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2021届河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）（含答案）
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这是一份2021届河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知z＝，则的虚部是（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．某生物实验室有20颗开紫花的豌豆种和25颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．定义集合MΨN＝{x|x∈M且x﹣1∈N}，已知集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}，B＝{x|﹣7＜x＜0}，则AψB＝（ ）
A．{x|﹣5＜x＜﹣1} B．{x|﹣7＜x＜2} C．{x|﹣5＜x＜1} D．{x|﹣5＜x＜0}
4．将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6π，则ω＝（ ）
A． B．6 C． D．3
5．在△ABC中为BC边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆与椭圆＝1（0＜m＜9）只有两个公共点，则这两个椭圆的离心率之积为（ ）
A． B． C． D．
8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ）
A．39 B．45 C．48 D．51
9．在四面体ABCP中，PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC．若四面体ABCP外接球的半径为．则PA与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．已知y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（2021）＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
11．设α，β均为锐角，且cos（α+β）+cos（α﹣β）＝，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．
12．已知函数f（x）＝的图象过点（1，），若关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，0） B．（0，e） C．（﹣，0） D．（﹣，e）
二、填空题（共4小题）.
13．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2+bc＝b2+c2，则cosA＝ ．
14．若log35•log2527＝a，则函数f（x）＝lg（2a﹣x）的定义域为 ．
15．如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 ．
16．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（4，3），则∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
[﹣0.4，﹣0.2）
[﹣0.2，0）
[0，0.2）
[0.2，0.4）
[0.4，0.6）
企业数
30
24
40
16
10
（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；
（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
18．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an﹣n2+2n+2．
（1）证明：数列{an﹣n2+1}为等比数列；
（2）求数列{an﹣n2}的前n项和Sn．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC⊥PB，PB＝AB＝PD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为12，求点D到平面PBC的距离．
20．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为圆C2：x2+y2＝4与圆C3：x2+（y﹣3）2＝1的公共点．
（1）求C1的方程；
（2）直线l：y＝x+3与C1交于A，B两点，点P在C1上，且P在AOB这一段曲线上运动（P异于端点A与B），求△PAB面积的取值范围．
21．已知函数f（x）＝a（lnx+x）﹣xex．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与y轴垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）+1≤0恒成立，求a的取值集合．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l：x+y＝．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程；
（2）直线m：θ＝θ0（θ0∈（0，））与曲线C和直线l分别交于A，B（A，B均异于点O）两点，求|OA||OB|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）记f（x）的最小值为M，若关于x的不等式|x﹣m|+|x﹣2|≤M有解，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知z＝，则的虚部是（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
