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专题24.24 弧长和扇形面积（专项练习1）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题24.24 弧长和扇形面积（专项练习1）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了求弧长，求半径，求圆心角，求点的运动路径长，求扇形面积，求旋转扫过的面积，求弓形的面积，求不规则图形面积等内容，欢迎下载使用。
专题24.24 弧长和扇形面积（专项练习1）
一、 单选题
知识点一、求弧长
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )
A．π B．π C．π D．π
2．如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
知识点二、求半径
4．一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A．6厘米 B．12厘米 C． 厘米 D．厘米
5．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
6．已知一个扇形的弧长为，圆心角是，则它的半径长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
知识点三、求圆心角
7．已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．20°
8．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．135°
知识点四、求点的运动路径长
10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为( )
A．10π B．
C．π D．π
11．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
12．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
知识点五、求扇形面积
13．如图，AB为半圆的直径，其中，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．2π
15．如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
知识点六、求旋转扫过的面积
16．如图，C是半圆⊙O内一点，直径AB的长为4cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．π B．π C．4π D．+π
17．在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1（如图所示），则线段AB所扫过的面积为（ ）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．5πcm2
18．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
知识点七、求弓形的面积
19．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
21．如图，某商标是由三个半径都为R的圆弧两两外切得到的图形，则三个切点间的弧所围成的阴影部分的面积是（ ）
A． （3﹣12π）R2 B．（3+12π）R2 C．（32﹣π）R2 D．（32+π）R2
知识点八、求不规则图形面积
22．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
24．如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．4cm2 D．πcm2
二、 填空题
知识点一、求弧长
25．如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．
26．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm．
27．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．
知识点二、求半径
28．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
29．若扇形的圆心角为120°，弧长为18πcm，则该扇形的半径为_____cm．
30．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为______时，BP与⊙O相切．
知识点三、求圆心角
31．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度．
32．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．
33． 若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是__________度．
知识点四、求点的运动路径长
34．如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留）
35．将边长为2的正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，当α最小时，点A运动的路径长为_____．
36．如图，在扇形铁皮AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA第5次落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_____．
知识点五、求扇形面积
37．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．
38．一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为______．
39．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
知识点六、求旋转扫过的面积
40．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为_____．
41．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为________．
42．如图，将绕点A逆时针旋转得，已知，，那么图中阴影部分的面积是________．（结果保留）
知识点七、求弓形的面积
43．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为________．
44．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为_____．
45．如图，点是以为直径的半圆的三等分点， ，则图中阴影部分的面积是 _______．
知识点八、求不规则图形面积
46．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
47．如图，是的直径，点E是的中点，过点E的切 线分别交的延长线于点若，的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_______．
48．如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______．
三、 解答题
知识点一、求弧长
49．如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC．已知⊙O的半径为2，∠C＝35°
（1） 求∠A的度数；（2）求的长．
知识点二、求半径
50．在⊙O中，弦所对的圆周角为30°，且，求的长．
嘉琪的解法如下：∵弦所对的圆周角是30°，
的长为．
请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
知识点三、求圆心角
51． 若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为，求这条弧所对的圆心角．
知识点四、求点的运动路径长
52．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：
(1)画出四边形ABCD旋转后的图形；
(2)求点C在旋转过程中经过的路径长．
知识点五、求扇形面积
53．如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且AC=CD,．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
知识点六、求旋转扫过的面积
54．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）图中△ABC外接圆的圆心的坐标是 ，△ABC外接圆的面积是 平方单位长度．
知识点七、求弓形的面积
55．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
知识点八、求不规则图形面积
56．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．C
【解析】
试题解析：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l=.
故选C.
2．B
【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式计算即可．
【详解】
连接，
，
为等边三角形，
，
，
则的长，
故选．
【点拨】本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：是解题的关键．
3．D
【分析】连接OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题.
