2020-2021学年湖北省襄阳市樊城区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省襄阳市樊城区九年级（上）期末数学试卷

1. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次摸出1球后放回，摇匀后再继续摸，其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是

A. 红球比白球多 B. 白球比红球多
C. 红球，白球一样多 D. 无法估计

3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，已知点P在反比例函数上，轴，垂足为点A，且的面积为4，则k的值为
   
    

A. 8 B. 4 C.  D.

5. 二次函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是

A.  B. 且  C.  D. 且 

6. 已知半径为9的扇形的弧长为，该扇形的面积为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是
    

A. 2 B.  C. 1 D.

8. 如图，PA，PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA，PB于C，若的周长等于3，则PA的值是
   
    

A.  B.  C.  D.

9. 一件产品原来每件的成本是1000元，由于连续两次降低成本，现在的成本是810元，则平均每次降低成本

A.  B.
C.  D.

10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是
    ①图象与坐标轴的交点为，和；
    ②图象具有对称性，对称轴是直线；
    ③当或时，函数值y随x值的增大而增大；
    ④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

11. 若，则点关于原点的对称点坐标为______.
12. 随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率为______.
    
     

13. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V的范围是______.

14. 实数p，q用符号表示p，q，两数中较小的数，如，若，则______.
15. 在平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，，则AF：______.
    
     

16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA上靠近点A的三等分点，连接OQ，则线段OQ的最大值是______.

17. 解方程：
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     
18. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
    小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______；
    某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知关于x的一元二次方程有两根，
    求m的取值范围；
    若求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知二次函数
    用配方法将其化为的形式；
    在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．

21. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
    试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
    如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，已知中，，CB平分交AE于点B，AC边上一点O，经过点B，C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接
    求证：AE是的切线；
    若，，求BC的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
    该商品的售价和进价分别是多少元？
    设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
    为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：
    方案一：每件商品涨价a元；
    方案二：每件商品的利润为24元．
    请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 问题背景：已知的顶点D在的边AB所在直线上不与A，B重合，DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，
    初步尝试：如图①，当是等边三角形，判断：______填相似或全等关系；
    类比探究：如图②，当时，上述结论是否还成立？请说明理由．
    延伸拓展：如图③，在的条件下，当点D在BA的延长线上运动到点M与点C重合时，若：：2，BN：：3，，则______.
     

25. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴交于点，点D是第二象限内抛物线上一动点，点是x轴上一动点．
    求这条抛物线的解析式；
    当取最大值时，判断点D是否为抛物线顶点；
    若点D为抛物线顶点，连接DF，把线段DF绕点D旋转，使得旋转后的线段DF与线段BC有交点，请求出a的取值范围．
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：位同学摸到红球的频率的平均数为，
红球比白球多．
故选：
计算出摸出红球的平均数后分析，若得到到的平均数大于5，则说明红球比白球多，反之则不是．
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到红球可能的情况数．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
利用根的判别式分别进行判定即可．
【解答】
解：，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B.，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C.，没有实数根，故此选项符合题意；
D.，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选  

4.【答案】C
 

【解析】解：点P在反比例函数上，轴，且的面积为4，
，
或，
，

故选：
根据反比例函数k的几何意义，可得，再根据，求出k的值．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数k的几何意义是解决问题的前提．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：为二次函数，
，
二次函数的图象与x轴有公共点，
，解得，
综上所述，k的取值范围是且
故选：
先根据二次函数的定义得到，再根据抛物线与x轴的交点问题得到，然后解不等式即可得到k的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：根据扇形的面积公式，得

故选：
直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．

【解答】
解：如图

在RtACD中，，
故选：  

8.【答案】A
 

【解析】解：，PB切于A、B两点，CD切于点E，交PA，PB于C，D，
，，
的周长等于3，
，

故选：
直接利用切线长定理得出，，，进而求出PA的长．
此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：
，
解得：或不合题意，舍去
即：
故选：
设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，根据两次降低后的成本是810元列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调后就变为原来的倍，调整2次就是倍．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：①，和坐标都满足函数，①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故选：
由，和坐标都满足函数知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，，
点，即关于原点的对称点坐标为：
故答案为：
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及非负数的性质，掌握相关性质是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：画树状图得：

