第40讲 抛物线的双切线问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第40讲 抛物线的双切线问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．（2021•吉州区校级一模）设抛物线 ，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，，，，的横坐标分别为，，则　　
A． B．
C． D．以上都不对
【解答】解：由得，得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以，①，②
由①、②得．
故选：．
二．填空题（共1小题）
2．（2021•厦门一模）过抛物线焦点的直线与交于，两点，在点，处的切线分别与轴交于，两点，则的最大值是　8　．
【解答】解：由，，求导，，设，，
，，则过点的切线的斜率，
则切线方程，
令，解得：，则，
同理可得，则，
设直线的方程：，联立，
整理得：，则，
，
则，
设，，设，，
当时，取最大值，最大值为8，
的最大值为8，
故答案为：8．

三．解答题（共36小题）
3．（2021•东台市校级模拟）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设．
由得，得，
所以，．
因此直线的方程为，直线的方程为．
所以，①．②
由①、②得，因此，即．
所以，，三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，
将其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的两根，
因此，，又，所以．
由弦长公式得．又，
所以或，因此所求抛物线方程为或．

4．（2021•苏州期末）如图，设抛物线，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．求证：，，三点的横坐标成等差数列．

【解答】证明：由题意，设，，，．
由得，得，
所以，．
因此直线的方程为，直线的方程为．
所以，①，②
由①、②得，因此，即．
所以，，三点的横坐标成等差数列．
5．（2021•浙江模拟）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）求直线与轴的交点坐标；
（Ⅱ）若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与三角形的边，分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．

【解答】解：设，，，，过点的切线方程为，过点的切线方程为，
联立这两个方程可得，
又，所以直线的方程为：，
化简得，令，，
直线过点；
（Ⅱ）记，，，
，，

，
设，记，则，
同理，，，，
于是，
，，
．

6．（2012•上海模拟）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为、．
（1）设抛物线上一点到直线的距离为，为焦点，当时，求抛物线方程；
（2）若，求线段的长；
（3）求到直线的距离的最小值．

【解答】解：（1）由，得，，
抛物线方程为．
（2）在直线上，，解得，
抛物线方程为，
设过点的直线为，联立：，消去，得
即，
直线与抛物线相切，△，即
，，此时，方程有等根，
，，
，．
、在抛物线上，

．
（3）设，过点的直线为，联立：，消去，得，
①，
直线与抛物线相切，△
，②，此时方程①有等根，
令，，，，则，，
的斜率，
由②，根据韦达定理可得，，
直线的方程为，