解：因为z＝，
所以，则的虚部为﹣1，
故选：D．
2．某生物实验室有20颗开紫花的豌豆种和25颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：由古典概型可知，这颗豌豆种是开紫花的豌豆种的概率为：
P＝．
故选：A．
3．定义集合MΨN＝{x|x∈M且x﹣1∈N}，已知集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}，B＝{x|﹣7＜x＜0}，则AψB＝（ ）
A．{x|﹣5＜x＜﹣1} B．{x|﹣7＜x＜2} C．{x|﹣5＜x＜1} D．{x|﹣5＜x＜0}
解：∵集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}＝{x|﹣5＜x＜2}，
B＝{x|﹣7＜x＜0}，
∴AψB＝{x|}＝{x|﹣5＜x＜1}．
故选：C．
4．将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6π，则ω＝（ ）
A． B．6 C． D．3
解：将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，
即g（x）＝sinωx，
若g（x）的最小正周期为6π，
则T＝＝6π，得ω＝，
故选：A．
5．在△ABC中为BC边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
解：因为D为BC边的中点，
所以+＝2，
因为＝（+），
所以＝，则2＝3．
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（ ）
A． B． C． D．
解：模拟程序的运行，可得
X＝，n＝2
X＝，n＝3
X＝，n＝4
…
X＝，n＝11＞N，
故输出的X＝．
故选：B．
7．若椭圆与椭圆＝1（0＜m＜9）只有两个公共点，则这两个椭圆的离心率之积为（ ）
A． B． C． D．
解：由两个椭圆的图形可得，当C的长轴端点恰好为D的短轴端点时，
两个椭圆只有两个公共点，则m＝4，
故这两个椭圆的离心率之积为，
故选：B．
8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ）
A．39 B．45 C．48 D．51
解：设该数列为{an}，由题意得，a5，a6，…成等差数列，公差d＝2，a5＝5，
设塔群共有n层，则1+3+3+5+5（n﹣1）+＝108，
解得，n＝12，
故最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12＝3a11＝3（5+2×6）＝51．
故选：D．
9．在四面体ABCP中，PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC．若四面体ABCP外接球的半径为．则PA与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．3
解：因为PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，所以四面体ABCP可以补形为一个长方体，
故其外接球的半径，
则AB＝3PB．
因为PA与平面ABC所成角为∠PAB，所以．
故选：B．
10．已知y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（2021）＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
解：根据题意，y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，即y＝f（x）是奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，即f（x+2）＝﹣f（x）恒成立，
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）对任意的x都成立，
故f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝﹣f（﹣1），
当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（﹣1）＝2﹣1＝，
故f（2021）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣，
故选：B．
11．设α，β均为锐角，且cos（α+β）+cos（α﹣β）＝，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．
解：因为cos（α+β）+cos（α﹣β）＝，
可得2cosαcosβ＝，即tanα＝2sinβcosβ，
故＝＝≤＝，当且仅当＝，即tanβ＝时等号成立，
故的最大值是．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝的图象过点（1，），若关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，0） B．（0，e） C．（﹣，0） D．（﹣，e）
解：∵f（1）＝＝，∴m＝﹣1，故f（x）＝．
f′（x）＝＝﹣，
∵当x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）或（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，
∴f（x）的极大值为f（2）＝，极小值为f（﹣1）＝﹣e．
且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→0，
∵关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，
