=DB=，
∴运动时间x==，
故答案为.
(2)①如图2中，当0 ∵∠C=90∘，AC=BC，
∴∠CAB=∠AED=45∘，
∴AD=DE=x，
∴y=S△ADE=x2，
②如图3中，当2
易知FG=GD=DE=DB=4−x，MG=AG=x−(4−x)=2x−4，
∴FM=FG−MG=(4−x)−(2x−4)=8−3x=FN，
∴y=S正方形DEFG−S△FMN=(4−x)2−(8−3x)2=−72x2+16x−16，
③当
y=(4−x)2=x2−8x+16.
综上所述，
(3)如图5中，当2⩽x<4时，延长BO交AC于M.
∵OE=OG，EG∥AC，
∴OE/CM=BO/BM=OG/AM，
∴CM=AM，
∴直线OB平分△ABC的面积。
∴当2⩽x<4时，直线OB平分△ABC的面积。






练习2-1如图，在Rt△ABC中，AB=4，∠C=90∘，∠A=60∘.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AB边向终点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC−CB于点D，过点D作DE∥AB交边BC或边AC于点E，连结PE，设点P的运动时间为t秒。
(1)当点D在AC边上时，PD的长为___(用含t的代数式表示)
(2)当点D为边的中点时，求t的值。
(3)设△PDE的面积为S(S>0)，求S与t之间的函数关系式。
(4)当边PE与△ABC的边垂直时，直接写出t的值。






练习2-2如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动。过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A. B重合)，作∠DPQ=60∘，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒。


(1)用含t的代数式表示线段DC的长；
(2)当点Q与点C重合时，求t的值；
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值。


练习2-3如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AB=10.点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC−CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF，在点P出发的同时，点Q从点C出发，以每秒2√个单位长度的速度沿边CA向点A运动，过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG为边在QG的下方做正方形QGMN.设正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形的面积为S(S>0)，点P的运动时间为t秒(0
(1)正方形QGMN的边长为___(用含t的代数式表示).
(2)当点E与点N重合时，求t的值。
(3)求S与t之间的函数关系式。
(4)作直线EM，当直线EM与△ABC的边垂直时，直接写出t的值。


练习2-4如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=4，AC=3，点D为BC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，当点P离开点A后，过点P作PE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥AC于F，设点P运动时间为t(秒)，矩形PEFA与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度。
(1)PE的长为___(用含t的代数式表示)；
(2)求S与t之间的函数表达式；
(3)求S的最大值及S取得最大值时t的值；
(4)当S为△ABC面积的时，t的值有___个。

类型四：其它类应用
【经典例题3】12018年7月5日，载有海宁海派公司员工以及家属的游船，在泰国普吉岛附近海域突遇特大暴风雨，发生了倾覆事故，搜救人员根据定位系统成功定位“凤凰”号的沉船位置，假设搜救船在“凤凰”号沉入海底前对“凤凰”号的定位方式为：以“凤凰”号的当前位置为原点，以1海里为单位长度，以正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则搜救船恰好在“凤凰”号正南方向20海里的P处，如图，已知“凤凰”号的移动路径可视为二次函数，定位后搜救船即刻沿直线匀速前往求援，假设搜救船出发t小时后，“风凰”号所在位置的横坐标为．
(1)若t＝1时两船恰好于Q点会合，求搜救船的速度和方向．
(2)问搜救船的时速至少是多少海里才能追上“风凰”号？

(1)当t=1时，10t=10×1=10，
当x=10时，y==10，
∴点Q的坐标为(10，10)，
∵点P的坐标为(0，−20)，
∴PQ=，
∴搜救船的速度为20÷1=20(海里/小时)，
∴sin∠QPO==，∴∠QPO=30∘，
即搜救船的速度是20海里/小时，方向是沿着北偏东30∘方向航行；
(2)直线PQ与二次函数相切时，速度最慢，
令kx−20=，即−kx+20=0，
则△=(−k)2−4××20=0，
解得，k1=，k2=−(舍去)，
∴x==10，
当x=10时，y=×(10)2=20，
即点Q的坐标为(10，20)，
∴10t=10，得t=，
∵点P(0，−20)，点Q(10，20)，
∴PQ=，
∴搜救船的时速至少是：÷=10(海里/小时)
答：搜救船的时速至少是10海里/小时才能追上“风凰”号。

【经典例题4】（2019•舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10t25时可近似用函数刻画；当25t37时可近似看成函数．
(1)求h的值．
(2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20t25时的成本为200元/天，但若欲加温到25t37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）

(1)把(25，0.3)代入p=−(t−h)2+0.4得：
0.3=−(25−h)2+0.4 解得：h=29或h=21，
∵25⩽t⩽37
∴h=29.
(2)①由表格可知，m是p的一次函数，
设m=kp+b
把(0.2，0)，(0.3，10)代入得，解得
∴m=100p−20.
②当10⩽t⩽25时，p=t−
∴m=100(t−)−20=2t−40；
当25⩽t⩽37时，p=−(t−h)2+0.4
∴m=100[−(t−h)2+0.4]−20=−(t−29)2+20
∴，
③当20⩽t⩽25时，增加的利润为：
600m+[100×30−200(30−m)]=800m−3000=1600t−35000
当t=25时，增加的利润的最大值为1600×25−35000=5000元；
当25 600m+[100×30−400(30−m)]=1000m−9000=−625(t−29)2+11000
∴当t=29时，增加的利润的最大值为11000元。
综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元。


参考答案
练习1-1【解析】（1）∵AB＝CD＝xm，
∴BC＝（30﹣2x）m；
（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；
（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5，
此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．
答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．

练习1-2【解析】（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，
∴BC×DF＝BC×FC，
∴2FC＝DC，
2BC+8FC＝120，
∴FC＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），
即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；
（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675
可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．