化简可得，
，
由②，，
方程化为：，
点到的距离，
当且仅当，即，
时，上式等号成立，
到直线的距离的最小值为．
7．（2021•秦州区校级二模）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，不在轴上，过引抛物线的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）设线段的中点为；
（ⅰ）求证：平行于轴；
（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设，，，，，，．
由得，则，所以，．
因此直线的方程为，
直线的方程为．
所以，①．②
由①、②得，因此，即．
所以平行于轴．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：
，，
所以，是方程的两根，
因此，，又，
所以．
由弦长公式的．
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或．
（Ⅱ）解：设，，由题意得，，
则的中点坐标为，
设直线的方程为，
由点在直线上，并注意到点也在直线上，
代入得．
若，在抛物线上，则，
因此或．
即或．
（1）当时，则，此时，点适合题意．
（2）当，对于，此时，，
又，，所以，
即，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于轴，
又，
所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意得点．
综上所述，不存在符合题意得点．
8．（2012•韶关一模）设抛物线C的方程为x2＝4y，M为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y＝kx﹣1，代入x2＝4y，整理得x2﹣4kx+4＝0，
令Δ＝16k2﹣16＝0，解得k＝±1，
代入方程得x＝±2，故得A（2，1），B（﹣2，1），…（2分）
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y＝﹣1相切…（4分）
（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为（y﹣y1）＝k（x﹣x1），代入x2＝4y，整理得x2﹣4kx+4（kx1﹣y1）＝0Δ＝（4k）2﹣4×4（kx1﹣y1）＝0，又因为，所以…（6分）
从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为即
又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）
同理可得过点B（x2，y2）的切线为，
又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）
即…（6分）
即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），
代入x2＝4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）＝0
∴Δ＝（4k）2+4×4（y0﹣kx0）＝0即：k2﹣x0k+y0＝0…（6分）
从而，此时，
所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）
因为，，，
所以AB的中点坐标为…（11分）
故直线AB的方程为，即x0x＝2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A（x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即
…（7分）
又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）
同理可得过点B（x2，y2）的切线为，
又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）
即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
（3）由（2）中①②两式知x1，x2是方程的两实根，故有
∵，，y0＝m
∴＝4m2+m﹣4m﹣＝（m﹣1）（+4m），…（9分）
①当m＝1时，＝0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）
②当0＜m＜1时，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）
③当m＞1时，＞0，∠AMB＜，
因为kAB＝＝＝，＝，
所以kABkMA＝
若kABkMA＝﹣1，则，整理得（y0+2）＝﹣4，
又因为y0＝﹣m，所以（m﹣2）＝4，
因为方程（m﹣2）＝4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）
综上所述，当m＝1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l上存在两点M，使△MAB为直角三角形；当0＜m＜1或1＜m≤2时，△MAB不是直角三角形．…（14分）
9．（2012•韶关一模）设抛物线的方程为，，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点．
【解答】（1）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令△，解得，
代入方程得，故得，，（2分）
因为到的中点的距离为2，
从而过，，三点的圆的方程为．
圆心坐标为，半径为2，圆与直线相切（4分）
（2）证法一：设切点分别为，，，，过抛物线上点，的切线方程为，代入，整理得△，又因为，所以（6分）
从而过抛物线上点，的切线方程为即
又切线过点，，所以得①即（8分）
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②（10分）
即（6分）
即点，，，均满足即，故直线的方程为（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
证法二：设过，的抛物线的切线方程为，代入，消去，得△即：（6分）
从而，此时，
所以切点，的坐标分别为，（8分）
因为，，，
所以的中点坐标为（11分）
故直线的方程为，即（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
证法三：由已知得，求导得，切点分别为，，，，故过点，的切线斜率为，从而切线方程为即
（7分）
又切线过点，，所以得①即（8分）
同理可得过点，的切线为，
又切线过点，，所以得②即（10分）
即点，，，均满足即，故直线的方程为（12分）
又，为直线上任意一点，故对任意成立，所以，，从而直线恒过定点（14分）
10．（2021春•城区校级月考）已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；
（2）若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；
（3）证明：以为直径的圆恒过点．
【解答】解：（1）当的坐标为时，
设过点的切线方程为，代入，整理得，
令△，解得，
代入方程得，故得，，
因为到的中点的距离为2，
从而过，，三点的圆的方程为．
（2）证明：抛物线，导数为，
可得，是上的任意点，
点处的切线的斜率为；
（3）证明：设切点分别为，，，，
，，
切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
又因为切线过点，，
所以得，①
又因为切线也过点，，
所以得，②
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得，，
因为，，，，
所以

，
将，代入，得，
则以为直径的圆恒过点．
11．（2021春•江苏期中）已知抛物线的焦点坐标为．
（1）求抛物线方程；
（2）过直线上一点作抛物线的切线切点为，．
①设直线、、的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列；
②若以切点为圆心为半径的圆与抛物线交于，两点且，关于直线对称，求点横坐标的取值范围．