∴f（x）＝ 的图象与y＝﹣a有3个不同交点，则0＜﹣a＜，得﹣＜a＜0．
即a的取值范围是（﹣，0）．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2+bc＝b2+c2，则cosA＝ ．
解：因为a2+bc＝b2+c2，且a2＝b2+c2﹣2bccosA，
则cosA＝．
故答案为：．
14．若log35•log2527＝a，则函数f（x）＝lg（2a﹣x）的定义域为 （﹣∞，3） ．
解：若log35•log2527＝a，
则若log35•log2527＝log35•log53＝＝a，
故f（x）＝lg（3﹣x），
由3﹣x＞0，解得：x＜3，
故函数的定义域是（﹣∞，3），
故答案为：（﹣∞，3）．
15．如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 110 ．
解：设正四棱柱的底面边长为：m，则4（42﹣m2）＝60，解得m＝1，
所以该几何体的表面积为：42×4+（42﹣12）×2+4×1×4＝110．
故答案为：110．
16．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（4，3），则∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为 1 ．
解：由双曲线的焦点F1（﹣，0），F2（，0），
设∠F1MF2的角平分线所在直线与x轴的交点设为T（t，0），则t∈（﹣，），
所以MF1的直线方程为：y＝（x+），即3x﹣（4+）y+3＝0，
直线MF2的方程：y＝（x﹣），即3x﹣（4﹣）y﹣3＝0，
由角平分线的性质可得＝，整理可得＝，
解得：t＝1，
所以T（1，0），所以kMT＝＝1
故答案为：1．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
[﹣0.4，﹣0.2）
[﹣0.2，0）
[0，0.2）
[0.2，0.4）
[0.4，0.6）
企业数
30
24
40
16
10
（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；
（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
【解答】（1）这些企业中产值负增长的企业比例为%＝45%；
（2）这120个企业产值增长率的平均数为（一0.3×30一0.1×24十0.1×40十0.3×16十0.5×10）＝0.02．
18．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an﹣n2+2n+2．
（1）证明：数列{an﹣n2+1}为等比数列；
（2）求数列{an﹣n2}的前n项和Sn．
解：（1）证法一、因为an+1＝2an﹣n2+2n+2，
所以an+1﹣（n+1）2+1＝2（an﹣n2+1），又a1﹣12+1＝1，
所以{an﹣n2+1}是首项为1，公比为2的等比数列；
证法二、因为a1＝1，所以a1﹣12+1＝1，
因为an+1＝2an﹣n2+2n+2，
所以＝
＝＝2，
所以{an﹣n2+1}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得an﹣n2+1＝2n﹣1，
则an﹣n2＝2n﹣1﹣1，
所以Sn＝1+2+…+2n﹣1﹣n＝﹣n＝2n﹣n﹣1．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC⊥PB，PB＝AB＝PD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为12，求点D到平面PBC的距离．
【解答】（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为AC⊥PB，且BD∩PB＝B，所以AC⊥平面PBD，
因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，
因为AB＝AD，且∠BAD＝60°，所以BD＝AB，
因为PB＝，所以PD2+BD2＝PB2，则PD⊥BD，
因为AC与BD是平面ABCD内的相交直线，
所以PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）可知，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，则PB＝PC＝PD，
设AB＝m，则四棱锥P﹣ABCD的体积为，解得m＝2，
在△PBC中，，则△PBC的面积为，
设点D到平面PBC的距离为h，
因为三棱锥P﹣BCD的体积为，
所以三棱锥D﹣PBC的体积为，解得h＝，
故点D到平面PBC的距离为．
20．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为圆C2：x2+y2＝4与圆C3：x2+（y﹣3）2＝1的公共点．
（1）求C1的方程；
（2）直线l：y＝x+3与C1交于A，B两点，点P在C1上，且P在AOB这一段曲线上运动（P异于端点A与B），求△PAB面积的取值范围．
解：（1）联立解得：x＝0，y＝2，
所以可得抛物线的焦点在y轴上，且由题意可得焦点为：（0，2），
设抛物线的方程：x2＝2py，所以＝2，
所以p＝4，
所以C1的方程为：x2＝8y；
（2）联立，解得：或，
设A（6，），B（﹣1，2），
则|AB|＝＝，
设P（x0，y0），则﹣4＜x0＜6，
则P到直线l的距离d＝＝＝，
由x0的范围，设y＝（x0﹣1）2﹣25∈[﹣25，0]，
所以可得d∈（0，]．
所以S△PAB＝×|AB|•d＝וd∈（0，]，
所以△PAB面积的取值范围为（0，]．
21．已知函数f（x）＝a（lnx+x）﹣xex．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与y轴垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）+1≤0恒成立，求a的取值集合．
