2022届初中数学一轮复习 课时作业18 相似三角形

课时作业18　相似三角形

1.(2020·甘肃天水)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.5 m，测得AB=1.2 m，BC=12.8 m，则建筑物CD的高是(　　)

A.17.5 m 　B.17 m 　C.16.5 m  　D.18 m

2.(2020·贵州铜仁)已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH=6，则EA的长为 (　　)

A.3 　B.2 　C.4 　D.5

3.(2020·甘肃武威)生活中处处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为(　　)

A.1.24米 B.1.38米

C.1.42米 D.1.62米

4.(2020·江苏苏州)如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD.若E是AD的中点，则EC=　　　　. 

5.(2020·江苏盐城)如图，BC∥DE，且BC<DE，AD=BC=4，AB+DE=10，则的值为　　　　. 

6.(2020·山东菏泽)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　　　　. 

7.(2020·四川凉山州)如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是　　　　. 

8.(2020·广东东莞)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10.

(1)用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)；

(2)在(1)的条件下，求EF的长度.

9.(2020·四川泸州)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”.如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割点”，则△ADE的面积为(　　)

A.10-4 B.3-5

C. D.20-8

10.(2020·新疆建设兵团)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　　　　. 

11.(2020·四川宜宾)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连接CD交BE于点O，若AC=8，BC=6，则OE的长是　　　　. 

12.(2020·江苏苏州)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-4，0)，(0，4)，点C(3，n)在第一象限内，连接AC，BC.已知∠BCA=2∠ CAO，则n=　　　　. 

13.(2020·四川泸州)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB=4，BC=6，则MN的长为　　　　. 

14.(2020·江苏苏州)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.

(1)求证：△ABE∽△DFA；

(2)若AB=6，BC=4，求DF的长.

参考答案

1.A　解析 ∵AB=1.2 m，BC=12.8 m，

∴AC=1.2 m+12.8 m=14 m，

∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面，

∴BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，

∴，即，解得CD=17.5 m.

2.A　解析 △FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2∶1.

∵△FHB∽△EAD，∴=2，即=2，

解得EA=3，故选A.

3.A　解析 由题意可知，a∶b≈0.618，代入b=2，

∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.

4.1　解析 ∵BD=2DC，∴=2.

∵E为AD的中点，∴AD=2DE，

∴=2，∴=2.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=△EDC=90°，

∴△ADB∽△EDC，∴=2.

∵AB=2，∴EC=1.

5.2　解析 ∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，

∴.设AB=a，则DE=10-a，

故，解得a1=2，a2=8，

∵BC<DE，∴AB=2，故=2.

6.3　解析 ∵四边形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，∴∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，

∴BD==13.又BP=BA=5，

∴PD=8.∵AB∥DQ，

∴，即，

解得CQ=3.

在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，

BQ==3.

7.48 mm　解析 设正方形的边长为x mm，

则AI=AD-x=80-x，∵EFHG是正方形，

∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，

∴，即，

解得x=48 mm，

∴这个正方形零件的边长是48 mm.

8.解 (1)如图，EF为AB的垂直平分线.

(2)∵EF为AB的垂直平分线，

∴AE=AB=5，∠AEF=90°.

∵在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，

∴BC==6.

∵∠C=∠AEF=90°，∠A=∠A，

∴△AFE∽△ABC，

∴，

∴即，∴EF=.

9.A　解析 过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，

∴BF=BC=2.

在Rt△ABF中，AF=.

∵D是边BC的两个“黄金分割”点，

∴，

即，

解得CD=2-2.同理BE=2-2.

∵CE=BC-BE=4-(2-2)=6-2，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ADE=×DE×AF=×(4-8)×=10-4.

10.6　解析 如图，∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，

∴∠C=30°，BC=4，AC=2.

取AC的中点F，过F作FG⊥BC于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则FD+AD=AD+DE=AE 此时AD+FD最短，

∵∠C=30°，

CF=AC=，

∴FG=EG=，CG=.

过A作AH⊥BC于H，则由AB·AC=BC·AH，

∴AH=，

∴BH=1，HG=4-1-.

∵AH⊥BC，FG⊥BC，∴AH∥FG，

∴△EDG∽△ADH，∴，

∴DG=，DH=1，∴BD=2，

∴D为BC的中点.

∴AD=BC=2，FD=AB=1=DE，

∴AD+FD=3，∴2DF=DC，

∴2AD+CD=2AD+2DF=2(AD+DF)=6，

即2AD+CD的最小值为6.

11.　解析 过E点作EG⊥AB于G点，

∵BE平分∠ABC，∴CE=EG.

设CE=EG=x，∵∠ACB=90°，

∴AB==10.

∵= ，

故AC×BC=CE×BC+AB×EG，

即×8×6=×x×6+×10×x，

解得x=3，∴CE=3.

延长CD交过B作BF⊥BC于F，

∵D是AB中点，∴AD=BD，

∵AC∥BF，

∴∠A=∠DBF，

又∠ADC=∠BDF，

∴△ACD≌△BFD(ASA)，

∴BF=AC=8.

∵AC∥BF，∴△CEO∽△FBO，

∴，

∴EO=BE=.

12.　解析 如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，

∴∠DCE=∠CAO.

∵∠BCA=2∠CAO，

∴∠BCA=2∠DCE，

∴∠DCE=∠DCB.

∵CD⊥y轴，

∴∠CDE=∠CDB=90°，

又∵CD=CD，

∴△CDE≌△CDB(ASA)，

∴DE=DB.∵B(0，4)，C(3，n)，

∴CD=3，OD=n，OB=4，

∴DE=DB=OB-OD=4-n，

∴OE=OD-DE=n-(4-n)=2n-4.

∵A(-4，0)，∴AO=4.

∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE，

∴ ，∴，解得n=.

13.　解析 过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，由题意可知，EH∥BC，

∴△BEG∽△BAF，∴.

∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，∴BE=2，AF=3，∴，

∴EG=.∵EH∥BC，

∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，

∴，

∴，

即，

∴2NG=NF，4MG=MB.

∵E为AB中点，EH∥BC，∴G为BF中点，

∴BG=GF=BF=.

∴NG=GF=，MG=BG=，

∴MN=NG+MG=.

14.(1)证明 ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD∥BC.

∴∠AEB=∠DAF.

∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°.

∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA.

(2)解 ∵△ABE∽△DFA，∴.

∵BC=4，E是BC的中点，

∴BE=BC=×4=2.

∴在Rt△ABE中，

AE==2.

又∵AD=BC=4，

∴，∴DF=.