精品解析：甘肃省兰州市第五十五中学2021年中考二模数学试题（解析版+原卷版）

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2020—2021学年九年级诊断考试
九年级数学学科
（满分120分考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 3的绝对值是（ ）
A. -3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用绝对值的性质即可得出答案．
【详解】解：3的绝对值是3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是它的相反数．
2. 2020年，安徽省生产总值3.87万亿元，增长3.9%、居全国第4位；粮食产量803.8亿斤、居全国第4位．将803.8亿用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：803.8亿=80380000000=8.038×1010，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
3. 如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知：质量最接近标准的排球就是检测结果的绝对值最小的．
【详解】解：由题意得：四个排球质量偏差的绝对值分别为：，
绝对值最小的为，最接近标准．
故选．
【点睛】此题主要考查了正数和负数，本题的解题关键是求出检测结果的绝对值，绝对值越小的数越接近标准．
4. 下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法等运算法则分别计算即可．
【详解】解：A、，错误，不符合题意；
B 、，错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法，熟练运用相关运算法则是解本题的关键．
5. 如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【详解】解：观察三视图，从正面看到的是两个长方形，左视图是个长方形，俯视图是三角形，
所以这个几何体是三棱柱，
故不符合题意，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据三视图还原几何体，掌握三种视图的观察方法及简单几何体的视图形状是解题的关键．
6. 如图，直线，，，那么的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行同位角相等得到∠2=∠3，再根据得到∠CMB=90°，得到∠3+∠1=90°，又因为∠1=22°，继而可求得∠2．
【详解】解：如图所示：


∵直线，
∴∠2=∠3，
∵，
∴∠CMB=90°，
∴∠3+∠1=90°，
又∵∠1=22°，
∴∠3=68°，
∴∠2=68°，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
7. 一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少?
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据未知数，，从乙地到甲地需，即可列出另一个方程.
【详解】设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．
故选B．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是等量关系列出方程.
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上．若∠BCD＝100°，则∠AED的度数为（ ）


A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD、AD，根据圆内接四边形的性质求出，由OA=OD求得，再根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半得到答案．
【详解】解：如图，连接OD、AD，
∵点A、B、C、D在圆上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∵∠BCD＝100°，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∴，
∴，
故选：A．

【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，正确连接辅助线是解题的关键．
9. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（ ）

A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．
【详解】设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：，，
，
在Rt△中，，
即，
整理得，，
解得：x=2或x=-12(舍去)，
，
即正方形ADOF的边长是2，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10. 如图，在平行四边形中，F是上一点，且，连结并延长交的延长线于点G，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行四边形性质得到AB∥CD，则可判断△ABF∽△DGF，于是根据相似三角形的性质得，然后得到，，则，再判断△ABE∽△CGE，则，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△DGF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
11. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点D（－1，2），与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），如图所示，有以下结论：①b2－4ac＞0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，其中结论正确的个数有（ ）

A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与x轴有两个交点可以得到b2－4ac＞0；设出二次函数的顶点式，再和一般式比较系数，将b，c均用含有a的代数式表示，再代入即可判断出②和③是否正确；ax2＋bx＋c－2＝0可以转化为y=ax2＋bx＋c和y=2的交点问题即可求解．
【详解】解：对于①：二次函数与x轴有两个交点，故△= b2－4ac＞0，故①正确；
对于②：∵与x轴的一个交点A在（－3，0）和（－2，0）之间（不含端点），∴A点到对称轴x=-1的距离在1到2之间，根据对称性，二次函数与x轴的另一个交点到对称轴x=-1的距离也在1到2之间，故此时当x=1时，a+b+c<0，故②正确；
对于③：设抛物线的顶点式为：y=a(x+1)²+2=ax²+2ax+a+2，与一般式y=ax2＋bx＋c比较系数可知：b=2a，c=a+2，故此时c-a=a+2-a=2，故③正确；
对于④：∵y=ax2＋bx＋c的最大值为2，∴y=ax2＋bx＋c和y=2的交点只有1个，故方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像性质，掌握二次函数的系数与图形之间的关系是解决本题的关键．
12. 如图，在正方形中，点是对角线的交点，过点作射线分别交于点，且，交于点．给出下列结论：;C；四边形的面积为正方形面积的；．其中正确的是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到正确；根据相似三角形的判定可得正确；根据全等三角形的性质可得正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
，
点四点共圆，
∴，
∴，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又中，，
，
，
故错误，
故选．
【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式：9m﹣ma2＝____．
【答案】m（3+a）（3﹣a）
【解析】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式＝m（9﹣a2）
＝m（3+a）（3﹣a）．
故答案为：m（3+a）（3﹣a）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a=____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
15. 如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点，若，则线段的长为_______.