解：（1）因为f′（x）＝a（+1）﹣（x+1）ex，
所以f′（1）＝﹣2（e﹣a）＝0，
解得a＝e，故f′（x）＝﹣（x+1）（ex﹣），
因为f（x）的定义域为（0，+∞），所以﹣（x+1）＜0，
且函数φ（x）＝ex﹣在（0，+∞）上为增函数，φ（1）＝0，
当0＜x＜1时，φ（x）＜0；当x＞1时，φ（x）＞0，
故f（x）的单调递减区间为（1，+∞），单调递增区间为（0，1）．
（2）f′（x）＝﹣（x+1）（ex﹣），
①当a＜0时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当x→0时，f（x）+1→+∞，不符合题意，
②当a＝0时，f（）+1＝1﹣＞0，不合题意，
③当a＞0时，令f′（x）＝0得ex﹣＝0，即xex＝a，
令g（x）＝xex，则g′（x）＝ex（x+1）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则存在x0∈（0，+∞），使得x0e＝a，
两边同时取对数可得x0+lnx0＝lna，
当0＜x＜x0时，xex＜a，f′（x）＞0，
当x＞x0时，xex＞a，f′（x）＜0，
所以f（x）max＝a（lnx0+x0）﹣x0e＝alna﹣a，
令h（a）＝alna﹣a+1（a＞0），则h′（a）＝lna，
由h′（a）＞0，得a＞1；由h′（a）＜0，得0＜a＜1，
从而h（a）min＝h（1）＝0，
所以h（a）≥0，
又因为h（a）＝alna﹣a+1≤0，
所以h（a）＝alna﹣a+1＝0，所以a＝1，
故a的取值集合为{1}．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l：x+y＝．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程；
（2）直线m：θ＝θ0（θ0∈（0，））与曲线C和直线l分别交于A，B（A，B均异于点O）两点，求|OA||OB|的取值范围．
解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．
直线l：x+y＝，根据，转换为极坐标方程为．
（2）由于圆的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1根据转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．
所以|OA||OB|＝＝，
由于θ0∈（0，），
所以|OA||OB|的取值范围为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）记f（x）的最小值为M，若关于x的不等式|x﹣m|+|x﹣2|≤M有解，求m的取值范围．
解：（1）|2x﹣2|+|x+1|≤5等价为或或，
解得﹣≤x≤﹣1或﹣1＜x＜1或1≤x≤2，
综上可得，原不等式的解集为[﹣，2]；
（2）f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|＝|x﹣1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x﹣1﹣x﹣1|+|1﹣1|＝2，
当x＝1时，上式取得等号，
则M＝2，即|x﹣m|+|x﹣2|≤2有解，
由|x﹣m|+|x﹣2|≥|x﹣m﹣x+2|＝|m﹣2|，当（x﹣m）（x﹣2）≤0时，取得等号，
所以|m﹣2|≤2，解得0≤m≤4，
所以m的取值范围是[0，4]．
2021年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知z＝，则的虚部是（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．某生物实验室有20颗开紫花的豌豆种和25颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．定义集合MΨN＝{x|x∈M且x﹣1∈N}，已知集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}，B＝{x|﹣7＜x＜0}，则AψB＝（ ）
A．{x|﹣5＜x＜﹣1} B．{x|﹣7＜x＜2} C．{x|﹣5＜x＜1} D．{x|﹣5＜x＜0}
4．将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6π，则ω＝（ ）
A． B．6 C． D．3
5．在△ABC中为BC边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（ ）
A． B． C． D．
7．若椭圆与椭圆＝1（0＜m＜9）只有两个公共点，则这两个椭圆的离心率之积为（ ）
A． B． C． D．
8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ）
A．39 B．45 C．48 D．51
9．在四面体ABCP中，PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC．若四面体ABCP外接球的半径为．则PA与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．已知y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（2021）＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
11．设α，β均为锐角，且cos（α+β）+cos（α﹣β）＝，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．
12．已知函数f（x）＝的图象过点（1，），若关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，0） B．（0，e） C．（﹣，0） D．（﹣，e）
二、填空题（共4小题）.