【详解】
连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠D＝＝108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧AC的长为．
故选D．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键．
4．A
【解析】
l=，
由题意得，2π=，
解得：R=6cm．
故选A．
故选A．
【点睛】运用了弧长的计算公式，属于基础题，熟练掌握弧长的计算公式是关键．
5．B
【分析】根据弧长公式可以求得该扇形的半径的长度．
【详解】
解：根据弧长的公式，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
【点拨】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．
6．A
【分析】设扇形半径为rcm，根据扇形弧长公式列方程计算即可.
【详解】
设扇形半径为rcm，
则=5π，解得r=6cm.
故选A.
【点拨】本题主要考查扇形弧长公式.
7．B
【解析】
【详解】
解：根据l==π，
解得：n=60°，
故选B．
【点拨】本题考查弧长公式，在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l=.
8．C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展开图扇形的弧长＝2π•10，然后根据扇形的弧长公式l＝ 计算即可求出n．
【详解】
解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为．
∵圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π，
∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π，
∴20π＝，
∴n＝120°．
故答案选：C．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长等于扇形的半径．也考查了扇形的弧长公式．
9．C
【分析】根据弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．
【详解】
解：由题意得，2π＝，
解得：n＝180．
即这条弧所对的圆心角的度数是180°．
故选C．
【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．
10．C
【详解】
如图所示：
在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：AC=，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=．
故选C.
11．A
【分析】B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π．
【详解】
解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
12．C
【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：BD=4，
∴OD=2
∴点D所转过的路径长==2π．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了弧长公式：．
13．B
【分析】由旋转的性质可得：，从而可得，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
，．
，
．
故选B．
【点拨】本题考查的是旋转的性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
14．B
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【详解】
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是：，
故选B．
【点拨】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．C
【分析】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】
解：连接OC，如图，
为等边三角形，
，，
图中阴影部分的面积
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形的性质．
16．B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式：计算即可．
【详解】
解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=1，BC=，
则边BC扫过的区域的面积为：
=πcm2．
故答案为B．
【点拨】本题主要考查扇形面积公式，三角形的性质．正确计算扇形面积是解题的关键．
17．B
【解析】
【分析】首先求出AB，然后根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
解：AB=，
∴线段AB所扫过的面积为：，
故选：B.
【点拨】本题主要考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键.
18．A
【详解】
试题分析：根据题意可得：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积=，故选A．
考点：图形旋转的性质、扇形的面积．
19．D
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S阴影=S扇形OAB-S△OAB算出结果.
【详解】
解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB==，
故选D.
【点拨】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到∠AOB=90°.
20．A
【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∵S1＋S2＝7，
∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC−×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
21．A
【解析】
【分析】由题意知，得到的如图三角形是等边三角形，边长也为R，阴影的部分的面积等于等边三角形的面积减去三个弓形的面积．而一个弓形的面积等于圆心角为60度的半径为R的扇形的面积减去边长为R的等边三角形的面积．
【详解】
解：边长为R的等边三角形的面积SΔ=12×sin60°R2=34R2；
半径为R的扇形的面积S扇形=60πR2360=πR26；
∴一个弓形的面积S扇形=πR26−34R2，
∴阴影的部分的面积=34R2−3×πR26−34R2=3−12πR2．
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和面积的求法，及扇形，弓形的面积的求法．
22．A
【分析】连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】
连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，为的中点，
∴，是等边三角形，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解此题的关键．
23．D
【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】
解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB
= S扇形ABA′
=
=3π
故选D．
【点拨】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．
24．B
【解析】
【分析】连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD=60°，再求出∠CBD=60°，DB=BC=AD，从而确定S扇形BDC=S扇形ABD，然后求出阴影部分的面积=S扇形BDC-（S扇形ABD-S△ABD）=S△ABD，计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=DB=BC=4
又∵菱形的对边AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB=60°，
∴S扇形BDC=S扇形ABD
∴S阴影=S扇形BDC-（S扇形ABD-S△ABD）=S△ABD==4cm2．
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和面积，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
25．10π
【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故答案为：10π．
【点拨】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
26．2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
27．
【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
【详解】
∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．
【点拨】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
28．9
【分析】根据弧长公式L＝求解即可．
【详解】
∵L＝，
∴R＝＝9．
故答案为9．
【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．
29．27
【解析】
【分析】根据弧长公式即可得解.
