专题21.12 一元二次方程根与系数关系（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.12  一元二次方程根与系数关系（专项练习）

一、单选题

1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（    ）

A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3

2．已知是方程的两根，则的值为（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

3．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（    ）

A．1 B． C． D．

4．如果、是方程的两个根，那么等于（    ）

A．5 B． C．4 D．

5．已知m，n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不同的实数根，则m+n的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5

6．若一元二次方程x2﹣8x＋3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．若，是一元二次方程的两根，则的值是（    ）

A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5

8．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（    ）

A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10

9．若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　）

A． B． C．2 D．3

10．已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).

A．1 B．2 C．－2 D．－1

11．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）

A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0

12．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（  ）

A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2

13．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(   )

A． B． C． D．

二、填空题

14．设，是一元二次方程的两根，则_______．

15．方程的两根为、则的值为______．

16．已知关于x的一元二次方程的两个根是1和，则mn的值是______．

17．关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．

18．已知方程的一根为，则方程的另一根为_______．

19．对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=　   　．

20．设、是方程的两个根，则________．

21．若方程的两根，则的值为__________．

22．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是___．

23．一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .

24．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.

三、解答题

25．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．

26．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．

27．已知关于x的一元二次方程

（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；

（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.

28．已知 关于x的一元二次方程．

求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．

29．关于x的方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于﹣1？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

参考答案

1．D

【分析】

首先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后求解即可．

【详解】

由根与系数的关系可知，，

∵一个根为-2，

∴另一根为，

故选：D．

【点拨】

本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．

2．A

【分析】

利用 ，，解答即可.

【详解】

解：.∵是方程的两根，
∴，=7，
∴
∴
=2+7- +

 =

=2+7

=9.

【点拨】

本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.

3．D

【分析】

根据根与系数的关系：求得即可．

【详解】

解：设方程的另一个根为，则根据题意，得2=-3，
解得，

故选：D．

【点拨】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．

4．C

【分析】

直接利用根与系数的关系求解即可求得答案．

【详解】

解：∵x1，x2是方程的两个根，

，，，

∴．

故选：C．

【点拨】

本题考查了根与系数的关系．注意是方程()的两根时，，．

5．B

【分析】

根据根与系数的关系即可得到．

【详解】

解：m，n是方程的两个实数根，

∴，

故选：．

【点拨】

本题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．

6．B

【分析】

根据根与系数的关系可得出a+b=8、ab=3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=abx-a-b的图象经过的象限，此题得解．

【详解】

解：∵方程x2-8x+3=0的两个实数根分别是a、b，

∴a+b=8、ab=3，

则一次函数的解析式为y=3x-8，

∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故选：B．

【点拨】

本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．

7．B

【分析】

直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．

【详解】

解：∵，是一元二次方程的两根，

∴；．

则．

故选：B．

【点拨】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，．

8．C

【详解】

解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．

∵，即，

∴，解得：a=﹣4．

故选C．

9．B

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简，代入即可求解；

【详解】

解：，是关于的一元二次方程的两实根，

∴，，

∵，

∴；

故选B.

【点拨】

本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

10．C

【详解】

∵x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，

∴x1x2= =-2，

∴1×x2=-2，

则方程的另一个根是：-2，

故选C．

11．A

【解析】

分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；

B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；

C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；

D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．

综上即可得出结论．

详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，

∴x1≠x2，结论A正确；

B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1+x2=a，

∵a的值不确定，

∴B结论不一定正确；

C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，

∴x1•x2=﹣2，结论C错误；

D、∵x1•x2=﹣2，

∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．

故选A．

点拨：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

12．D

【分析】

将化简可得，，

利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，

可得k＝2符合题意.

【详解】

解：由韦达定理，得：

＝k－1，,

由，得：

，

即，

所以，,

化简，得：，

解得：k＝±2，

因为关于x的一元二次方程有两个实数根，

所以，△＝＝〉0，

k＝－2不符合，

所以，k＝2

故选D.