【解答】解：（1）由题意知，，
可得抛物线的方程为；
（2）①证明：设，，，，
因为，所以，所以，，
所以，，
所以，即，，成等差数列；
②直线的方程为，
同理直线的方程为，
则两直线的交点坐标，
代入直线，得，
直线的方程为，
因为，所以，
因为，所以直线的方程为．
若则抛物线上不存在两点关于直线对称；
若，设，，，为抛物线上关于直线对称的两点，
此时，
设方程为，与直线交于点，，
由，可得，
则，，
所以，，
因为点在直线上，所以代入式，
得，所以．
所以的取值范围是．
12．（2021•益阳模拟）已知抛物线的方程为，过点，为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）过焦点且在轴上截距为2的直线与抛物线交于，两点，，两点在轴上的射影分别为，，且，求抛物线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，．求证：为定值．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点坐标是，
所以过焦点且在轴上截距为2的直线方程是，即．
联立消去并整理，得，
设点，，，，
则，．
则，
解得．
所以抛物线的方程为．
（2）设点，，，，．
依题意，由，得，
则．
所以切线的方程是，
即．
又点在直线上，
于是有，
即．
同理，有，
因此，，是方程的两根，
则，．
所以，
故为定值得证．
13．（2021•崇明区二模）对于直线与抛物线，若与有且只有一个公共点且与的对称轴不平行（或重合），则称与相切，直线叫做抛物线的切线．
（1）已知，是抛物线上一点，求证：过点的的切线的斜率；
（2）已知，为轴下方一点，过引抛物线的切线，切点分别为，、，，求证：、、成等差数列；
（3）如图所示，、是抛物线上异于坐标原点的两个不同的点，过点、的的切线分别是、，直线、交于点，且与轴分别交于点、，设、为方程的两个实根，，表示实数、中较大的值，求证：“点在线段上”的充要条件是“”．

【解答】证明：（1）由可得，．
过点，的的切线额度斜率．
（2）由（1）可知过点的切线方程为，
代入抛物线方程可得，
令△可得，
同理可得：，
两式相减得，
．
、、成等差数列．
（3）由在抛物线可得，
切线的方程为，即．
同理切线的方程为，
联立方程组，解得，．
，．
解方程可得，．
把代入直线的方程可得，即，
①若在线段上，，即，
，
，，，．
②若，．则，
，
，即，
在线段上．
综上，点在线段上”的充要条件是“”．
14．（2012•青羊区校级三模）离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为，所以抛物线的方程为；
（Ⅱ）设，，，故直线的方程为，即，
所以，同理可得：，
即，是方程的两个不同的根，所以

坐标原点恒在以为直径的圆内，
，即．
15．（2021•福州一模）如图，以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线的焦点为，点是直线上任意一点，过点引抛物线的两条切线分别交轴于点，，切点分别为，．
求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：点，在以为直径的圆上；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，直线恒过焦点，求的值．

【解答】解：设抛物线的方程为，
依题意，
所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）设点，，，．，否则切线不过点
，切线的斜率，
方程为，其中．
令，得，点的坐标为，
直线的斜率，
，
，即点在以为直径的圆上；
同理可证点在以为直径的圆上，
所以，在以为直径的圆上．
（Ⅲ）抛物线焦点，可设直线．
由，
则．
由（Ⅱ）切线的方程为过点，，
得，
同理．
消去，得
，由上
，即的值为．

16．已知抛物线的方程为．
（1）若抛物线上一点，到焦点的距离，求抛物线的标准方程；
（2）过点，为常数）作抛物线的两条切线，切点分别为，右左），设直线，的斜率分别为，，求证为定值．
【解答】解：（1）抛物线的准线方程为，
，到焦点的距离，
又，在抛物线上，，
，解得．
抛物线的标准方程是：．
（2）证明：，设抛物线过点的切线方程为，
代入抛物线方程得：，即，
△，即，
显然，为关于的方程的两个解，
．
为定值．
17．（2016•石家庄一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|＝2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．
【解答】（I）解：抛物线C的准线方程为：，
∴，
又抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（m，2），
∴4＝2pm，即…（2分）
∴p2﹣4p+4＝0，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x．…（4分）
（II）证明；设E（0，t）（t≠0），已知切线不为y轴，设EA：y＝kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2＝0
∵直线EA与抛物线C相切，∴Δ＝（2kt﹣4）2﹣4k2t2＝0，即kt＝1．
代入，∴x＝t2，即A（t2，2t），…（6分）
设切点B（x0，y0），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y＝﹣tx+t对称，
则，解得：，即…（8分）
直线AF的斜率为，
直线BF的斜率为，∴kAF＝kBF，即A，B，F三点共线．…（10分）
当t＝±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．
综上：A，B，F三点共线．…（12分）
18．（2021•宁波期末）已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作次抛物线的切线，，，为切点，且．
（1）求证：直线过定点；
（2）直线与曲线的一个交点为，求的最小值．