【详解】
解：设扇形的半径为r（cm），
则18π=，
解得：r=27.
故答案为27.
【点拨】本题考查扇形的弧长公式，l=，l是弧长，n是圆心角的度数，r是半径.
30．2或10
【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得弧AP长，除以速度，即可求得时间．
【详解】
连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=6cm，
弧AP==2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π-2π=10π；
∴当t=2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2或10
【点拨】本题考查的是切线的性质及弧长公式，解答此题时要注意过圆外一点有两条直线与圆相切，不要漏解．
31．150
【分析】根据弧长公式计算．
【详解】
根据扇形的面积公式可得：
，
解得r=24cm，
再根据弧长公式，
解得.
故答案为：150.
【点拨】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式.
32．20°．
【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．
【详解】
解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，
再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．
故答案为：20°
【点拨】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
33．60
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【详解】
解：扇形的面积==6π，
解得：r=6，
又∵=2π，
∴n=60．
故答案为：60．
【点拨】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．
34．4π．
【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点拨】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
35． .
【详解】
试题分析：根据题意α最小值是60°，然后根据弧长公式即可求得．
∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，α最小值是60°，
∴点A运动的路径长=．
故答案为．
考点：轨迹；旋转对称图形.
36．60π．
【解析】
【分析】点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心
角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10
为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】
当OA第1次落在l上时：点O所经过的路线长为：
则当OA第5次落在l上时：点O所经过的路线长=12π×5=60π．
故答案是：60π．
【点拨】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相
应的几何量．
37．6
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
【详解】
解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，
解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
【点拨】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
38．40°．
【详解】
解：根据扇形的面积计算公式可得：=π，
解得：n=40°，
即圆心角的度数为40°．
考点：扇形的面积计算．
39．
【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形ABO和扇形DEO的面积之和，然后根据题目中的数据，可以求得AB、OA、DE的长，∠BAO和∠EDO的度数，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠EDO＝30°，
∵AC＝2，
∴OA＝OD＝1，
∴图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
40．
【分析】作AF⊥BC于F，解直角三角形分别求出AC、BC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】
作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，FC＝＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积
＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积
＝﹣
＝，
故答案为．
【点拨】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝是解题的关键．
41．
【解析】
【详解】
由题意得，S△AED=S△ABC，
由题图可得，阴影部分的面积= S△AED+S扇形ABD－S△ABC，
∴阴影部分的面积= S扇形ABD=.
故答案为.
42．
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵将绕点A逆时针旋转得，
∴S△ABC= S△ADE，
∴阴影部分的面积=扇形DAB的面积＋S△ADE －扇形EAC的面积－S△ABC
=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，根据旋转的性质推出：阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积是解题关键．
43．π－2
【解析】
【分析】先求出扇形面积，再求三角形面积，阴影面积=扇形面积-三角形面积.
【详解】由已知可得，S阴影=S扇形OAB-S△OAB=.
故答案为π－2
【点睛】本题考核知识点：扇形面积. 解题关键点:熟记扇形面积公式，用求差法得到阴影面积.
44．π﹣2
【分析】先根据圆周角定理证得∠BOC=90°，从而得出△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得．
【详解】
解：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=π×22-×2×2=π-2．
故答案为π﹣2
【点拨】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
45．
【解析】
【分析】连接OC,用扇形OBC的面积减去的面积即可.
【详解】
如图：连接OC,
点是以为直径的半圆的三等分点，
是等边三角形，
S扇形OBC
则阴影部分的面积为：.
