四川省攀枝花市2021届高三第一次统一考试数学（文科）试卷 Word版含解析

这是一份四川省攀枝花市2021届高三第一次统一考试数学（文科）试卷 Word版含解析，共18页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省攀枝花市高考数学第一次统一考试试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{（x，y）|x﹣y＝3}，则M∩N＝（　　）
A．（2，﹣1） B．{（2，﹣1）} C．{2，﹣1} D．x＝2，y＝﹣1
2．若z为纯虚数，且|z|＝1，则＝（　　）
A．i B．i C． D．i
3．已知函数f（x）＝x3﹣f'（1）x2+2，则f（2）＝（　　）
A．﹣2 B． C．6 D．14
4．已知cos（）＝﹣2cosα，则tan（）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
5．在正项等比数列{an}中，若a5＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+……+log3a9＝（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究“角谷定理”的一个程序框图．若输入n的值为5，则输出i的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B．2 C．4 D．4
8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．22
9．下列说法中正确的是（　　）
A．命题“p且q”为真命题，则p、q恰有一个为真命题
B．命题“p：∀x∈R，x2+1≥0”，则“￢p：∀x∈R，x2+1＜0”
C．命题“函数f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有三个不同的零点”的逆否命题是真命题
D．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要条件
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为3π，则（　　）
A．函数f（x）的一个零点为
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数（x）在（0，）上单调递增
D．函数f（x）图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象关于y轴对称
11．已知函数f（x）＝，若a＝30.01，b＝log32，c＝log30.5，则有（　　）
A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b）
C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（c）＞f（a）＞f（b）
12．在关于x的不等式e2x2﹣（aex+4e2）x+aex+4e2＞0（其中e＝2.71828…为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量＝（1，﹣1），＝（m，2），若⊥（+），则实数m＝　 　．
14．若alog25＝3，则5a＝　 　．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1﹣2Sn＝1（n∈N*），则Sn＝　 　．
16．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）＝﹣x2+x，则当x∈（1，2）时，不等式f（x）+≤0的解为　 　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝（2b﹣c）cosA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若b＝2，BC边上的高为3，求c．
20．已知y轴右侧的曲线C上任一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线n是线段AB的垂直平分线且与x轴交于点T，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝x2+mx+2lnx在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数a，b，c（0＜a＜b＜c）使得f（a）＝f（b）＝f（c），求证：c﹣a＜2．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），圆C2：（x﹣）2+y2＝3．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ＝（ρ≥0）分别与曲线C1，C2相交于A，B两点（异于原点），求△C2AB的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+|﹣|x﹣|．
（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）≥的解集；
（Ⅱ）求证：对任意的a∈[0，4]，f（x）≤2．


参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{（x，y）|x﹣y＝3}，则M∩N＝（　　）
A．（2，﹣1） B．{（2，﹣1）} C．{2，﹣1} D．x＝2，y＝﹣1
解：集合是以点（x，y）为元素的集合，只有B选项满足题意．
解法2：解得，，
∴M∩N＝{（2，﹣1）}．
故选：B．
2．若z为纯虚数，且|z|＝1，则＝（　　）
A．i B．i C． D．i
解：∵z为纯虚数，且|z|＝1，
∴z＝i或z＝﹣i，
∴＝＝﹣i或　＝＝+i，
故选：A．
3．已知函数f（x）＝x3﹣f'（1）x2+2，则f（2）＝（　　）
A．﹣2 B． C．6 D．14
解：∵f′（x）＝3x2﹣2f′（1）x，
∴f′（1）＝3﹣2f′（1），解得f′（1）＝1，
∴f（x）＝x3﹣x2+2，
∴f（2）＝8﹣4+2＝6．
故选：C．
4．已知cos（）＝﹣2cosα，则tan（）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
解：∵，
∴﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2，
∴．
故选：B．
5．在正项等比数列{an}中，若a5＝3，则log3a1+log3a2+log3a3+……+log3a9＝（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
解：在正项等比数列{an}中，a5＝3，
∴log3a1+log3a2+log3a3+……+log3a9
＝log3（a1×a2ו••×a9）
＝
＝9log3a5
＝9log33
＝9．
故选：C．
6．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究“角谷定理”的一个程序框图．若输入n的值为5，则输出i的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
解：模拟程序的运行，可得
i＝0，n＝5
不满足条件n＝1，不满足条件n是偶数，n＝16，i＝1
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝8，i＝2
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝4，i＝3
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝2，i＝4
不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝1，i＝5
此时，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为5．
故选：B．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B．2 C．4 D．4
解：根据几何体的三视图知，该几何体是平放的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，如图所示：

结合图中数据，计算该几何体的体积为：
V＝•CD＝1×2×2＝4．
故选：C．
8．已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．22
解：如图，

∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝AC，∵DE＝2EF，∴EF＝AC，
∴＝+＝，
∴•＝（）•＝••＝0+×4×4×＝2．
故选：B．
9．下列说法中正确的是（　　）
A．命题“p且q”为真命题，则p、q恰有一个为真命题
B．命题“p：∀x∈R，x2+1≥0”，则“￢p：∀x∈R，x2+1＜0”
C．命题“函数f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有三个不同的零点”的逆否命题是真命题
D．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要条件
解：命题“p且q”为真命题，则p、q均为真命题，故A错误；
命题“p：∀x∈R，x2+1≥0”，则“￢p：∃x∈R，x2+1＜0”，故B错误；
函数f（x）＝x﹣sinx的导数为f′（x）＝1﹣cosx≥0，可得f（x）在R上递增，又f（0）＝0，所以f（x）有且只有一个零点，
则命题“函数f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有三个不同的零点”为假命题，其逆否命题也是假命题，故C错误；
设等比数列{an}的前n项和为Sn，由a1＞0，可得S3﹣S2＝a3＝a1q2＞0，
反之，若S3﹣S2＝a3＝a1q2＞0，可得a1＞0，则“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要条件，故D正确．
故选：D．
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为3π，则（　　）
A．函数f（x）的一个零点为
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数（x）在（0，）上单调递增
D．函数f（x）图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象关于y轴对称
解：函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为＝3π，∴ω＝，
∴f（x）＝Asin（x+）．
令x＝，求得f（x）＝Asin≠0，故A错误；
令x＝，求得f（x）＝Asin 不是最值，故B错误；
当x∈（0，），x+∈（，），函数f（x）没有单调性，故C错误；
函数f（x）图象向左平移个单位长度后，可得y＝Asin（x++）＝Acosx的图象，
故所得的函数图象关于y轴对称，故D正确，
故选：D．
11．已知函数f（x）＝，若a＝30.01，b＝log32，c＝log30.5，则有（　　）
A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b）
C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（c）＞f（a）＞f（b）
解：由函数f（x）＝，
①当x＞0时，f（x）＝ex﹣e﹣x+2，则f′（x）＝ex+e﹣x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以f（x）＞f（0）＝2；
②当x≤0时，f（x）＝x2+1为减函数，所以f（x）≥f（0）＝1，且x＝﹣1时，f（x）＝2，x＞﹣1，f（x）＞2，
又因为30.01＞30＝1，所以a＞1，所以f（a）＞f（1）＝e﹣+2，
因为log32＝23＝log98＜log99＝1，所以0＜b＜1，
所以f（0）＜f（b）＜f（1），即2＜f（b）＜e﹣+2；
因为log30.5＞log3＝﹣1，所以﹣1＜c＜0，所以f（0）＜f（c）＜f（﹣1），即1＜f（c）＜2，
所以f（a）＞f（b）＞f（c）．
故选：A．
12．在关于x的不等式e2x2﹣（aex+4e2）x+aex+4e2＞0（其中e＝2.71828…为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
解：由e2x2﹣（aex+4e2）x+aex+4e2＞0，
化简得e2（x﹣2）2＞a（x﹣1）ex，
设f（x）＝e2（x﹣2）2，g（x）＝a（x﹣1）ex，则原不等式即为f（x）＞g（x）．
若a≤0，则当x＞2时，f（x）＞0，g（x）＜0，
∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴a＞0．
∵f（2）＝0，g（2）＝ae2＞0，∴f（2）＜g（2）．
当f（3）≤g（3），即时，设h（x）＝f（x）﹣g（x）（x≥4），
则．
设，则，
∴φ（x）在[4，+∞）上为减函数，
∴φ（x）≤φ（4）＝2e2（2﹣e）＜0，
∴当x≥4时，h'（x）＜0，∴h（x）在[4，+∞）上为减函数，
即，
∴当x≥4时，不等式f（x）＜g（x）恒成立，
∴原不等式的解集中没有大于2的整数．
∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，
则，即，
解得．
则实数a的取值范围为[，）．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量＝（1，﹣1），＝（m，2），若⊥（+），则实数m＝　0　．
解：，，且，
∴，解得m＝0．
故答案为：0．
14．若alog25＝3，则5a＝　8　．
解：∵alog25＝3，
∴a＝＝3log52，
∴5a＝5＝8．
故答案为：8．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn+1﹣2Sn＝1（n∈N*），则Sn＝　2n﹣1　．
解：∵Sn+1﹣2Sn＝1（n∈N*），
∴Sn+1+1＝2（Sn+1），
又a1＝1，a1+1＝2，即S1+1＝2，
∴数列{Sn+1}是首项与公比均为2的等比数列，
∴Sn+1＝2n，
∴Sn＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1．
16．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）＝﹣x2+x，则当x∈（1，2）时，不等式f（x）+≤0的解为　{x|}　．
解：根据题意，定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（﹣x），
则有f（x+1）＝﹣f（x），即f（x﹣1）＝﹣f（x），
同时变形可得：f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
分2种情况讨论：
（1）在区间（1，]上，有0＜x﹣1≤，则f（x﹣1）＝﹣（x﹣1）2+（x﹣1），
则f（x）＝﹣f（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝x2﹣3x+2，
此时f（x）+≤0，即f（x）≤﹣，即x2﹣3x+2≤﹣，解可得：≤x≤，
（2）在区间（，2）上，﹣＜x﹣2＜0，则有0＜2﹣x＜，
则有f（2﹣x）＝﹣（2﹣x）2+（2﹣x）＝﹣（x2﹣3x+2），
则f（x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x）＝x2﹣3x+2，
此时f（x）+≤0，即f（x）≤﹣，即x2﹣3x+2≤﹣，解可得：＜x≤，
综合可得：若f（x）+≤0，必有|，
不等式的解集为{x|}
故答案为：{x|}．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由已知得，
则，
将a1＝1代入并化简得d2﹣2d＝0，解得d＝2或d＝0（舍去）．
∴an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，
∴，即数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．
∴．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