13．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2+bc＝b2+c2，则cosA＝ ．
14．若log35•log2527＝a，则函数f（x）＝lg（2a﹣x）的定义域为 ．
15．如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 ．
16．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（4，3），则∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
[﹣0.4，﹣0.2）
[﹣0.2，0）
[0，0.2）
[0.2，0.4）
[0.4，0.6）
企业数
30
24
40
16
10
（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；
（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
18．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an﹣n2+2n+2．
（1）证明：数列{an﹣n2+1}为等比数列；
（2）求数列{an﹣n2}的前n项和Sn．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC⊥PB，PB＝AB＝PD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为12，求点D到平面PBC的距离．
20．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为圆C2：x2+y2＝4与圆C3：x2+（y﹣3）2＝1的公共点．
（1）求C1的方程；
（2）直线l：y＝x+3与C1交于A，B两点，点P在C1上，且P在AOB这一段曲线上运动（P异于端点A与B），求△PAB面积的取值范围．
21．已知函数f（x）＝a（lnx+x）﹣xex．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与y轴垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）+1≤0恒成立，求a的取值集合．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l：x+y＝．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程；
（2）直线m：θ＝θ0（θ0∈（0，））与曲线C和直线l分别交于A，B（A，B均异于点O）两点，求|OA||OB|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）记f（x）的最小值为M，若关于x的不等式|x﹣m|+|x﹣2|≤M有解，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知z＝，则的虚部是（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
解：因为z＝，
所以，则的虚部为﹣1，
故选：D．
2．某生物实验室有20颗开紫花的豌豆种和25颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：由古典概型可知，这颗豌豆种是开紫花的豌豆种的概率为：
P＝．
故选：A．
3．定义集合MΨN＝{x|x∈M且x﹣1∈N}，已知集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}，B＝{x|﹣7＜x＜0}，则AψB＝（ ）
A．{x|﹣5＜x＜﹣1} B．{x|﹣7＜x＜2} C．{x|﹣5＜x＜1} D．{x|﹣5＜x＜0}
解：∵集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}＝{x|﹣5＜x＜2}，
B＝{x|﹣7＜x＜0}，
∴AψB＝{x|}＝{x|﹣5＜x＜1}．
故选：C．
4．将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6π，则ω＝（ ）
A． B．6 C． D．3
解：将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，
即g（x）＝sinωx，
若g（x）的最小正周期为6π，
则T＝＝6π，得ω＝，
故选：A．
5．在△ABC中为BC边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
解：因为D为BC边的中点，
所以+＝2，
因为＝（+），
所以＝，则2＝3．
故选：C．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则输出的X＝（ ）
A． B． C． D．
解：模拟程序的运行，可得
X＝，n＝2
X＝，n＝3
X＝，n＝4
…
X＝，n＝11＞N，
故输出的X＝．
故选：B．
7．若椭圆与椭圆＝1（0＜m＜9）只有两个公共点，则这两个椭圆的离心率之积为（ ）
A． B． C． D．
解：由两个椭圆的图形可得，当C的长轴端点恰好为D的短轴端点时，
两个椭圆只有两个公共点，则m＝4，
故这两个椭圆的离心率之积为，
故选：B．
8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（ ）
A．39 B．45 C．48 D．51
解：设该数列为{an}，由题意得，a5，a6，…成等差数列，公差d＝2，a5＝5，
设塔群共有n层，则1+3+3+5+5（n﹣1）+＝108，
解得，n＝12，
故最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12＝3a11＝3（5+2×6）＝51．
故选：D．
9．在四面体ABCP中，PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC．若四面体ABCP外接球的半径为．则PA与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．3