故答案为
【点拨】考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
46．－1
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1，
故答案为π−1．
【点拨】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
47．
【分析】先根据已知条件证明四边形为菱形，再得到为等边三角形，求出AE的长，得到弓形的面积，再利用即可求解．
【详解】
解：连接连接交与点G．连接
∵点E是的中点即，．
∴又
∴为等边三角形
∴，即四边形为菱形，
∴从而
∵为直径
∴
又∵为切线
∴
∴又
∴为等边三角形．
∴，，
∴，即．
．
即
在RT△FDE中，即．
∴
∴．
故答案为．
【点拨】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据图形的特点求出弓形的面积是解题的关键．
48．
【分析】先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．
【详解】
在中，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．
49．（1）∠A＝20°；（2）π．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质计算，得到答案；
（2）根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）由圆周角定理得，∠AOP＝2∠C＝70°
∵PA切⊙O于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠A＝20°；
（2）∠BOC＝180°﹣∠AOP＝110°，
∴＝π．
【点拨】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
50．嘉琪的解法不正确，见解析
【分析】连接，，根据圆周角定理可得，进而得到是等边三角形，然后根据弧长计算公式可得答案．
【详解】
解：嘉琪的解法不正确，理由如下：
如图，连接，，
所对的圆周角为，
，
，
是等边三角形，
，
的长为：．
【点拨】此题主要考查了圆周角定理和弧长计算公式，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弧长公式中中是指圆心角的度数，而题干中给的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要先求出圆心角的度数，再代入公式计算．
51．
【分析】根据弧长公式计算即可.
【详解】
∵， ，
∴，
∴
【点拨】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握各字母的意义即可正确解答.
52．（1）详见解析；（2）π
【解析】
【分析】（1）连接BO、CO、并延长相同单位找到对应点，顺次连接即可．
（2）点C旋转过程所经过的路径是一段弧线，根据弧长公式即可计算．
【详解】
（1）旋转后的图形如图所示．
（2）如图，连接OC．
由题意可知，点C的旋转路径是以O为圆心，OC的长为半径的半圆．
∵OC，∴点C在旋转过程中经过的路径长为l．
【点拨】本题综合考查了旋转变换作图和弧长公式的计算方法．
53．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，即可得到答案；
（2）根据扇形面积公式进行计算，即可得到答案.
【详解】
证明：连接．
，
．
，
．
．即，
是的切线．
解：，
．
，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点拨】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式，解题的关键是掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式
54．（1）详见解析；（2）（﹣，3）；π．
【解析】
【分析】（1）根据旋转变换的定义作出点A，B，C旋转后的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据中点坐标公式得到△ABC外接圆的圆心的坐标，然后根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的圆心即为AB的中点，
∵A（﹣3，2），B（0，4），
∴△ABC外接圆的圆心的坐标是（，3）；
∵AB＝，
∴△ABC外接圆的半径＝，
∴△ABC外接圆的面积＝（）2π＝π平方单位长度，
故答案为（，3）；π．
【点拨】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．
55．（1）详见解析；（2）4．
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的性质可以得到OD∥BC，然后根据DE⊥BC即可得到OD⊥DE，从而判断DE是圆的切线；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据平行线的性质得出∠ADO的度数，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理得到∠AOD的度数和AD，OF的长度，然后利用扇形面积减去三角形面积即可求得阴影部分面积．
【详解】
解：（1）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C ＝30°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠A＝∠C，∠AOD＝120°，
∴AB＝BC＝4，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD＝2， OF＝，
∴AF＝ =3，
∴AD＝2AF=6，
∴S△AOD＝AD•OF＝×6×＝3，
∴阴影部分面积S＝﹣3＝．
【点拨】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理及扇形的面积公式，能够作出辅助线是解题的关键．
56．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【详解】
解：（1）连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，
∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，
∴OC=3，OE=6，
∴cos∠COE=，
∴∠COE=60°，
∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
专题24.24 弧长和扇形面积（专项练习1）
一、 单选题
知识点一、求弧长
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为( )
A．π B．π C．π D．π
2．如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
知识点二、求半径
4．一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A．6厘米 B．12厘米 C． 厘米 D．厘米
5．若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
6．已知一个扇形的弧长为，圆心角是，则它的半径长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
知识点三、求圆心角
7．已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．40° D．20°
8．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（ ）
A．90° B．120° C．180° D．135°
知识点四、求点的运动路径长
10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为( )
A．10π B．
C．π D．π
11．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
12．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
知识点五、求扇形面积
13．如图，AB为半圆的直径，其中，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．2π
15．如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