【解答】解：（1）证明：设直线的方程为，
，，，，
由抛物线方程得，，
，
，
的方程为：，
，
，①
同理，，
且的方程为：，②
由得：，
，，
，

，
，
即直线的方程为：，
故直线恒过点．
（2）设，，分别代回①②得，
，
，
两式相减，结合抛物线方程可得，
，

，
当时，，可得，
当时，，此时，
，
，
，


，
，
，
令，，
则，
在，递减，在，递增，
最小值为，
故的最小值为．

19．（2021•辽宁）如图，抛物线，，点，在抛物线上，过作的切线，切点为，为原点时，，重合于，当时，切线的斜率为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程，重合于时，中点为．

【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线上任意一点的切线斜率为，且切线的斜率为，
所以设点坐标为，得，解得，，点的坐标为，
故切线的方程为
因为点，在切线及抛物线上，于是
①
②
解得
（Ⅱ）设，，，，，，由为线段中点知③，④
切线，的方程为，⑤；⑥，
由⑤⑥得，的交点，的坐标满足，
因为点，在上，即，所以⑦
由③④⑦得，
当时，，丙点重合于原点，，中点为，坐标满足
因此中点的轨迹方程为
20．（2021•诸暨市期末）已过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，以，两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于点．
（1）当直线平行于轴时，求点的坐标；
（2）当时，求直线的方程．
【解答】解：（1）依题可知，当直线平行于轴时，则的方程为，
所以可得，，又可得，；
所以在， 处的切线分别为：，，即，，
联立两切线可得解得，，所以．
（2）设的方程为：，，，
则联立有整理得：，所以，，
在处的切线为：，即，
同理可得，在处切线：，即，
联立有：解得，，即点，．
，
同理可得：，
所以，，
又，解得．，所以或，
所以直线方程为：．
21．（2012秋•宜春期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：点定在直线上；
（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），使得直线过点？若存在，求出切线、的方程；若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．
由已知条件，，，，，
解得，．所以椭圆的方程为．（3分）
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为，，，
与抛物线方程联立，消去，并整理得，
．（5分）
抛物线的方程为，求导得，
过抛物线上，两点的切线方程分别是
，
即，
解得两条切线的交点的坐标为，，
点在直线上．．（8分）
（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为．，
设过点且与抛物线相切的切线方程为，其中点，为切点．
令，得，，解得或，
故不妨取，，，即直线过点．
综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），能使直线过点．
此时，两切线的方程分别为和．（13分）
22．（2021春•思明区校级月考）如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点在抛物线上，
即有，可得，
即有的方程为，
其准线方程为．
（Ⅱ）设，，，，，
，，
的导数为，直线的斜率为，直线的斜率为，
则切线的方程：，
即，又，所以，
同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为．
联立得，
所以，，
所以．
点到直线的距离．
所以的面积，
所以当时，取最小值为2．即面积的最小值为2．
23．（2021•嘉兴二模）如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，设点到直线的距离为，求的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）抛物线的方程为，抛物线的焦点为，（2分）
抛物线的焦点在抛物线上
，可得．（4分）
故抛物线的方程为，其准线方程为．（6分）
（Ⅱ）设，，，
可得的方程：，
点坐标代入，化简得，即．
同理可得，得．（8分）
由得、是方程的两个实数根，
，．
的方程：，
化简整理，得
代入式，可得的方程为．（12分）
于是，点到直线的距离．
令，则（当时取等号）．
由此可得，当坐标为，时，点到直线的距离的最小值为．（15分）
24．（2009秋•宁波期末）点，，，是抛物线上的不同两点，过，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，．
（1）求证：是与的等差中项；
（2）若直线过定点，求证：原点是的垂心；
（3）在（2）的条件下，求的重心的轨迹方程．
【解答】解：（1）对求导　　得，
所以直线，即
同理，直线，解得
所以是与的等差中项；（5分）
（2）设直线，代入整理得．
，得
即；，
，
，同理，
所以原点是的垂心；（10分），只需证明两个垂直就得满分）
（3）设的重心，则，
因为，所以点的轨迹方程为．（15分）
25．（2021•合肥二模）如图，抛物线与圆相交于，两点，且点的横坐标为2．过劣弧上动点，作圆的切线交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，，与相交于点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求动点的轨迹方程．