解：因为PB⊥平面ABC，且AB⊥AC，所以四面体ABCP可以补形为一个长方体，
故其外接球的半径，
则AB＝3PB．
因为PA与平面ABC所成角为∠PAB，所以．
故选：B．
10．已知y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（2021）＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
解：根据题意，y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，即y＝f（x）是奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
又由对任意的x∈R，f（x+2）＝f（﹣x）恒成立，即f（x+2）＝﹣f（x）恒成立，
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）对任意的x都成立，
故f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝﹣f（﹣1），
当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则f（﹣1）＝2﹣1＝，
故f（2021）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣，
故选：B．
11．设α，β均为锐角，且cos（α+β）+cos（α﹣β）＝，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．
解：因为cos（α+β）+cos（α﹣β）＝，
可得2cosαcosβ＝，即tanα＝2sinβcosβ，
故＝＝≤＝，当且仅当＝，即tanβ＝时等号成立，
故的最大值是．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝的图象过点（1，），若关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣e，0） B．（0，e） C．（﹣，0） D．（﹣，e）
解：∵f（1）＝＝，∴m＝﹣1，故f（x）＝．
f′（x）＝＝﹣，
∵当x∈（﹣1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）或（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，
∴f（x）的极大值为f（2）＝，极小值为f（﹣1）＝﹣e．
且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→0，
∵关于x的方程f（x）+a＝0（a∈R）有3个不同的实数根，
∴f（x）＝ 的图象与y＝﹣a有3个不同交点，则0＜﹣a＜，得﹣＜a＜0．
即a的取值范围是（﹣，0）．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2+bc＝b2+c2，则cosA＝ ．
解：因为a2+bc＝b2+c2，且a2＝b2+c2﹣2bccosA，
则cosA＝．
故答案为：．
14．若log35•log2527＝a，则函数f（x）＝lg（2a﹣x）的定义域为 （﹣∞，3） ．
解：若log35•log2527＝a，
则若log35•log2527＝log35•log53＝＝a，
故f（x）＝lg（3﹣x），
由3﹣x＞0，解得：x＜3，
故函数的定义域是（﹣∞，3），
故答案为：（﹣∞，3）．
15．如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为 110 ．
解：设正四棱柱的底面边长为：m，则4（42﹣m2）＝60，解得m＝1，
所以该几何体的表面积为：42×4+（42﹣12）×2+4×1×4＝110．
故答案为：110．
16．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（4，3），则∠F1MF2的角平分线所在直线的斜率为 1 ．
解：由双曲线的焦点F1（﹣，0），F2（，0），
设∠F1MF2的角平分线所在直线与x轴的交点设为T（t，0），则t∈（﹣，），
所以MF1的直线方程为：y＝（x+），即3x﹣（4+）y+3＝0，
直线MF2的方程：y＝（x﹣），即3x﹣（4﹣）y﹣3＝0，
由角平分线的性质可得＝，整理可得＝，
解得：t＝1，
所以T（1，0），所以kMT＝＝1
故答案为：1．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
[﹣0.4，﹣0.2）
[﹣0.2，0）
[0，0.2）
[0.2，0.4）
[0.4，0.6）
企业数
30
24
40
16
10
（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；
（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
【解答】（1）这些企业中产值负增长的企业比例为%＝45%；
（2）这120个企业产值增长率的平均数为（一0.3×30一0.1×24十0.1×40十0.3×16十0.5×10）＝0.02．
18．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an﹣n2+2n+2．
（1）证明：数列{an﹣n2+1}为等比数列；
（2）求数列{an﹣n2}的前n项和Sn．
解：（1）证法一、因为an+1＝2an﹣n2+2n+2，
所以an+1﹣（n+1）2+1＝2（an﹣n2+1），又a1﹣12+1＝1，
所以{an﹣n2+1}是首项为1，公比为2的等比数列；
证法二、因为a1＝1，所以a1﹣12+1＝1，
因为an+1＝2an﹣n2+2n+2，
所以＝
＝＝2，
所以{an﹣n2+1}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得an﹣n2+1＝2n﹣1，
则an﹣n2＝2n﹣1﹣1，