【点拨】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

13．D

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.

【详解】

x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，

这里a=1，b=-2，c=0，

b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，

所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；

，故B选项正确，不符合题意；

，故C选项正确，不符合题意；

，故D选项错误，符合题意，

故选D.

【点拨】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

14．0

【解析】

【分析】

直接根据根与系数的关系求解．

【详解】

解：、是方程的两根，

，，

．

故答案为：0．

【点拨】

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．

15．-3

【分析】

直接根据韦达定理x1·x2=可得．

【详解】

解：∵方程的两根为x1、x2，

∴x1·x2==-3，

故答案为：-3．

【点拨】

本题主要考查韦达定理，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2=−，x1·x2=．

16．

【分析】

根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】

解：由根与系数的关系可知：，，

，

故答案为

【点拨】

考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

17．．

【详解】

试题分析：设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系得到1•m=，解得m=．

考点：根与系数的关系．

18．

【分析】

设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．

【详解】

解：设方程的另一个根为c，

∵，

∴．

故答案为．

【点拨】

本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．

19．3或2

【详解】

试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，

∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2．

①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；

②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣22=2．

20．

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和.

【详解】

如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以．

【点拨】

本题考查一元二次方程根与系数的关系.

21．5

【分析】

根据根与系数的关系求出，代入即可求解．

【详解】

∵是方程的两根

∴=-=4，==1

∴===4+1=5，

故答案为：5．

【点拨】

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知=-，=的运用．

22．k≤4

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，

∴△=16﹣4k≥0，解得：k≤4.

23．2

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.

【详解】由题意得：+2=0，=2，

∴=-2，=4，

∴=-2+4=2，

故答案为2.

【点拨】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.

24．5

【详解】

试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，

∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5

考点：根与系数的关系

25．（1）k＜；（2）k＝0

【分析】

（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．

【详解】

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2

∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0

∴k＜ ；

（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k  ，x1•x2＝k2

∵x1+x2+x1x2﹣1＝0

∴1﹣2k+k2﹣1＝0

∴k＝0或2

∵由（1）得，k＜

∴k＝2舍去

∴k＝0．

【点拨】

本题考查解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系等知识点，熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解题的关键．

26．（1）见解析；（2）a=，x1=﹣

【分析】

（1）根据根的判别式即可求解；

（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．

【详解】

解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0

得1+a+a﹣2=0，

解得a=；

∴方程为x2+x﹣=0，

即2x2+x﹣3=0，

设另一根为x1，则1×x1==﹣，

∴另一根x1=﹣．

【点拨】

此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．

27．（1）；（2）；（3）m无解..

【分析】

(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；

(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；

(3)由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=m-1，将变形后代入，即可求出答案.

【详解】

解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根

∴，即

解得.

（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：

，，

∵方程的两根都是正数

∴，即

∴

又∵

∴m的取值范围为

（3）∵

∴

即，

将，代入可得：

，

解得.

而，所以m=4不符合题意，故m无解.

【点拨】

本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.

28．（1）答案见解析；（2） ．

【分析】

（1）应用根的判别式直接判断就可以.

（2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k.

【详解】

（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3

所以，

∵∴即

∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根.

（2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根

∴根据韦达定理可知

∴，解得.

考点：根的判别式，根与系数的关系.

29．（1）m＞﹣且m≠﹣；（2）不存在．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式以及二次项系数不为0，即可得出关

于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；

（2）利用根与系数的关系即可求解.

【详解】

（1）∵方程有2个不相等的实数根，

∴△＞0，即16m2﹣4×（2m＋1）（2m﹣3）＞0，

解得：m＞，

又2m＋1≠0，

∴m≠，

∴m＞且 m≠；

（2）∵x1＋x2＝、x1x2＝，

∴＝，

由＝﹣1可得＝﹣1，

解得：m＝，

∵，

∴不存在．

【点拨】本题考查了根的判别式，解题关键是根据方程解的个数结合二次项系数不为0得出关于m的一元一次不等式组．