练习1-3【解析】（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；
（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，
解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为4米；
故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；
（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，
所以当x＝2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．

练习1-4【解析】（1）由题意可得，
y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵24﹣3x≤10，3x＜24，
解得，x≥且x＜8，
∴≤x<8，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（≤x<8）；
（2）当y＝45时，
45＝﹣3x2+24x，
解得，x1＝3（舍去），x2＝5，
答：AB的长应为5m．


练习2-1【解析】
(1)∵PD⊥AB
∴∠APD=90∘，
∵∠A=60∘，PA=t，
∴PD=PA=t.
故答案为t.
(2)①当AD=DC时，2t=1，t=.
②当CD=DB时，AP=4−，t=，
综上所述，满足条件的t的值为或.
(3)当0
∵DE∥AB，
∴DE/AB=CD/AC，
∴DE4=，
∴DE=4−4t，
∴S=DE⋅DP=−2t2+2t.
当1
∵DE∥AB，
∴DE/AB=CD/CB，
∴，
∴DE=t−，
∴S=(−t2+5t−4).
(4)①如图4−1中，当PE⊥BC时，

∵EC=(2−t)，BE=PB⋅cos30∘=(4−t)，
∴(2−t)+(4−t)=2，
∴t=.
②如图4−2中，当PE⊥AC时，

∵AE=t，CE=CD=[2(4−t)]，
∴t+[2−(4−t)]=2，
∴t=.
综上所述，满足条件的t的值为：t=或t=.

练习2-2
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，
∴AC=2，
∵PD⊥AC，
∴∠ADP=∠CDP=90°，
在Rt△ADP中，AP=2t，
∴DP=t，AD=APcosA=2t×=t，
∴DC=AC-AD=2-t（0 （2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=∠DPQ=60°，
∴∠PQD=30°=∠A，
∴PA=PQ，
∵PD⊥AC，
∴AD=DQ，
∵点Q和点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2×t=2，
∴t=1；
（3）当1 CQ=AQ-AC=2AD-AC=2（t-1），
在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，
∴CE=CQ•tan∠CQE=2（t-1）×=2（t-1），
∴S=S△PDQ-S△ECQ=t•t-•2（t-1）×2（t-1）=-t2+4t-2，
（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，
∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，
∵∠A=∠AQP=30°，
∴∠FPG=60°，
∴∠PFG=30°，
∴PF=2PG=2t，
∴AP+PF=2t+2t=2，
∴t=；
当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，
∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，
在Rt△NMQ中，NQ=，
∵AN+NQ=AQ，
∴，
∴t=，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，
∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BFH=30°=∠H，
∴BH=BF=1，
在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，
∴AH=AP+PH=AB+BH，
∴2t+2t=5，
∴t=，
即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为
秒或秒或秒．


练习2-3
【解析】(1)∵△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿边CA向点A运动，
过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG为边在QG的下方作正方形QGMN，
∴△CQG是等腰直角三角形，
CQ=t，则QG=CQ=×2=2t，
即正方形QGMN的边长为：2t，
故答案为：2t；
(2)∵以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，
过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF，
∴△APD是等腰直角三角形，AP=PD，
过点C作CK⊥AB于K，交QG于点H，如图1所示：
则CH⊥QG，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CK=AB=×10=5，
当点E与点N重合时，CH+QN+EF=CK=5，
∵△CQG是等腰直角三角形，
∴△CHQ是等腰直角三角形，
∴CQ=CH，
此时，CQ=t，AP=DP=EF=2t，
∴CH==t，
QG=QN=CQ=×t=2t，
∴t+2t+2t=5，
解得：t=1；
(3)由题意得：正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形是正方形，
当正方形PDEF与正方形QGMN完全重合时，3t=5，t=；
分两种情况：
①当1 由(1)得：QG=GM=2t，△CQG是等腰直角三角形，
由(2)得：EF=2t，CH=t，CK=5，
∴S=[2t−(5−3t)]2=(5t−5)2=25t2−50t+25，
即S与t之间的函数关系式为S=25t2−50t+25；
②当 S=(5−t)2=t2−10t+25，
即S=t2−10t+25；
(4)分三种情况：
①当EM⊥BC时，如图4所示：
由题意得：(5−2t)=10−2t，
解得：t=0，不合题意舍去；
②当EM⊥AC时，如图5所示：
由题意得：×3t=10−2t，
解得：t=；
③当EM⊥AB时，正方形PDEF与正方形QGMN重合，此时t=；
综上所述，当直线EM与△ABC的边垂直时，t的值为或.


练习2-4
【解析】(1)如图1中，∵EP∥AC，
∴PE/AC=BP/BA，
PE/3=，
∴PE=(4−t).
故答案为34(4−t).
(2)①当0 ∵∠BAC=90∘，CD=DB，
∴∠DAB=∠B，∵∠APG=∠BAC=90∘，
∴△APG∽△BAC，
∴PG/AC=AP/AB，
∴PG/3=，
∴PG=t，
∴EG=3−t，
∴S=⋅EG⋅AP=−t2+t.
②当2 ∴△AFG∽△CAB，
∴FG/AB=AF/AC，
∴FG=4−t，GE=2t−4，
∴S=⋅GE⋅AF=−t2+t−6.
综上所述.
(3)当0 ∴t=1时，S最大值为，
当2 ∴t=3时，S最大值为.
综上所述t=1或3时，S最大值都是.
(4)由题意−t2+t=，整理得到5t2−10t+4=0，t=符合题意。
或−t2+t−6=，整理得到5t2−30t+44=0，t=符合题意，
∴S为△ABC面积的时，t的值有四个，
故答案为4.