所以Sn＝1+2+…+2n﹣1﹣n＝﹣n＝2n﹣n﹣1．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC⊥PB，PB＝AB＝PD．
（1）证明：PD⊥平面ABCD；
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为12，求点D到平面PBC的距离．
【解答】（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为AC⊥PB，且BD∩PB＝B，所以AC⊥平面PBD，
因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，
因为AB＝AD，且∠BAD＝60°，所以BD＝AB，
因为PB＝，所以PD2+BD2＝PB2，则PD⊥BD，
因为AC与BD是平面ABCD内的相交直线，
所以PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）可知，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，则PB＝PC＝PD，
设AB＝m，则四棱锥P﹣ABCD的体积为，解得m＝2，
在△PBC中，，则△PBC的面积为，
设点D到平面PBC的距离为h，
因为三棱锥P﹣BCD的体积为，
所以三棱锥D﹣PBC的体积为，解得h＝，
故点D到平面PBC的距离为．
20．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为圆C2：x2+y2＝4与圆C3：x2+（y﹣3）2＝1的公共点．
（1）求C1的方程；
（2）直线l：y＝x+3与C1交于A，B两点，点P在C1上，且P在AOB这一段曲线上运动（P异于端点A与B），求△PAB面积的取值范围．
解：（1）联立解得：x＝0，y＝2，
所以可得抛物线的焦点在y轴上，且由题意可得焦点为：（0，2），
设抛物线的方程：x2＝2py，所以＝2，
所以p＝4，
所以C1的方程为：x2＝8y；
（2）联立，解得：或，
设A（6，），B（﹣1，2），
则|AB|＝＝，
设P（x0，y0），则﹣4＜x0＜6，
则P到直线l的距离d＝＝＝，
由x0的范围，设y＝（x0﹣1）2﹣25∈[﹣25，0]，
所以可得d∈（0，]．
所以S△PAB＝×|AB|•d＝וd∈（0，]，
所以△PAB面积的取值范围为（0，]．
21．已知函数f（x）＝a（lnx+x）﹣xex．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与y轴垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x）+1≤0恒成立，求a的取值集合．
解：（1）因为f′（x）＝a（+1）﹣（x+1）ex，
所以f′（1）＝﹣2（e﹣a）＝0，
解得a＝e，故f′（x）＝﹣（x+1）（ex﹣），
因为f（x）的定义域为（0，+∞），所以﹣（x+1）＜0，
且函数φ（x）＝ex﹣在（0，+∞）上为增函数，φ（1）＝0，
当0＜x＜1时，φ（x）＜0；当x＞1时，φ（x）＞0，
故f（x）的单调递减区间为（1，+∞），单调递增区间为（0，1）．
（2）f′（x）＝﹣（x+1）（ex﹣），
①当a＜0时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当x→0时，f（x）+1→+∞，不符合题意，
②当a＝0时，f（）+1＝1﹣＞0，不合题意，
③当a＞0时，令f′（x）＝0得ex﹣＝0，即xex＝a，
令g（x）＝xex，则g′（x）＝ex（x+1）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则存在x0∈（0，+∞），使得x0e＝a，
两边同时取对数可得x0+lnx0＝lna，
当0＜x＜x0时，xex＜a，f′（x）＞0，
当x＞x0时，xex＞a，f′（x）＜0，
所以f（x）max＝a（lnx0+x0）﹣x0e＝alna﹣a，
令h（a）＝alna﹣a+1（a＞0），则h′（a）＝lna，
由h′（a）＞0，得a＞1；由h′（a）＜0，得0＜a＜1，
从而h（a）min＝h（1）＝0，
所以h（a）≥0，
又因为h（a）＝alna﹣a+1≤0，
所以h（a）＝alna﹣a+1＝0，所以a＝1，
故a的取值集合为{1}．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l：x+y＝．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程；
（2）直线m：θ＝θ0（θ0∈（0，））与曲线C和直线l分别交于A，B（A，B均异于点O）两点，求|OA||OB|的取值范围．
解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．
直线l：x+y＝，根据，转换为极坐标方程为．
（2）由于圆的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1根据转换为极坐标方程为ρ＝2cosθ．
所以|OA||OB|＝＝，
由于θ0∈（0，），
所以|OA||OB|的取值范围为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）记f（x）的最小值为M，若关于x的不等式|x﹣m|+|x﹣2|≤M有解，求m的取值范围．
解：（1）|2x﹣2|+|x+1|≤5等价为或或，
解得﹣≤x≤﹣1或﹣1＜x＜1或1≤x≤2，
综上可得，原不等式的解集为[﹣，2]；
（2）f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|＝|x﹣1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x﹣1﹣x﹣1|+|1﹣1|＝2，
当x＝1时，上式取得等号，
则M＝2，即|x﹣m|+|x﹣2|≤2有解，
由|x﹣m|+|x﹣2|≥|x﹣m﹣x+2|＝|m﹣2|，当（x﹣m）（x﹣2）≤0时，取得等号，
所以|m﹣2|≤2，解得0≤m≤4，
所以m的取值范围是[0，4]．
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