【答案】4
【解析】
【分析】连接和,根据全等三角形的判定与性质及中位数定理即可求解.
【详解】连接和,因为,,,所以,所以，,所以,又因为是中点，所以是△的中位线，所以,所以.
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及中位线的应用.
16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解；
【详解】解：∵，，点．
∴，，
将向下平移个单位长度，
∴，，
∵两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
∴；
故答案为；
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握等腰三角形的性质，通过等腰三角形求出点的坐标是解题的关键．
三、解答题（共12小题，72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根，负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，实数的运算法则，等计算即可．
【详解】解：原式＝．
【点睛】本题考查了立方根，负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，实数的运算等知识点，熟练运用运算法则是解本题的关键．
18. 先化简，再求值：，．
【答案】，．
【解析】
【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再利用分式除法法则化简出最简结果，最后代入求值即可．
【详解】解：



．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
19. 解不等式组，并写出它的所有负整数解
【答案】-3≤x<2，负整数解为-3，-2，-1.
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定解集中的负整数即可得.
【详解】，
由①得，x≥-3，
由②得，x<2，
所以不等式组的解集为：-3≤x<2，
∴负整数解为-3，-2，-1.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.
20. 如图，点C，B，E在同一条直线上，AC⊥BC，BD⊥DE，BC＝ED＝6，BE＝10，∠BAC＝∠DBE．
（1）求证：△ABC≌△BED；
（2）求△ABD的面积．

【答案】（1）见解析，（2）
【解析】
【分析】（1）由AC⊥BC，BD⊥DE，可得∠ACB=∠BDE=90°，可证△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）由△ACB≌△BDE，可得AB=BE=10,，在Rt△BDE中，由勾股定理BD=，由∠CAB+∠ABC=90°可求∠ABD=180°-∠ABC-∠EBD=90°，可求S△ABD=即可．
【详解】解：（1）∵AC⊥BC，BD⊥DE，
∴∠ACB=∠BDE=90°，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）∵△ACB≌△BDE，
∴AB=BE=10,
在Rt△BDE中，由勾股定理BD=，
又∵∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠ABD=180°-∠ABC-∠EBD=90°，
∴S△ABD=．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，勾股定理，直角三角形面积，掌握三角形全等判定与性质，勾股定理应用方法，直角三角形面积的求法是解题关键．
21. 有三张完全相同的卡片，它们的正面分别写有数字，，．将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，再从剩下的二张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，两次结果记为．
（1）用树状图或列表法表示所有机会均等的结果；
（2）若用表示平面直角坐标系内点的坐标，求点在直线上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）列表得出所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：

﹣2
﹣1
0
﹣2

（﹣1，﹣2）
（0，﹣2）
﹣1
（﹣2，﹣1）

（0，﹣1）
0
（﹣2，0）
（﹣1，0）

所有等可能的情况有6种：（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（0，﹣2），（0，﹣1）；
（2）在直线y＝x﹣1上的点有（﹣1，﹣2），（0，﹣1），
所以点M（x，y）在直线y＝x﹣1上的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题关键．
22. 为了配合我校的“国学节”，我校在初一、初二年级举行国学相关知识竞赛，为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，将成绩分为以下4组A组：，B组：，C组：．D组：．现将数据整数分析如下：
收集数据：
初一年级：79，85，72，80，75，76，87，70，75，93，75，79，81，71，75，80，86，61，83，77．
初二年级20名学生中80≤x≤89的分数分别是84，87，82，81，83，83，80，81，81，82，80．
整理数据：

分析数据：

平均数
众数
中位数
初一年级
78
c
78
初二年级
78
81
d
应用数据：
（1）由上表填空：a=__________，b=__________，c=__________，d=__________，
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对国学知识掌握的总体水平较好，请说明理由（一条理由即可）．
（3）我校初一有600名学生和初二有700名学生参加了此活动，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？
【答案】（1）35、6、75、81；（2）见解析；（3）100（人）
【解析】
【分析】（1）用初一年级成绩在B组的学生人数除以被调查总人数即可得出a的值，由四个分组人数之和可得b的值，根据众数和中位数的定义可得c、d的值；
（2）在平均数相等的前提下，比较众数和中位数可得答案（答案不唯一），合理即可；
（3）用总人数乘以样本中90分以上人数所占比例，再将所求得的初一、二人数相加即可．
【详解】解：（1）初一年级B组人数为7，
∴a%＝×100%＝35%，即a＝35；
b＝20−（2＋11＋1）＝6，
初一年级学生成绩的众数c＝75，
初二年级学生成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为81、81，
所以初二年级学生成绩的中位数d＝＝81，
故答案为：35、6、75、81．
（2）初二年级学生对垃圾分类相关知识掌握的总体水平较好，
理由：初一、二年级学生的平均成绩相等，而初二年级的中位数大于初一，所以初二年级高分人数多于初一，
∴初二学生对垃圾分类相关知识掌握的总体水平较好；
（3）估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有600×＋700×＝100（人）．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数的一组数据中出现次数最多的数．
23. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．