知识点六、求旋转扫过的面积
16．如图，C是半圆⊙O内一点，直径AB的长为4cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过的区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．π B．π C．4π D．+π
17．在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1（如图所示），则线段AB所扫过的面积为（ ）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．5πcm2
18．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
知识点七、求弓形的面积
19．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
21．如图，某商标是由三个半径都为R的圆弧两两外切得到的图形，则三个切点间的弧所围成的阴影部分的面积是（ ）
A． （3﹣12π）R2 B．（3+12π）R2 C．（32﹣π）R2 D．（32+π）R2
知识点八、求不规则图形面积
22．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
24．如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．4cm2 D．πcm2
二、 填空题
知识点一、求弧长
25．如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．
26．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm．
27．如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．
知识点二、求半径
28．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．
29．若扇形的圆心角为120°，弧长为18πcm，则该扇形的半径为_____cm．
30．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为______时，BP与⊙O相切．
知识点三、求圆心角
31．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度．
32．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．
33． 若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是__________度．
知识点四、求点的运动路径长
34．如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留）
35．将边长为2的正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，当α最小时，点A运动的路径长为_____．
36．如图，在扇形铁皮AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA第5次落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为_____．
知识点五、求扇形面积
37．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．
38．一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为______．
39．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
知识点六、求旋转扫过的面积
40．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为_____．
41．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为________．
42．如图，将绕点A逆时针旋转得，已知，，那么图中阴影部分的面积是________．（结果保留）
知识点七、求弓形的面积
43．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为________．
44．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为_____．
45．如图，点是以为直径的半圆的三等分点， ，则图中阴影部分的面积是 _______．
知识点八、求不规则图形面积
46．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
47．如图，是的直径，点E是的中点，过点E的切 线分别交的延长线于点若，的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_______．
48．如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______．
三、 解答题
知识点一、求弧长
49．如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC．已知⊙O的半径为2，∠C＝35°
（1） 求∠A的度数；（2）求的长．
知识点二、求半径
50．在⊙O中，弦所对的圆周角为30°，且，求的长．
嘉琪的解法如下：∵弦所对的圆周角是30°，
的长为．
请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
知识点三、求圆心角
51． 若一条圆弧所在圆半径为9，弧长为，求这条弧所对的圆心角．
知识点四、求点的运动路径长
52．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：
(1)画出四边形ABCD旋转后的图形；
(2)求点C在旋转过程中经过的路径长．
知识点五、求扇形面积
53．如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且AC=CD,．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
知识点六、求旋转扫过的面积
54．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）图中△ABC外接圆的圆心的坐标是 ，△ABC外接圆的面积是 平方单位长度．
知识点七、求弓形的面积
55．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
知识点八、求不规则图形面积
56．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．C
【解析】
试题解析：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴的长l=.
故选C.
2．B
【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式计算即可．
【详解】
连接，
，
为等边三角形，
，
，
则的长，
故选．
【点拨】本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：是解题的关键．
3．D
【分析】连接OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题.
【详解】
连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠D＝＝108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧AC的长为．
故选D．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、圆弧长公式等知识，求出圆弧所对应的圆心角是解决本题的关键．
4．A
【解析】
l=，
由题意得，2π=，
解得：R=6cm．
故选A．
故选A．
【点睛】运用了弧长的计算公式，属于基础题，熟练掌握弧长的计算公式是关键．
5．B
【分析】根据弧长公式可以求得该扇形的半径的长度．
【详解】
解：根据弧长的公式，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
【点拨】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．
6．A
【分析】设扇形半径为rcm，根据扇形弧长公式列方程计算即可.
