2021年河北省保定市中考数学模拟试卷

这是一份2021年河北省保定市中考数学模拟试卷，共1页。

A．B．C．D．3.1415
2．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DED．DF＝5
3．（3分）以下计算正确的是（ ）
A．（）0×3＝0B．x5+x5＝x10C．x8÷x2＝x4D．（﹣a3）2＝a6
4．（3分）在一条南北方向的跑道上，张强先向北走了10米，此时他的位置记作+10米．又向南走了13米，此时他的位置在（ ）
A．+23米处B．+13米处C．﹣3米处D．﹣23米处
5．（3分）观察如图图形中的变化规律，第2020个图形（ ）
A．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．是轴对称图形但不是中心对称图形
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
6．（3分）下列计算中，结果最小的是（ ）
A．﹣1+B．﹣1﹣C．﹣1×D．﹣1÷
7．（3分）要了解一所中学七年级学生的每周课外阅读情况，以下方法中比较合理的是（ ）
A．调查七年级全体学生的每周课外阅读情况
B．调查其中一个班的学生每周课外阅读情况
C．调查七年级全体男生的每周课外阅读情况
D．调查七年级每班学号为3的倍数的学生的每周课外阅读情况
8．（3分）如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠围绕成正方体后，与数字6重合的数字是（ ）
A．7，8B．7，9C．7，2D．7，4
9．（3分）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
10．（3分）如图，射线OA表示的方向是（ ）
A．北偏东65°B．北偏西35°C．南偏东65°D．南偏西35°
11．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BD＝2DE；⑤BC＝4AD，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．（2分）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x＝yB．3x＝2yC．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2
13．（2分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．8.9×106B．8.9×105C．8.9×107D．8.9×108
14．（2分）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
15．（2分）如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是（ ）
A．2﹣B．C．D．
16．（2分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①③
二．填空题（共3小题，满分11分）
17．（3分）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
18．（4分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．
（Ⅰ）AB的长等于 ；
（Ⅱ）M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN．当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
19．（4分）对于一个运算a※b＝，已知|a|＝3，b＝2，那么a※b＝ ．
三．解答题（共7小题，满分67分）
20．（8分）计算：．
21．（9分）已知多项式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）．
（1）当x＝1，y＝2，求M的值；
（2）若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．
22．（9分）为迎接建党一百周年，甲、乙两名同学进行了六次党史知识测试，部分成绩如图所示，已知甲、乙两名同学六次成绩的平均数相等．
（1）计算甲同学成绩的平均数，并补充完整乙同学成绩的折线统计图；
（2）若乙同学成绩的方差为S乙2＝33.3，请计算甲同学成绩的方差，并比较哪个同学的成绩较稳定；
（3）甲同学成绩的中位数和众数分别记作a，b，乙同学成绩的众数记作c，在数a，b，c中随机抽取两个数，求抽到的两个数恰好相等的概率．
23．（9分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，过点D作⊙O的切线DF，与BC的延长线交于点E，F为切点，⊙O的半径为，∠ABD＝30°．
（1）求的长．
（2）若DE∥AB，连接AE．
①求证：四边形ABDE为菱形．
②求DF的长．
24．（10分）2020年8月底，天府新区根据鹿溪河全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工，已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米．
（1）写出w与x的函数表达式；
（2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？
25．（10分）【了解概念】
定义：在平面直角坐标系xOy中，组成图形的各点中，与点P连线段最短的点叫做点P于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点P这个图形的短距．
【理解运用】
（1）已知点P（﹣3，0），以原点为圆心，1半径作⊙O，则点P于⊙O的短距点的坐标是 ；
（2）如图，点P（3，），等边三角形OAB的顶点A的坐标为（6，0），顶点B在第一象限，判断点P于△OAB的短距点的个数，并说明理由；
【拓展提升】