（1）如图2，若，．
①点O到的距离为__________，的长为__________（结果保留根号）；
②若，则熨烫台的高度h=__________；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．
（参考数据：，，，
【答案】（1）①40，80；②50；（2）支撑杆AB长160cm．
【解析】
【分析】（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC=2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC=2AE即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【详解】解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，

∵AO=CO=80cm，
∴∠AOE=∠AOC=×120°=60°，AC=2AE．
在Rt△AEO中，OE=OA=40（cm），
AE=AO•sin∠AOE=80×=40（cm），
∴AC=2AE=80．
答：AC的长为80cm；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO=90°，∠FBO=30°，
∵OB=20cm，
∴OF=OB=×20=10（cm），
∴h=OF+OE=10+40=50，
故答案为：40，80，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，

∵AO=CO，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
在Rt△ABF中，AB===160（cm），
答：支撑杆AB长160cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；（2）存在，或．
【解析】
【分析】(1)把和分别代入反比例函数解析式中求出和，再代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式；
(2)先求出C点和D点的坐标，再分情况讨论当时和当时求解即可．
【详解】解：(1)把代入反比例函数，得
反比例函数的表达式为．
点在图象上，，即
把，两点代入，
解得，
所以一次函数的表达式为．
(2)由(1)得一次函数的表达式为
当时，，，即．
当时，，点坐标为，即，
．
，．
设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则，
由可得：
①当时，，，
解得，故点坐标为；
②当时，，，
解得，即点的坐标为．
因此，点的坐标为或时，与相似．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定等，属于综合题，熟练掌握各性质及解析式的求法是解决本题的关键．
25. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解．
【详解】解：（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
26. 如图①，直线AM和AN相交于点A，∠MAN=30°，在射线AN上取一点B，使AB=6cm，过点B作BC⊥AM于点C，点D是线段AB上的一个动点（不与点B重合），过点D作DE⊥AM于点E，设AD=xcm，CE=y1cm，CD=y2cm，某同学根据学习函数的经验，对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过计算，得到了x与，的几组对应值，如下表，请补全表格：

0
1
2
3
4
5

5.20
4.33
3.46
2.60

0.87

5.20
436
3.60
3.00
2.64
2.65
（说明：补全表格时相关数值保留两位小数，，）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组数值所对应的点，，并在图②中画出函数，的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题，当为斜边上的高线时，的长度约为____，（结果保留一位小数）

【答案】（1）1.73；（2）见解析；（3）4.5
【解析】
【分析】
【详解】解：（1）∵BC⊥AM，DE⊥AM，∠MAN=30°，AB=6，AD=4，
∴AC=AB⋅cos30°=3，AE=AD⋅cos30°=2，
∴CE=AC−AE=≈1.73；
故空格中填：1.73；
（2）描点，连线，画函数图象如图所示：

（3）当CD为Rt△ABC斜边AB上的高，即CD⊥AB时，
在Rt△ABC中，AC=AB⋅cos30°=，
在Rt△ACD中，CD=AC⋅sin30°=≈2.60，
在解图中，当y2=2.60cm时，x≈4.5cm，即AD≈4.5cm．
故答案为：4.5．
【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了解直角三角形，函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
27. 如图，在等腰中，以为直径作⊙O交于，过点作，过点作于．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）由题意连接，利用等腰三角形的性质以及切线的判定进行分析求证即可；
（2）根据题意可知等腰中，利用相似三角形的判定证得进而求得⊙O的直径．
【详解】解：（1）证明：连接，

是的直径


又为等腰三角形

又


是的半径
是的切线
（2）由（1）在等腰中，

于点．




即

的直径为．
【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理以及等腰三角形的性质与相似三角形的判定和性质进行综合分析是解题的关键．
28. 如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为腰的等腰三角形，求点Q 的坐标；
（3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，轴于点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）或或；（3）点的坐标为：或或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将A，B坐标代入函数解析式，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）根据题意，分为两种情况：CQ=AC或AQ=AC，即可求出点Q的坐标；
（3）设点，则，根据以F、M、N、G为顶点的四边形为正方形分类计算即可.
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点
∴，解得，
∴；
（2）连接
由（1）知，，，
为抛物线的对称轴
∴，，，点与点关于轴对称
∴在中，由勾股定理得
①当时，点与点重合
∴
②当时，如图

在中，，
由勾股定理得
∴或
综上所述，或或
（3）设点，则，
∵为的中点，，点的横坐标为1
∴点的横坐标为2
∵轴于点
∴，
当时，以、、、为顶点的四边形是正方形，即
当，解得；
当，解得；
∴或或或．

【点睛】本题主要考查了二次函数动点问题，根据直角三角形和正方形的几何特征，列出相关的方程，是解题的关键，特别要注意分类讨论思想在解题中的应用.