知识讲解_基本不等式_基础练习题

基本不等式

编稿：张希勇     审稿：李霞   

【学习目标】

1. 理解基本不等式的内容及其证明.

2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.

【要点梳理】

要点一、基本不等式

1.对公式及的理解.

（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

2.由公式和可以引申出常用的常用结论

①（同号）；

②（异号）；

③或

要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.

要点二、基本不等式的证明

方法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）

方法二：代数法

   ∵，

当时，；

当时，.

所以，（当且仅当时取等号“=”）.

要点诠释：

特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：

如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.

要点三、基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

要点诠释：

1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

要点四、用基本不等式求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

要点诠释：

1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.

2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.

当a=b取等号，其含义是；

仅当a=b取等号，其含义是.

综合上述两条，a=b是的充要条件.

3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③各项能取得相等的值.

5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【典型例题】

类型一：对公式及的理解

例1.下列结论正确的是(　　)

A．当x>0且x≠1时，

B．当x>0时，

C．当x≥2时，的最小值为2

D．当0<x≤2时，无最大值

【思路点拨】

利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。

【答案】　B

【解析】　A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，

∴或；

C中，当x≥2时，；

D中，当0<x≤2时，在(0,2]上递增，.故选B.

【总结升华】

在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.

举一反三：

【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有                 （填序号）.

（1）的最小值为；

（2）的最小值为；

（3）的最小值为.

【答案】（1）；（2）

（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.

（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.

（3）∵，∴，

（当且仅当即时取等号）

∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即

【变式2】给出下面四个推导过程：

① ∵，∴；

② ∵，∴；

③ ∵，，∴ ；

④ ∵，，∴.

其中正确的推导为（     ）

A.①②                 B.②③             C.③④                D.①④

【答案】D

【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.

②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.

③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.

④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.

类型二：利用基本不等式证明不等式

例2.已知，求证:

【思路点拨】

对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.

【解析】

（当且仅当即,等号成立）.

【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.

举一反三：

【变式】已知、都是正数，求证：.

【答案】∵、都是正数 ，∴，，

∴（当且仅当即时,等号成立）

故.

例3. 已知、、都是正数，求证：

【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。

【解析】∵、、都是正数

∴ （当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

∴（当且仅当时，取等号）

即.

【总结升华】

1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.

2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.

3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

举一反三：

【高清课堂：基本不等式392186 例题3】

【变式】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.

【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴，

，

.

∴.

类型三：利用基本不等式求最值

例4. 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为　  　．

【思路点拨】要求最小值的式子中有两个未知数x、y,先利用已知条件转化为一个未知数，然后利用求最小值。

【答案】

【解析】∵xy＝1，∴

∴

当且仅当，即时取等号，

故答案为：

【总结升华】

1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；

2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.

举一反三：

【变式1】若,求的最大值.

【答案】因为,所以, 由基本不等式得:

,

（当且仅当即时, 取等号）

故当时,取得最大值.

【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？

【答案】∵，∴，∴

（当且仅当即时，取等号）

 故当时，的值最小为18.

例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.

【思路点拨】

要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.

【解析】

方法一：∵，∴

∵x＞0，y＞0，∴

（当且仅当，即y=3x时，取等号）

又，∴x=4，y=12

∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.

方法二：由，得

∵x＞0，y＞0，∴y＞9

∵y＞9，∴y－9＞0，

∴

（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）

∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.

【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求.

举一反三：

【变式1】 (2015  福建)若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于(    )

A．2    B．3   C．4   D．5

【答案】由已知得，

则，

因为a＞0，b＞0，所以

因为a＞0，b＞0，所以

故a+b≥4，当，即a=b=2时取等号．

【高清课堂：基本不等式392186 例题1】

【变式2】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；

【答案】

【变式3】（2016  湖南校级模拟）设二次函数f（x）=ax2－4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（    ）

A．3       B．       C．5       D．7

【答案】由题意知，a＞0，Δ=1－4ac=0，∴ac=4，c＞0，

    则，当且仅当时取等号，

则的最小值是3。

故选A。

类型四：利用基本不等式解应用题

例6. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元).

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【思路点拨】

对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。

【解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为m，

则

由已知xa=360,得a=,

所以y=225x+

(Ⅱ)

.当且仅当225x=时，等号成立.

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

【总结升华】

用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

举一反三：

【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？

【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，

则（当且仅当x=8时取“=”）

此时每人最少交80元.

【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

【解析】由题意可得，

∴.

于是，框架用料长度为

.

当，即时等号成立.

此时，，.

故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.