【解答】解：（Ⅰ）由点的横坐标为2，可得点的坐标为，
代入，解得，
（Ⅱ）设，，，．
切线，
代入得，由△解得，
方程为，同理方程为，
联立，解得，
方程为，其中，满足，，
联立方程得，则，
代入可知满足，
代入得，
考虑到，知．
动点的轨迹方程为，．
26．（2021•合肥二模）如图，已知抛物线与圆相交于，两点，且点的横坐标为2．过劣弧上动点，作圆的切线交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，，与相交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求点到直线距离的最大值．

【解答】解：（1）由得，故，．
于是，抛物线的方程为．
（2）设，，切线，
代入得，由△解得，
方程为，同理方程为，
联立，解得，
易得方程为，其中，满足，，
联立方程得，则，
满足，即点为．
点到直线的距离，
关于单调减，
故当且仅当时，．
27．（2011•浙江校级模拟）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，，切点为、．
（ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形点也在直线上）？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）曲线的方程（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设，，
过点的抛物线切线方程为，
切线过点，，整理得：
同理可得：，，是方程的两根，，可得中点为
又，
直线的方程为即，过定点（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知中点，直线的方程为
当时，则的中垂线方程为，
的中垂线与直线的交点

若为等边三角形，则，
，
解得，，此时，
当时，经检验不存在满足条件的点
综上可得：满足条件的点存在，坐标为．（15分）
28．（2014•长沙校级模拟）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点在直线上移动时，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，
，解得，或（舍，
抛物线的方程为．
（2）设，，，，，，
由，即，得，
抛物线在处的切线的方程为，
即，
，，
，在切线上，，①
同理，，②
综合①②，得，点，，，的坐标都满足方程，
经过，，，两点的直线是唯一的，
直线的方程为，即，
由抛物线定义知：
，，
，
联立，消去，得，
，，
，



，
当时，取得最小值8．
29．（2014秋•西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，
，
解得或，（舍，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，
化简，得，
设，，，，则，是以上方程的两根，
，，
，
直线为：，
化简，得：，定点．
30．（2014秋•西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点，到直线的距离为，
，
解得或，（舍，
抛物线的方程为．
（Ⅱ）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，
化简，得，
设，，，则，是以上方程的两根，
，，
，
直线为：，
化简，得：，定点．
（Ⅲ）设，，，
过的切线，
过的切线，
交点，
设过点的直线为
联立，得，
，，
，
．
点满足的轨迹方程为．
31．（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两动点，且．过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．
【解答】解：（1）设，，，，，，焦点，准线方程为，
显然斜率存在且过
设其直线方程为，联立消去得：，
判别式△．
，
于是曲线上任意一点斜率为，则易得切线，方程分别为，，其中，，联立方程易解得交点坐标，，，即，
从而，，，，
，（定值）命题得证．
这就说明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中，，因而．
，
，，，即，
而，，
则，，
．
因为、分别等于、到抛物线准线的距离，所以
．
于是，
由知，且当时，取得最小值4．
32．（2021•台州期末）已知直线，分别于抛物线相切于，两点．
（1）若点的坐标为，求直线的方程；
（2）若直线与的交点为，且点在圆上设直线，与轴分别交于点，，求的取值范围．