【解答】证明：（Ⅰ）∵F为PC的中点，取PD的中点为G，连EG，FG，
∵ABCD为正方形，E为AB的中点，
∴BE∥CD且，
又∵FG∥CD，且，
∴四边形BEGF为平行四边形，故BF∥EG，
∵EG⊂平面PDE，BF⊄平面PDE，
∴BF∥平面PDE；
解：（Ⅱ）∵ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，
∴P﹣ABCD为正四棱锥，则P在平面ABCD的射影为AC的中点O，
∵F为PC的中点，，
∴，
∵，∴OP＝1，
∴，
则∴．

19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝（2b﹣c）cosA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若b＝2，BC边上的高为3，求c．
解：（Ⅰ）△ABC中，，
由正弦定理得，
∴，
即；
∵B为△ABC内角，sinB≠0，
∴
又∵A为△ABC内角，
∴．
（Ⅱ）因为，
将，hBC＝3，代入，得，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
于是，
即 c2﹣9c+18＝0，解得c＝3或c＝6．
20．已知y轴右侧的曲线C上任一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线n是线段AB的垂直平分线且与x轴交于点T，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）法一：（直接法）设点P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，
则，
化简得C的方程为y2＝4x（x＞0）…………………………
法二：（定义法）问题即：曲线C上任一点到F（1，0）的距离等于它到x＝﹣1的距离，
故曲线C的方程为y2＝4x（x＞0）…………………………
（Ⅱ）依题意l的方程设为：y＝k（x﹣1）与C：y2＝4x联立…………………………
消x⇒ky2﹣4y﹣4k＝0，得，…………………………
∴直线，令y＝0，得，
∴，……………
假设A（x1，y1），B（x2，y2），
则…………………………
∴为定值． …………………………
21．已知函数f（x）＝x2+mx+2lnx在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数a，b，c（0＜a＜b＜c）使得f（a）＝f（b）＝f（c），求证：c﹣a＜2．
解：（Ⅰ），
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，
∴f'（1）＝0，得m＝﹣3，
则，
∴x∈（0，1）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0，x∈（1，2）时f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，1），（2，+∞）单调递增，在区间（1，2）单调递减．
（Ⅱ）证明：设f（a）＝f（b）＝f（c）＝n，则，
欲证明：c﹣a＜2，即c＜a+2，
因为c＞2，a+2＞2，且f（x）在（2，+∞）上单调递增，
只需要证明f（a）＝f（c）＜f（a+2），
构造g（x）＝f（x+2）﹣f（x）＝2x+2ln（x+2）﹣2lnx﹣4，x∈（0，1），
，所以g（x）在区间上单减，在上单增，
，
再证明：，令h（x）＝lnx﹣x+1（0＜x＜1），
，则h（x）在（0，1）上单调递减，
所以h（x）＜h（1）＝0，而，得证，
所以∀a∈（0，1），f（c）＝f（a）＜f（a+2），得证结论成立．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），圆C2：（x﹣）2+y2＝3．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ＝（ρ≥0）分别与曲线C1，C2相交于A，B两点（异于原点），求△C2AB的面积．
解：（Ⅰ）法一：依题意得，化简得到：x2﹣y2＝8．
法二：∵x+y＝4t，，两式相乘得x2﹣y2＝8．
根据，化简得C1的极坐标方程ρ2•cos2θ＝8．
对于，
化简得：．
（Ⅱ）设A（ρA，θ），B（ρB，θ）
依题意得，
解得ρA＝4；
，
解得ρB＝3．
∴|AB|＝ρA﹣ρB＝1，
故：，
∴．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+|﹣|x﹣|．
（Ⅰ）当a＝4时，求不等式f（x）≥的解集；
（Ⅱ）求证：对任意的a∈[0，4]，f（x）≤2．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝4时，不等式为，…………（1分）
当x≤0时，，无解，
当0＜x＜2时，，解得，所以
当x≥2时，恒成立，所以x≥2…………………………
综上，不等式的解集为． …………………………
（Ⅱ）证明：因为……………
所以当时，f（x）取得最大值，即证，
又因为对任意的a∈[0，4]，有，………
所以，当且仅当4﹣a＝a，即a＝2时，取得最大值
所以．…………………………