（3）已知P（p，﹣p+6），A（6，0），B（0，6），点C在第一象限内，且∠CBO＝75°，∠ACB＝90°，若点P到四边形OACB的短距大于2，请直接写出p的取值范围．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．解：A、是无理数，故此选项正确；
B、＝2是整数，是有理数，故此选项错误；
C、是分数，是有理数，故此选项错误；
D、3.1415是有限小数，是有理数，故此选项错误．
故选：A．
2．解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
3．解：A．（）0×3＝3，故本选项不合题意；
B．x5+x5＝2x5，故本选项不合题意；
C．x8÷x2＝x6，故本选项不合题意；
D．（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
4．解：+10﹣13＝﹣3米，
故选：C．
5．解：观察图形知，每4个图形为1个循环．
∵2020÷4＝505，
∴第2020个图形如图：
它是中心对称图形但不是轴对称图形；
故选：B．
6．解：A．﹣1+＝﹣．
B．﹣1﹣＝﹣．
C．﹣1×＝﹣．
D．﹣1＝﹣1×3＝﹣3．
﹣3＜﹣＜﹣＜﹣．
故选：D．
7．解：要了解一所中学七年级学生的每周课外阅读情况，抽取的样本一定要具有代表性，
故调查七年级每班学号为3的倍数的学生的每周课外阅读情况，
故选：D．
8．解：根据“间二，拐角邻面知”可得与A面相邻的面为B面、C面、D面、E面，
折叠后与数字6重合的数字为7，2，
故选：C．
9．解：原式＝•
＝•
＝a﹣b，
当a﹣b＝2时，原式＝2．
故选：A．
10．解：射线OA表示的方向是南偏东65°，
故选：C．
11．解：∵BE平分∠ABC交AC于E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠EBC＝∠C，
∴BE＝CE，
∵AC﹣CE＝AE，
∴AC﹣BE＝AE，故①正确；
∵BE＝CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE＝∠C，∠BAC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠C＝30°，
∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠C，故③正确；
∵＝tan∠DAE＝tan30°＝，
∴AD＝DE，
∵＝tan∠ABE＝tan30°＝，
∴BD＝AD，
∴BD＝3DE，故④错误；
∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AB，
∵∠ABE＝30°，AD⊥BE，
∴AB＝2AD，
∴BC＝4AD，故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤．
故选：C．
12．解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，选项B符合题意，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴＝，
推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．
∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，
故选：B．
13．解：89 000 000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．
故选：C．
14．解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
15．解：过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，
则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，
∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，
设AF＝EF＝GH＝DH＝k，
∴AE＝DG＝k，
∴EG＝2AE＝2k，
∴AB＝AD＝2k+2k，
∴正八边形边长与AB的比＝＝2﹣，
故选：A．
16．解：由题意知，
由①﹣②得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝．
∴结论①②③正确，④错误．
故选：C．
二．填空题（共3小题，满分11分）
17．解：∵||＝，
∴＜||，
故答案为：＜．
18．解：（Ⅰ）AB的长等于＝＝．
故答案为：．
（Ⅱ）如图点P即为所求作．
由题意，＝＝2，
∴MN∥PC，MN＝PC，
∴当PC是直径时，MN的值最大，
取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P，
故答案为：取格点T，连接BT交△ABC的外接圆于点P．
19．解：∵|a|＝3，b＝2，
∴a＝3或a＝﹣3，
当a＝3，b＝2时，a＞b，此时a※b＝3﹣2＝1；
当a＝﹣3，b＝2时，a＜b，此时a※b＝﹣3+2＝﹣1；
综上，a※b＝±1，
故答案为：±1．
三．解答题（共7小题，满分67分）
20．解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（﹣）×24
＝﹣9÷3+（×24﹣×24）
＝﹣3+（16﹣6）
＝﹣3+10
＝7．
21．解：（1）M＝2x2+3xy+2y﹣2x2﹣2x﹣2yx﹣2
＝xy﹣2x+2y﹣2，
当x＝1，y＝2时，
原式＝2﹣2+4﹣2＝2；
（2）∵M＝xy﹣2x+2y﹣2＝（y﹣2）x+2y﹣2，且M与字母x的取值无关，
∴y﹣2＝0，
解得：y＝2．
22．解：（1）∵，
则75×6﹣80﹣70﹣70﹣75﹣70＝85，
补充完整乙同学成绩的折线统计图如下：
（2）＞S乙2，
∵甲、乙两名同学六次成绩的平均数相同，，
∴乙同学成绩较稳定；
（3）∵甲成绩的中位数为，众数为75，乙成绩的众数为70，
∴a＝75，b＝75，c＝70，
