19.高二【数学（人教B版）】随机变量的数字特征（1）-课件

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随机变量的数字特征（1）高二年级 数学主讲人 黎宁北京师范大学附属实验中学北京市中小学空中课堂 若P(X= xk)=pk ， ，则此表称为X的概率分布或分布列．复习引入 离散型随机变量X的分布列：情境与问题：一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么?分析：成功的概率p，指的是如果重复这个创业项目足够多次（设为n次），那么成功的次数可以用np来估计，而失败的次数可以估计为n(1-p). 因此，在这n次试验中，投资方收益（单位：万元）的n个数据估计为5000，5000，…，5000，-3000，-3000， … ，-3000，np个n(1-p)个这一组数的平均数为因为上述平均数体现的是平均收益，所以不难想到，当 ，即 时，应该对创业项目进行资助.另一方面，如果设投资公司的收益为X万元，则X这个随机变量的分布列如下表所示.从上面的分析看出，式子刻画了X取值的平均水平.则称为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）． 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：求离散型随机变量的期望的步骤：求随机变量的分布列求随机变量的期望求随机变量的所有可能取值；利用期望的定义．分别求出相应的概率值；写出分布列． 例题 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).解:随机变量X服从两点分布，其分布列为：所以E(X) = p.（1）二项分布的均值 如果随机变量X~B(n,p)，则（2）超几何分布的均值 若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N ，n ， M)， 则例题 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．分析 学生甲每一道题是否选择正确是互相独立的，并且每道题选对的概率相同，因此这是独立重复试验．学生乙也是如此． 设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，根据二项分布的均值公式，容易求得X1和X2的均值．分析 但是题目中问的是成绩的均值，相当于是问E(5X1)和E(5X2)，它们和E(X1)，E(X2)有什么关系呢？随机变量均值的性质 已知随机变量X的分布列为若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量．那么， X与Y的均值之间有什么联系呢？由X与Y之间分布列的关系可知例题 20个选择题，4选1，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．甲选对一题的概率为0.9，乙选对一题的概率为0.25．分别求甲和乙成绩的均值．解：设学生甲和学生乙选对的题数分别为X1，X2，则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25)，所以由于每题选对得5分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2 ．这样，他们在测验中成绩的均值分别是例题 体检时，为了确定体检人员是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：方案甲：逐个检查每位体检人的血液；方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.（1）哪种化验方案更好？（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.解：（1）方案甲中，化验的次数一定是5次.方案乙中，若记化验的次数为X，则X的取值范围为{1,6}.因为5人都不患病的概率为 (1-0.1)5=0.59049,所以 P(X=1)=0.59049, P(X=6)=1-0.59049=0.40951,从而E(X)= 1 × 0.59049+ 6 ×0.40951 =3.04755.也就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好.（2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用.解：（2）若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y=100X,从而可知E(Y)=100E(X)=304.755则方案乙的平均化验费用为304.755元.课堂小结离散型随机变量的均值的定义两点分布、二项分布、超几何分布的均值离散型随机变量的均值的性质应用知识解决相关问题则称为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）． 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：随机变量均值的性质 若Y=aX+b，其中a,b为常数，则作业 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．谢谢