共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的有4种情况，
随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的概率为：
故答案为：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点，
，
即，在第一象限内，P随V的增大而减小，
当时，
故答案为：
根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断V的范围．
本题考查了反比例好函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
由知，
则，
，
故答案为：
先判断出，从而由知，再利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

15.【答案】2：3
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
：：3，
故答案为：2：
由四边形ABCD是平行四边形可得，进而可得，再由，得出，即可得到AF：
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：令，则或，
故点，点，则，即，
是线段PA上靠近点A的三等分点，即，连接PB，
，且OA：：：3，
则∽，
：：：：3，
设圆的半径为r，则，
连接PC，BC，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则，
故答案为
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP的最大值，进而求解．
 

17.【答案】解：，
或，
，；
，，，
，
，

 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】
将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：

由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，

方法二：根据题意可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，

 

【解析】

解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为
故答案为；

见答案
【分析】
根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．  

19.【答案】解：由题意知，，
解得：；

由根与系数的关系得：，，
，
，
解得：，，
由知，
所以应舍去，
m的值为
 

【解析】根据方程有两个相等的实数根可知，求出m的取值范围即可；
根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：
；
，
顶点坐标为，对称轴方程为
函数二次函数的开口向上，顶点坐标为，与x轴的交点为，，
 

其图象为：

 

【解析】利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
利用描点法画出二次函数图象即可．
本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
人
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
 

【解析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算．
 

22.【答案】证明：连接OB，

，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线；
解：过O作于M，连接OF，

则四边形OBEM为矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又，
在中，
 

【解析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，求得，于是得到结论；
过O作于M，连接OF，则四边形OBEM为矩形，由矩形的性质得出，得出，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设该商品的进价a元，售价为b元，由题意得：
，
解得，，
该商品的进价24元，售价为30元；
，
，
当时，，
售价为元，
所以，销售价为47元/件时，每天的销售利润最大；最大利润是2645元；
方案二：元
由知：；
依据该二次函数的图像和性质，与函数值相等，
当和时，方案二的销售最大利润更高；
当和时，两种方案的销售最大利润一样；
当时，方案一的销售最大利润更高．
 

【解析】设该商品的进价a元，售价为b元，由题意得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值即可；
根据利润等于每件的销售利润乘以销售量列出函数关系式并配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；
由二次函数的对称性，可得与函数值相等，依据该二次函数的图像和性质即可求解．
本题考查了列二元一次方程组解应用题及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

24.【答案】∽ 
 

【解析】解：如图①，
是等边三角形，，
，
，，
，
∽，
故答案为：∽．
成立，如图②，
，
，
，
设，
，，
，
∽
如图③，作于点G，设，则，
设，
，，
；
，，
，
∽，
；
点M与点C重合，：：2，BN：：3，
：：2，BN：：3，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
根据等边三角形的性质和证明两组对应角相等，从而证明∽，得出填空题要求的结果；
与的方法相同，证明∽仍然成立；
作于点G，设，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方及等高三角形面积的比等于底的比，求出AB、BN、BC的长，得到DG的长，再由勾股定理求出CG、CD的长，最后可求出DN的长．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解第题的关键是正确地作出所需要的辅助线，用相似三角形面积的比等于相似比的平方及等高三角形面积的比等于底的比进行适当的转化，此题计算烦琐，难度较大，属于压轴题．
 

25.【答案】解：将点，点代入，
得，
，
；
，，
设直线AC的解析式为，
，
，
直线AC解析式为，
如图1，过点D作轴交直线AC于点E，
设，则，
，
，
当时，取最大值，此时，
由知顶点坐标为，
此时，D点不是抛物线的顶点；
如图2，当经过点C时，
过点F作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线交y轴于点N，两垂线相交于点M，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
，
如图3，当经过点B时，
过点F作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，相交于点M，
过点B作x轴的垂线，交DM于点N，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
，

 

【解析】将点，点代入，即可求函数解析式；
求出直线AC解析式为，过点D作轴交直线AC于点E，设，则，则，则，即可判断D点不是抛物线的顶点；
先求出线段BC两个端点的边界情况时a的取值，经过当经过点C时，，当经过点B时，，则可求a的取值范围为
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、旋转的性质、数形结合、分类讨论解题是关键．