【详解】
设扇形半径为rcm，
则=5π，解得r=6cm.
故选A.
【点拨】本题主要考查扇形弧长公式.
7．B
【解析】
【详解】
解：根据l==π，
解得：n=60°，
故选B．
【点拨】本题考查弧长公式，在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l=.
8．C
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展开图扇形的弧长＝2π•10，然后根据扇形的弧长公式l＝ 计算即可求出n．
【详解】
解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为．
∵圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π，
∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π，
∴20π＝，
∴n＝120°．
故答案选：C．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长等于扇形的半径．也考查了扇形的弧长公式．
9．C
【分析】根据弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．
【详解】
解：由题意得，2π＝，
解得：n＝180．
即这条弧所对的圆心角的度数是180°．
故选C．
【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．
10．C
【详解】
如图所示：
在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：AC=，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=．
故选C.
11．A
【分析】B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π．
【详解】
解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
12．C
【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：BD=4，
∴OD=2
∴点D所转过的路径长==2π．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了弧长公式：．
13．B
【分析】由旋转的性质可得：，从而可得，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
，．
，
．
故选B．
【点拨】本题考查的是旋转的性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
14．B
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【详解】
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是：，
故选B．
【点拨】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．C
【分析】连接OC，如图，利用等边三角形的性质得，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】
解：连接OC，如图，
为等边三角形，
，，
图中阴影部分的面积
故选C．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形的性质．
16．B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式：计算即可．
【详解】
解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=1，BC=，
则边BC扫过的区域的面积为：
=πcm2．
故答案为B．
【点拨】本题主要考查扇形面积公式，三角形的性质．正确计算扇形面积是解题的关键．
17．B
【解析】
【分析】首先求出AB，然后根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
解：AB=，
∴线段AB所扫过的面积为：，
故选：B.
【点拨】本题主要考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键.
18．A
【详解】
试题分析：根据题意可得：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积=，故选A．
考点：图形旋转的性质、扇形的面积．
19．D
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S阴影=S扇形OAB-S△OAB算出结果.
【详解】
解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB==，
故选D.
【点拨】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到∠AOB=90°.
20．A
【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∵S1＋S2＝7，
∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC−×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
21．A
【解析】
【分析】由题意知，得到的如图三角形是等边三角形，边长也为R，阴影的部分的面积等于等边三角形的面积减去三个弓形的面积．而一个弓形的面积等于圆心角为60度的半径为R的扇形的面积减去边长为R的等边三角形的面积．
【详解】
解：边长为R的等边三角形的面积SΔ=12×sin60°R2=34R2；
半径为R的扇形的面积S扇形=60πR2360=πR26；
∴一个弓形的面积S扇形=πR26−34R2，
∴阴影的部分的面积=34R2−3×πR26−34R2=3−12πR2．
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和面积的求法，及扇形，弓形的面积的求法．
22．A
【分析】连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
【详解】
连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，为的中点，
∴，是等边三角形，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解此题的关键．
23．D
【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】
解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB
= S扇形ABA′
=
=3π
故选D．
【点拨】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．
24．B
【解析】
【分析】连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD=60°，再求出∠CBD=60°，DB=BC=AD，从而确定S扇形BDC=S扇形ABD，然后求出阴影部分的面积=S扇形BDC-（S扇形ABD-S△ABD）=S△ABD，计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=DB=BC=4
又∵菱形的对边AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB=60°，
∴S扇形BDC=S扇形ABD
∴S阴影=S扇形BDC-（S扇形ABD-S△ABD）=S△ABD==4cm2．
故选B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和面积，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
25．10π
【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】
解：连接OD，OC．
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝（cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝（cm），
∴OB＝BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），
故答案为：10π．
【点拨】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
26．2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
27．
【分析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
【详解】
∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．
【点拨】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
28．9
【分析】根据弧长公式L＝求解即可．
【详解】
∵L＝，
∴R＝＝9．
故答案为9．
【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．
29．27
【解析】
【分析】根据弧长公式即可得解.