【解答】（1）解：法1：设直线，与抛物线方程联立，得．
由△，得，则的方程为．
法在点处切线方程为，整理得．
（2）设，，，，则直线，，
则，．
设点，，，代入可得，则直线方程为．
与抛物线方程联立，得，则有，．
则，，
所以．
33．（2021•武汉模拟）已知抛物线与直线没有公共点，设点为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，，为切点．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）若点与（1）中的定点的连线交抛物线于，两点，证明：．
【解答】解：（1）设，，则．
由得，所以．
于是抛物线在点处的切线方程为，即．
设，，则有．设，，同理有．
所以的方程为，即，所以直线恒过定点．
（2）的方程为，与抛物线方程联立，消去，得
，
设，，，，则，①
要证，只需证明，即②
由①知，②式
左边
．
故②式成立，从而结论成立．
34．（2021•柯桥区期末）已知抛物线，直线截抛物线所得弦长为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若直角三角形的三个顶点在抛物线上，且直角顶点的横坐标为1，过点、分别作抛物线的切线，两切线相交于点．
①若直线经过点，求点的纵坐标；
②求的最大值及此时点的坐标．

【解答】解：（Ⅰ），解得两交点为，．
所以，．
（Ⅱ）①设点，，．切线，，
由题设知，，
即，是方程的两根，于是，．
故直线．又因为直线经过点，
所以，即点的纵坐标为．
②由题设知，即．
则，
若，令，，
若，令，，
当且仅当，时，等号成立，此时点的坐标为．
35．（2021•南湖区校级月考）如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
求证：；
求面积的最小值．

【解答】证明：设，，的斜率分别为，
过点的切线方程为
由，得
所以，所以
解：由得，
，

所以

综上，当时，面积取最小值．
36．（2014•武侯区校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于不同两点，，抛物线在点，处的切线分别为，，且与交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在满足的点？若存在，指出这样的点有几个，并求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为，
依题意：解得：
椭圆的方程为．（5分）
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去，得．
设，，，，则，．
由，即，得．
抛物线在点处的切线的方程为，即．（7分）
，．
同理，得抛物线在点处的切线的方程为．
由解得
．分
，
点在椭圆上．．
化简得．（10分）
由△，，
或
满足条件的点有两个，
坐标或（13分）
37．（2014秋•碑林区校级期中）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，且与交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在满足的点？若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由，，，
联立解得，．
椭圆的方程为．
（Ⅱ）设，，，，，．
设直线的方程为：，联立，化为．
△．
，．
由抛物线，可得．
在点处的切线的方程为：．．
同理在点处的切线的方程为：．
联立，解得，．
，
点在椭圆上．
．
化简得．
由△，可得方程有两个不等的实数根．
满足条件的点有两个．
38．（2005•江西）如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点．（1）求的重心的轨迹方程；
（2）证明．

【解答】解：（1）设切点、坐标分别为，和，、，
切线的斜率为，用点斜式求得它的方程为：；
同理求得切线的方程为：．
解得点的坐标为：，．
所以的重心的坐标为，，
所以．
由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即．
（2）方法1：因为，，，，，．
由于点在抛物线外，则．
，
同理有，
．
方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以点坐标为，，
则点到直线的距离为：．
而直线的方程：，即．
所以点到直线的距离为：
所以，即得．
②当时，直线的方程：，即，
直线的方程：，即，
所以点到直线的距离为：，
同理可得到点到直线的距离，因此由，可得到．