2021-2022学年重庆市永川区永川萱花中学八年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

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萱花中学2021-2022学年秋期八年级半期质量监测
数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题12个小题，每题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 下列交通标志中，是轴对称图形的是　　
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 若三角形的两边长分别为3和8，则第三边的长可能是（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系即可求解.
【详解】∵三角形的两边长分别为3和8
∴第三边的取值为8-3＜x＜8+3，
即5＜x＜11，
故选D
【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形的两边之和大于第三边.
3. 若一个多边形的内角和为 720°，则这个多边形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】D
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，结合方程即可求出答案．
【详解】设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n-2）180°=720°，
解得：n=6，
则这个多边形是六边形．
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为（n-2）•180°是解题的关键．
4. 在三角形中，最大的内角不小于（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【详解】解：∵三角形的内角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故选C．
5. 如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=10°,∠2=40°,则∠3等于(　　)

A. 50° B. 30° C. 20° D. 15°
【答案】B
【分析】如图，运用平行线的性质求出∠4，根据三角形的外角性质求出∠3，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：∠4=∠2=40°；
由三角形的外角定理得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=40°-10°=30°．
故选B．

【点睛】本题考查三角形外角的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质．
6. 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）

A. 18cm B. 22cm C. 24cm D. 26cm
【答案】B
【详解】试题分析：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∵AE=4cm，
∴AC=2AE=2×4=8cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．
故选B．
考点：线段垂直平分线的性质．
7. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A. ∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD
【答案】D
【详解】试题分析：添加A可以利用ASA来进行全等判定；添加B可以利用SAS来进行判定；添加C选项可以得出AD=AE，然后利用SAS来进行全等判定.
考点：三角形全等的判定
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，若∠ACE＝20°，则∠B的度数为（　　）

A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
【答案】B
【分析】根据已知条件得到△ADC是等腰直角三角形，求得AD＝CD，∠CAE＝∠ACD＝45°，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠DEC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠CAE＝∠ACD＝45°，
在Rt△ABD与Rt△CED中，
∴Rt△ABD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠DEC，
∵∠DEC＝∠CAE+∠ACE＝45°+20°＝65°，
∴∠B＝65°，
故选B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
9. 如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，下列说法错误的是（ ）

A. AB=CD B. ∠BAE=∠DCE C. EB=ED D. ∠ABE一定等于30°
【答案】D
【分析】利用折叠的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质推证即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
故A、B选项正确，都不符合题意；
在和中，，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
∵得不出，
∴不一定等于，
∴D不正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练运用矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．
10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是（ ）
A. 30° B. 30°或150° C. 60°或150° D. 60°或120°
【答案】B
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴三角形的顶角为30°；
②当为钝角三角形时，如图2，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∵∠BAD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=150°
∴三角形的顶角为150°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
11. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是（　　）

A. 2α+∠A=180° B. α+∠A=90° C. 2α+∠A=90° D. α+∠A=180°
【答案】A
【解析】分析】

【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°，
故选A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
12. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE.下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE.其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【详解】试题分析：①∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等；故①正确；
②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②不一定正确；
③∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，∵BD=CD，∠BDF=∠CDE，DF=DE，∴△BDF≌△CDE（SAS）．故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，∴∠CED=∠BFD，∴BF∥CE；故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，∴只有当AE=BF时，CE=AE．故⑤不一定正确．
综上所述，正确的结论是：①③④，共有3个．
故选C．

考点：全等三角形的判定与性质．
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）.请将正确答案填在答题卡的相应横线上.
13. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm．
【答案】4
【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可.
【详解】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm，
∴该直角三角形斜边长度为4cm，
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
14. 等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为___________．
【答案】22
【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9
∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去
4+9＞9，故4，9，9能构成三角形
∴它的周长是4+9+9=22．
故答案为：22．
15. 已知和关于x轴对称，则的值为__________．
【答案】-1
【分析】利用关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列二元一次方程则，解方程组求出m、n，然后代入代数式计算可得答案．
【详解】解：∵和关于x轴对称，
∴，，
解得，
∴．
故答案为-1．
【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，解题关键在于掌握轴对称的性质，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，
16. 如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，DE为折痕，使点A落在BC上F处，若∠B=40°，则∠BDF=___________度．

【答案】100
【分析】由折叠的性质，即可求得AD＝DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB＝DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB＝∠B＝40°，又由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．
【详解】解：根据折叠的性质，可得：AD＝DF，
∵D是AB边上的中点，
即AD＝BD，
∴BD＝DF，
∵∠B＝40°，
∴∠DFB＝∠B＝40°，
∴∠BDF＝180°−∠B−∠DFB＝100°．
故答案为：100．
【点睛】此题考查了折叠性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
17. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=6，则PD=___________．