【详解】
解：设扇形的半径为r（cm），
则18π=，
解得：r=27.
故答案为27.
【点拨】本题考查扇形的弧长公式，l=，l是弧长，n是圆心角的度数，r是半径.
30．2或10
【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得弧AP长，除以速度，即可求得时间．
【详解】
连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=6cm，
弧AP==2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π-2π=10π；
∴当t=2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2或10
【点拨】本题考查的是切线的性质及弧长公式，解答此题时要注意过圆外一点有两条直线与圆相切，不要漏解．
31．150
【分析】根据弧长公式计算．
【详解】
根据扇形的面积公式可得：
，
解得r=24cm，
再根据弧长公式，
解得.
故答案为：150.
【点拨】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式.
32．20°．
【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．
【详解】
解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，
再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．
故答案为：20°
【点拨】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
33．60
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【详解】
解：扇形的面积==6π，
解得：r=6，
又∵=2π，
∴n=60．
故答案为：60．
【点拨】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．
34．4π．
【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点拨】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
35． .
【详解】
试题分析：根据题意α最小值是60°，然后根据弧长公式即可求得．
∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转α度与原图形重合，α最小值是60°，
∴点A运动的路径长=．
故答案为．
考点：轨迹；旋转对称图形.
36．60π．
【解析】
【分析】点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心
角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10
为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】
当OA第1次落在l上时：点O所经过的路线长为：
则当OA第5次落在l上时：点O所经过的路线长=12π×5=60π．
故答案是：60π．
【点拨】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相
应的几何量．
37．6
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．
【详解】
解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，
解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
【点拨】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
38．40°．
【详解】
解：根据扇形的面积计算公式可得：=π，
解得：n=40°，
即圆心角的度数为40°．
考点：扇形的面积计算．
39．
【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形ABO和扇形DEO的面积之和，然后根据题目中的数据，可以求得AB、OA、DE的长，∠BAO和∠EDO的度数，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠EDO＝30°，
∵AC＝2，
∴OA＝OD＝1，
∴图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
40．
【分析】作AF⊥BC于F，解直角三角形分别求出AC、BC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】
作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，FC＝＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积
＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积
＝﹣
＝，
故答案为．
【点拨】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝是解题的关键．
41．
【解析】
【详解】
由题意得，S△AED=S△ABC，
由题图可得，阴影部分的面积= S△AED+S扇形ABD－S△ABC，
∴阴影部分的面积= S扇形ABD=.
故答案为.
42．
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：∵将绕点A逆时针旋转得，
∴S△ABC= S△ADE，
∴阴影部分的面积=扇形DAB的面积＋S△ADE －扇形EAC的面积－S△ABC
=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，根据旋转的性质推出：阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积是解题关键．
43．π－2
【解析】
【分析】先求出扇形面积，再求三角形面积，阴影面积=扇形面积-三角形面积.
【详解】由已知可得，S阴影=S扇形OAB-S△OAB=.
故答案为π－2
【点睛】本题考核知识点：扇形面积. 解题关键点:熟记扇形面积公式，用求差法得到阴影面积.
44．π﹣2
【分析】先根据圆周角定理证得∠BOC=90°，从而得出△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得．
【详解】
解：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=π×22-×2×2=π-2．
故答案为π﹣2
【点拨】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
45．
【解析】
【分析】连接OC,用扇形OBC的面积减去的面积即可.
【详解】
如图：连接OC,
点是以为直径的半圆的三等分点，
是等边三角形，
S扇形OBC
则阴影部分的面积为：.
