2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学九年级（上）期末数学试卷

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2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项.
1．（4分）已知，则下列比例式成立的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）下列方程是关于的一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
3．（4分）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是　　

A． B． C． D．
4．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是　　

A． B． C． D．
5．（4分）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为　　

A． B．
C． D．
6．（4分）下列函数关系中，成反比例函数的是　　
A．矩形的面积一定时，长与宽的函数关系
B．矩形的长一定时，面积与宽的函数关系
C．正方形的面积与边长的函数关系
D．正方形的周长与边长的函数关系
7．（4分）一元二次方程配方后化为　　
A． B． C． D．
8．（4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　

A． B． C． D．
9．（4分）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为　　

A．2 B．3 C． D．
10．（4分）已知反比例函数，下列结论：①图象必经过；②图象在二，四象限内；③随的增大而增大；④当时，则．其中错误的结论有　　个．
A．3 B．2 C．1 D．0
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于， 两点．的面积为10．若动点在轴上，则的最小值是　　

A． B．10 C． D．
12．（4分）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．下列结论：
①；
②当点运动到的中点处时，；
③在运动过程中，是一个定值；
④当为等腰三角形时，点的坐标为，．
其中正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（4分）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　．
14．（4分）下表是自18世纪以来一些统计学家进行抛硬币试验所得的数据：
试验者
试验次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
布丰
4040
2048
0.5069
德摩根
4092
2048
0.5005
费勤
10000
4979
0.4979
那么估计抛硬币正面朝上的概率的估计值是　 　．
15．（4分）如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 　　．

16．（4分）如图，点在双曲线上，过点作轴于点，点在线段上且，双曲线经过点，则　　．

三、解答题：本大题共12小题，共86分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：．
18．（5分）用配方法解方程：．
19．（5分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深．

20．（6分）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：
，，，（第一步）
（第二步）
（第三步）
，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　　步开始出错的，其错误原因是　　．
（2）写出此题正确的解答过程．
21．（7分）如图，中，是边上的高，且．
（1）求证：；
（2）求的大小．

22．（7分）兰州国际马拉松被国际田联授予国际金标赛事，这大幅提升了兰州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，

23．（8分）如图，是菱形的对角线，点、分别在边、上，且．
求证：．

24．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：，，（分别用、、表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　　；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
25．（8分）如图，在中，，分别是斜边上的高，中线，，．
（1）若，，求的长；
（2）直接写出：　　（用含，的代数式表示）；
（3）若，，求的值．

26．（8分）位于兰州市东南45公里处的兴隆山景区被国务院定为国家级自然保护区，国家法定节假日期间，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元人．
（1）若某单位组织22名员工去兴隆山景区旅游，购买门票共需费用多少元？
（2）若某单位共支付兴隆山景区门票费用共计1500元，试求该单位这次共有多少名员工去兴隆山景区旅游？
27．（9分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，点，点是线段的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当取什么值时，．

28．（10分）在四边形中，对角线、相交于点，过点的两条直线分别交边、、、于点、、、．
【感知】如图①，若四边形是正方形，且，则　　；
【拓展】如图②，若四边形是矩形，且，设，，，求的长（用含、、的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形是平行四边形，且，，，试确定、、的位置，使直线、把四边形的面积四等分．


2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项.
1．（4分）已知，则下列比例式成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、，可以化成：，故此选项不合题意；
、，可以化成：，故此选项符合题意；
、，可以化成：，故此选项不合题意；
、，可以化成：，故此选项不合题意．
故选：．
2．（4分）下列方程是关于的一元二次方程的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
、不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
、是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
、不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
3．（4分）如图，这是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是　　

A． B． C． D．
【解答】解：从左面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形．
故选：．
4．（4分）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
当或时，；
当时，．
故选：．
5．（4分）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选：．
6．（4分）下列函数关系中，成反比例函数的是　　
A．矩形的面积一定时，长与宽的函数关系
B．矩形的长一定时，面积与宽的函数关系
C．正方形的面积与边长的函数关系
D．正方形的周长与边长的函数关系
【解答】解：、，故是反比例函数；
、，故是正比例函数；
、，故是二次函数；
、，故是正比例函数．
故选：．
7．（4分）一元二次方程配方后化为　　
A． B． C． D．
【解答】解：方程整理得：，
配方得：，即，
故选：．
8．（4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过作于，则，
．
．
故选：．

9．（4分）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为　　

A．2 B．3 C． D．
【解答】解：四边形菱形，
，，
，
是正三角形，
，
，
．
故选：．

10．（4分）已知反比例函数，下列结论：①图象必经过；②图象在二，四象限内；③随的增大而增大；④当时，则．其中错误的结论有　　个．
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：①当时，，即图象必经过点，正确；
②，图象在第二、四象限内，正确；
③，每一象限内，随的增大而增大，错误；
④，每一象限内，随的增大而增大，若，，时，，故④错误，
故选：．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于， 两点．的面积为10．若动点在轴上，则的最小值是　　

A． B．10 C． D．
【解答】解：正方形的边长是6，
点的横坐标和点的纵坐标为6，
，，，
，，
的面积为10，
，
或（舍去），
，，
作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，
，
，，
，
故选：．