列表如下：
共有6种等可能的结果，抽到的两个数恰好相等的结果有2种，
∴抽到的两个数恰好相等的概率为＝．
23．（1）解：如图，连接OC，
∵△ABC沿BC翻折得到△DBC，
∴AC＝DC，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC∥BD，
∴∠AOC＝∠ABD＝30°，
∴的长；
（2）①证明：∵△ABC沿BC翻折得到△DBC，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，AC＝DC．
∵DE∥AB，
∴∠ABC＝∠DEC，
∴∠BAC＝∠EDC．
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE为平行四边形．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
∴四边形ABDE是菱形．
②解：如图，连接OF交BD于点G．
∵DF为⊙O的切线，
∴FO⊥EF．
又∵DE∥AB，
∴OF⊥OB．
在Rt△BOG中，∠ABD＝30°，
∴，
∴．
∵DE∥AB，
∴∠GDF＝∠ABD＝30°，
在Rt△DFG中，．
24．解：（1）甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为（10﹣x）千米，根据题意可得，
w＝80x+60（10﹣x），
整理，得w＝20x+600（0≤x≤10）；
（2）根据题意可得≤10，
解得：x≥6，
由（1）知w＝20x+600，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝6时，w取得最小值，
w最小＝20×6+600＝720，
故甲工程队需改造6千米才能使完成此项工程所需施工总费用最低，最低费用为720万元．
25．解：（1）如图：
根据短距点定义，点P于⊙O的短距点为A，坐标是（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
（2）点P关于△OAB的短距点有3个，理由如下：
过P作PC⊥OA于C，PE⊥AB于E，PD⊥OB于D，如图：
∵P（3，），
∴OC＝3，PC＝，
∴tan∠POC＝，
∴∠POC＝30°，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OA＝6，
∴∠BOP＝∠POC＝30°，
又PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PC＝，
∵AC＝OA﹣OC＝3，PC＝，
∴tan∠PAC＝，
∴∠PAC＝30°，
同理∠PAE＝∠PAC＝30°，PE＝PC，
∴PC＝PD＝PE，
即点P关于△OAB的短距点有C、D、E，
∴点P关于△OAB的短距点有3个；
（3）∵P（p，﹣p+6），
∴P在直线y＝﹣x+6上，直线经过A（6，0）、B（0，6），且∠ABO＝∠BAO＝45°，
①当p＜0时，作P作PD⊥x轴于D，过B作PE⊥PD于E，如图：
△PBE是等腰直角三角形，若PB＝2，则BE＝PE＝，
而DE＝OB＝6，
∴PD＝6+，
∴P（﹣，6+），
由图可知：此时p＜﹣，点P到四边形OACB的短距大于2，
②当0≤p≤6时，过P作PD⊥BC于D，设PD＝2，作PE⊥OB，PF⊥OA，过P'作P'H⊥AC，设P'H＝2，过P'作P'M⊥OB，P'G⊥OA，如图：
∵∠PBD＝∠OBC﹣∠ABC＝30°，PD＝2，
∴BP＝4，
∵△PBE是等腰直角三角形，
∴BE＝PE＝2，PF＝OE＝OB﹣BE＝6﹣2，
∴P（2，6﹣2），
∵∠AP'H＝∠ABC＝∠OBC﹣∠OBA＝30°，P'H＝2，
∴P'A＝＝，
∴P'G＝，
由OA＝OB＝6知AB＝6，
∴BP'＝AB﹣P'A＝6﹣，
Rt△BMP'中，P'M＝＝6﹣，
∴P'（6﹣，），
由图可知：此时2＜p＜6﹣，点P到四边形OACB的短距大于2，
③当p＞6时，过P作PQ⊥x轴于Q，如图：
由AP＝2，△APQ是等腰直角三角形得：AQ＝PQ＝，
∴P（6+，﹣），
由图可知：此时p＞6+，点P到四边形OACB的短距大于2，
综上所述：点P到四边形OACB的短距大于2，则p＜﹣或2＜p＜6﹣或p＞6+．
26．解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DH∥y轴交BC于点H，交x轴于点G，
∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
∵S△COF：S△CDF＝2：1，
∴OF：DF＝2：1，
∵DH∥OC，
∴△OFC∽△DFH，
∴＝2，
∴OC＝2DH，
设D（a，﹣a2+a+2），则H（a，﹣a+2），
∴DH＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a，
∴2＝2（﹣a2+2a），
解得a＝1，
∴D（1，2）．
（3）①当点P在x轴上方时，
在y轴上取点G（0，1），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，
过点G作GH⊥BM，
∵E（0，﹣1），
∴OE＝OG＝GH＝1，
设MH＝x，则MG＝，
在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
∴（+1）2+4＝（x+2）2，
解得：x＝，
故MG＝＝＝，
∴OM＝OG+MG＝1+＝，
∴点M（0，），
将点B（2，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，
，
解得：，
∴直线BM的表达式为：y＝﹣x+，
∴，
解得：x＝或x＝2（舍去），
∴点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，﹣），
求得直线BN的解析式为y＝x﹣，
∴，
解得，x＝﹣或x＝2（舍去），
∴点P（﹣，﹣）；
综合以上可得，点P的坐标为（）或（﹣）．75
75
70
75
（75，75）
（75，70）
75
（75，75）
（75，70）
70
（70，75）
（70，75）