【答案】3
【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，根据平行线性质，角的平分线性质，得到PE=PD，∠PCE=30°，运用30°角的所对直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】过点P作PE⊥OB，垂足为E，

∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PD⊥OA，
∴PD=PE，∠BOP=15°，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠AOP =15°，
∴∠PCE=30°，
∵PC=6，
∴PE=3，
∴PD=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角的平分线定义与性质，平行线的性质，三角形外角和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线，直角三角形的性质是解题的关键．
18. 如图，在中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB，过B点作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，又已知AD=6cm，则BE的长为____________cm．

【答案】3
【分析】延长、交于点，首先利用三角形内角和计算出，进而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后证明，可得，进而得到即可求得答案．
【详解】解：如图，延长、交于点，
，
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
∵在中，，
，
，
又∵，
∴，
∴在和中，
，
，
，
，
故答案为：3

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是证明以及．
三、解答题：（本大题8个小题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的方框内.
19. 在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=30°，求△ABC各内角的度数．
【答案】∠A=70°，∠B=80°,∠C=30°
【分析】利用已知结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=30°
∴∠B+∠A=150°，即∠A+10°+∠A=150°，
∴解得：∠A=70°，∠B=80°，
答：∠A=70°，∠B=80°，∠C=30°
【点睛】本题考查三角形内角和定理，正确得出∠B+∠A=150°是解题关键．
20. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．

【答案】证明见解析．
【分析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．
【详解】∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；
∴BC=EF，
∴BC﹣CE=EF﹣CE，
即BE=CF．
考点：全等三角形的判定与性质．
21. 如图，AB=CD，AC=BD，求证：△BOC是等腰三角形．

【答案】见解析
【分析】由SSS证明△ABC≌△DCB（SSS），得出∠ACB=∠DBC，即可得出结论．
【详解】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴BO=OC．
∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
22. 如图，在△ABC中，∠A=55°，∠ABD=32°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．

【答案】∠DEC =58°．
【分析】先根据∠A=55°，∠ACB=70°得出∠ABC的度数，再由∠ABD=32°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，最后用三角形的外角即可得出结论．
【详解】在△ABC中，
∵∠A=55°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=55°，
∵∠ABD=32°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=23°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=35°，
∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=58°．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.
23. ．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请作出△ABC关于y轴对称的；并求出的面积
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请作出△PAB，并直接写出点P的坐标．

【答案】（1）见解析，面积：；（2）见解析，的坐标为
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标可得它们关于y轴的对称点的坐标A1、B1、C1，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形；利用割补方法即可求得面积；
【详解】（1）如图所示，即为所求；

的面积为：；
故答案为：3.5．
（2）如图所示，作点A关于x轴的对称点 ，则；连接 ，它与x轴的交点就是所求作的点P，此时 最小，即为所求，由图知点的坐标为．
【点睛】本题考查了作轴对称图形，求图形面积，两点间线段最短，求图形面积用到了割补法，求周长的最小值转化为求线段的最小值问题．
24. 如图，已知在中，AD平分，为边的中点，过点作，垂足分别为.
（1）求证：AB=AC；
（2）若，BE=1，求的周长.

【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为12
【分析】（1）根据已知利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，从而可得，继而可证；
（2）由AB=AC，∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形，再由从而可得∠BDE=30°，从而可得BD的长，继而可得BC长，从而可得周长.
【详解】解：（1）AD平分∠BAC，，
，
又D是BC中点，，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
，
；
（2），AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
，
，
在Rt△BDE中，，
，
△ABC的周长=4×3=12．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
25. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少度？
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在线段CB的延长线上，时，请将备用图补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．

【答案】（1）；（2）①，见解析；②见解析，
【分析】（1）根据题意得，用SAS证明，得，根据三角形内角和定理得，即可得=；
（2）①根据题意得，用SAS证明，得，因为，，即可得；②根据题意得，用SAS证明，得，而，，则，即可得．
【详解】解：（1）∵，
，
，
∴ ，
在和中，

∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
则为；
（2）①；理由如下：
∵，
∴；
在与中，

∴，
∴，
∵，
又∵，
∴；
②；理由如下：
如图所示，∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
而，，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
26. 已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC．
（1）如图1，连接BD，若∠BAD=90°，AD=7，求DC的长度；
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足，求证：；
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析
【解析】分析】（1）证，得出即可；
（2）延长至，使，证，再证即可；
（3）在延长线上找一点，使得，连接，证，，得出，再利用周角推导即可．
【详解】解：（1）如图1
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（2）延长至，使，
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCK+∠BCD=180°，
∴
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，

（3）如图3，在延长线上找一点，使得，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，关键全等三角形进行推理证明．