12．（4分）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，点在轴上，点在轴上，是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点作，交轴于点．下列结论：
①；
②当点运动到的中点处时，；
③在运动过程中，是一个定值；
④当为等腰三角形时，点的坐标为，．
其中正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①四边形是矩形，，，
；故①正确；
②点为的中点，
，
，故②正确；
③如图，过点作于，的延长线交于，
，四边形是矩形，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④，，四边形是矩形，
，，
，
，
当为等腰三角形时，
Ⅰ、，
，
，
，
，
Ⅱ、当在轴的正半轴上时，，
，
，
，故不合题意舍去；
当在轴的负半轴上时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
Ⅲ、，
，
故不合题意舍去，
当为等腰三角形时，点的坐标为，或，．故④错误，
故选：．


二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（4分）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　．
【解答】解：由关于的方程有两个不相等的实数根
得△，
解得
则且
故答案为且
14．（4分）下表是自18世纪以来一些统计学家进行抛硬币试验所得的数据：
试验者
试验次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
布丰
4040
2048
0.5069
德摩根
4092
2048
0.5005
费勤
10000
4979
0.4979
那么估计抛硬币正面朝上的概率的估计值是　0.5　．
【解答】解：由表格中的数据得知，抛硬币正面朝上的概率的估计值是0.5．
故本题答案为：0.5．
15．（4分）如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 　3　．

【解答】解：如图，，
，，
，，
即，，
解得：．
答：路灯的高为．

16．（4分）如图，点在双曲线上，过点作轴于点，点在线段上且，双曲线经过点，则　2　．

【解答】解：连接，
点在双曲线上，过点作轴于点，
，
，
，
双曲线经过点，
，
，
双曲线在第一象限，
，
故答案为2．

三、解答题：本大题共12小题，共86分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式

．
故答案为：6．
18．（5分）用配方法解方程：．
【解答】解：原方程可化为，
，
配方得，
，
解得，．
19．（5分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深．

【解答】解：依题意可得：，
，
即，
解得：，
尺．
所以井深为5尺．
20．（6分）小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：
，，，（第一步）
（第二步）
（第三步）
，（第四步）
（1）小明解答过程是从第　一　步开始出错的，其错误原因是　　．
（2）写出此题正确的解答过程．
【解答】解：（1）原方程化为：，
，，，
故答案为：一，，，
（2），，，
．
，
，．
21．（7分）如图，中，是边上的高，且．
（1）求证：；
（2）求的大小．

【解答】（1）证明：是边上的高，
，
．
；
（2）解：，
，
在中，，
，
，
即．
22．（7分）兰州国际马拉松被国际田联授予国际金标赛事，这大幅提升了兰州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，

【解答】解：作于，
则四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
答：起点拱门的高度约为6米．

23．（8分）如图，是菱形的对角线，点、分别在边、上，且．
求证：．

【解答】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
．
24．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：，，（分别用、、表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　　；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
【解答】解：（1）个项目中田赛项目有2个，
该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；
故答案为：；

（2）画树状图得：

共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，
恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：．
25．（8分）如图，在中，，分别是斜边上的高，中线，，．
（1）若，，求的长；
（2）直接写出：　　（用含，的代数式表示）；
（3）若，，求的值．

【解答】解：（1）在中，，，，
，．
，是斜边上的高，中线，
，．
在中，．
．

（2）在中，，，，
．
，
，
故答案为：．

（3）在中，，
，
又，
，即．
，
，即．
由求根公式得（负值舍去），
即所求的值是．
26．（8分）位于兰州市东南45公里处的兴隆山景区被国务院定为国家级自然保护区，国家法定节假日期间，为吸引游客组团来此旅游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元人．
（1）若某单位组织22名员工去兴隆山景区旅游，购买门票共需费用多少元？
（2）若某单位共支付兴隆山景区门票费用共计1500元，试求该单位这次共有多少名员工去兴隆山景区旅游？
【解答】解：（1）（元人），
（元．
答：购买门票共需费用1452元．
（2）设该单位这次共有名员工去七峰山生态旅游区旅游，
（人，，
．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该单位这次共有25名员工去兴隆山景区旅游．
27．（9分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，点，点是线段的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当取什么值时，．

【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
；
如图，作轴于，
，点是线段的中点，
，
、在的图象上，
，
解得，，
一次函数的解析式为；

（2）由，
解得或，
，
；

（3）由图可得，当或时，．

28．（10分）在四边形中，对角线、相交于点，过点的两条直线分别交边、、、于点、、、．
【感知】如图①，若四边形是正方形，且，则　　；
【拓展】如图②，若四边形是矩形，且，设，，，求的长（用含、、的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形是平行四边形，且，，，试确定、、的位置，使直线、把四边形的面积四等分．

【解答】解：【感知】如图①，
四边形是正方形，
，，
在与中，，
，
；
故答案为：；
【拓展】如图②，过作于，于，
，，
，
，，
，
，，
，
；
【探究】如图③，过作，，
则，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
当，时，直线、把四边形的面积四等分．

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日期：2021/12/9 15:13:57；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125