故答案为
【点拨】考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
46．－1
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1，
故答案为π−1．
【点拨】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
47．
【分析】先根据已知条件证明四边形为菱形，再得到为等边三角形，求出AE的长，得到弓形的面积，再利用即可求解．
【详解】
解：连接连接交与点G．连接
∵点E是的中点即，．
∴又
∴为等边三角形
∴，即四边形为菱形，
∴从而
∵为直径
∴
又∵为切线
∴
∴又
∴为等边三角形．
∴，，
∴，即．
．
即
在RT△FDE中，即．
∴
∴．
故答案为．
【点拨】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据图形的特点求出弓形的面积是解题的关键．
48．
【分析】先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可．
【详解】
在中，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键．
49．（1）∠A＝20°；（2）π．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质计算，得到答案；
（2）根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）由圆周角定理得，∠AOP＝2∠C＝70°
∵PA切⊙O于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠A＝20°；
（2）∠BOC＝180°﹣∠AOP＝110°，
∴＝π．
【点拨】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
50．嘉琪的解法不正确，见解析
【分析】连接，，根据圆周角定理可得，进而得到是等边三角形，然后根据弧长计算公式可得答案．
【详解】
解：嘉琪的解法不正确，理由如下：
如图，连接，，
所对的圆周角为，
，
，
是等边三角形，
，
的长为：．
【点拨】此题主要考查了圆周角定理和弧长计算公式，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弧长公式中中是指圆心角的度数，而题干中给的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要先求出圆心角的度数，再代入公式计算．
51．
【分析】根据弧长公式计算即可.
【详解】
∵， ，
∴，
∴
【点拨】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握各字母的意义即可正确解答.
52．（1）详见解析；（2）π
【解析】
【分析】（1）连接BO、CO、并延长相同单位找到对应点，顺次连接即可．
（2）点C旋转过程所经过的路径是一段弧线，根据弧长公式即可计算．
【详解】
（1）旋转后的图形如图所示．
（2）如图，连接OC．
由题意可知，点C的旋转路径是以O为圆心，OC的长为半径的半圆．
∵OC，∴点C在旋转过程中经过的路径长为l．
【点拨】本题综合考查了旋转变换作图和弧长公式的计算方法．
53．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，即可得到答案；
（2）根据扇形面积公式进行计算，即可得到答案.
【详解】
证明：连接．
，
．
，
．
．即，
是的切线．
解：，
．
，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点拨】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式，解题的关键是掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式
54．（1）详见解析；（2）（﹣，3）；π．
【解析】
【分析】（1）根据旋转变换的定义作出点A，B，C旋转后的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据中点坐标公式得到△ABC外接圆的圆心的坐标，然后根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的圆心即为AB的中点，
∵A（﹣3，2），B（0，4），
∴△ABC外接圆的圆心的坐标是（，3）；
∵AB＝，
∴△ABC外接圆的半径＝，
∴△ABC外接圆的面积＝（）2π＝π平方单位长度，
故答案为（，3）；π．
【点拨】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．
55．（1）详见解析；（2）4．
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的性质可以得到OD∥BC，然后根据DE⊥BC即可得到OD⊥DE，从而判断DE是圆的切线；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据平行线的性质得出∠ADO的度数，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理得到∠AOD的度数和AD，OF的长度，然后利用扇形面积减去三角形面积即可求得阴影部分面积．
【详解】
解：（1）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C ＝30°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠A＝∠C，∠AOD＝120°，
∴AB＝BC＝4，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD＝2， OF＝，
∴AF＝ =3，
∴AD＝2AF=6，
∴S△AOD＝AD•OF＝×6×＝3，
∴阴影部分面积S＝﹣3＝．
【点拨】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理及扇形的面积公式，能够作出辅助线是解题的关键．
56．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【详解】
解：（1）连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，
∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，
∴OC=3，OE=6，
∴cos∠COE=，
∴∠COE=60°，
∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
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