2021届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟考试 数学练习题

2021届汕头市金山中学第三次模拟考数学科试题（2021.05）

命题人：金山中学数学备课组

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.设集合，，则

A.  B.  C. ，4}     D. ，4，

2.若复数i为虚数单位是纯虚数，则a的值为

A.  B.  C.  D. 2

3.函数在的图象大致为

A.  B.
C.  D.

4.函数的最大值为

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5.的展开式中的系数为

A. 14 B. 28 C. 70 D. 98

6.元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯现要求这3个地方都有灯同一地方的花灯不考虑位置的差别，且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有

A. 114 B. 92 C. 72 D. 42

7. P为双曲线C：上一点，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点若，且，则C的离心率为

A.  B.  C. 2 D.

8.设实数、满足，且.则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如表所示：

若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是

A. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B. a=142
C. y与x正相关
D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部

10. 将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线：，则下列结论正确的是

A.  B.
C. 在上有4个零点 D. 在上单调递增

11. 函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前n项和，则下列结论中正确的是

A. 数列为等差数列      B.     C.        D.

12. 如图，点P在正方体的面对角线上运动，则其中正确的结论是（ ）

A．三棱锥的体积不变；

B．平面；

C．与平面BCC1B1所成角的正弦值最大值为；

D．平面平面．

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为______ ．

14.请写出满足条件“对任意的恒成立，且在1]上不是增函数”的一个函数：______ ．

15.平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为       

16.已知的边，且，则的面积的最大值为____．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.(本小题满分10分)  在①b＝a；②a＝3cosB；③asinC＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且，c＝3，  ▲   ？

18.(本小题满分12分)  已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.

19.(本小题满分12分)  如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．

（1）证明平面；

（2）设二面角为，求与平面所成角的大小.

20．(本小题满分12分)  在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．

（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序．已知批次A的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝．求批次A成品口罩的次品率p（A）．

（2）已知某批次成品口罩的次品率为p（0＜p＜1），设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为φ（p），记φ（p）的最大值点为p0，改进生产线后批次J的口罩的次品率p（J）＝p0.某医院获得批次A，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示；求出p0，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

附：K2＝，

21.(本小题满分12分)  已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.

（1）若为线段的中点，求直线的方程；

（2）记，求的取值范围.

22.(本小题满分12分)  已知函数，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围.

2021届金中第三次模拟考数学参考答案

1.【答案】C【解析】解：4，，，．

2.【答案】B  【解析】解：复数，它是纯虚数，所以，

3.【答案】A    【解析】解：根据题意，函数，，
，则在区间上为偶函数，排除BC，
又由，排除D
4.【答案】B   【解析】解：函数，由于，故，由于函数的对称轴为，
当时，取得最大值

5.【答案】D       【解析】解：
故展开式中的系数为
6.【答案】A     【解析】解：根据题意，分2步分析：
将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，
若分为3、1、1的三组，有种分组方法，
若分为2、2、1的三组，有种分组方法，则有种分组方法，
将分好的三组全排列，安排到3个不同的地方，有种情况，则有种安排方法
7.【答案】B  【解析】解：由，以及正弦定理可得，
因为，所以，，
因为，，所以，所以，
在中，．

化简可得，所以C的离心率
8.【答案】C   【解析】由题意可知，.

当时，，

当且仅当且，即，时取等号，

当时，，

当且仅当且时取等号。综上可得，的最小值.

9.【答案】CD   【解析】解：线性回归方程为，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台，所以A不正确；
根据表中数据，可得，．
于是，，即，故B不正确；
由回归方程中x的系数大于0，可知y与x正相关，且相关系数，故C正确；
12月份时，，部，故D正确．
10.【答案】BC     【解析】解：根据题意得，，A错误；
，B正确；
由得，在上有4个零点，C正确；
由得，在上没有单调性，D错误．
11.【答案】BC 【解析】解：，令可得或，，
易得函数的极值点为或，，

从小到大为，，不是等差数列，A错误；
，B正确；
，
，
则根据诱导公式得，C正确；
，D错误．
12.【答案】BD

13.【答案】   【解析】解：如图所示，正三角形绕AB旋转一周，所得的几何体为两个同底的圆锥，
圆锥的底面半径为，
所以几何体的表面积为．故答案为：．
14.【答案】，答案不唯一

【解析】解：由题意的最大值且在上不是增函数，故．
故答案为：，答案不唯一．
 

15.【答案】11    【解析】如图，设曲线的次整点分别为,过点倾斜角大于45°的直线有，过点的有, 过点有、，过点有、、，过点有,过点的有,共11条。

16.【答案】 【解析】由题意，设中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有，
由可得，整理得，
，
，，，
由正弦定理可得，
，则有．
故的面积
．
，，当时，的面积S取得最大值．
 

17．(本小题满分10分)

解：在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C)．

因为sinB－sin(A－C)＝sinC，所以sin(A＋C)－sin(A－C)＝sinC，··············2分

即sinAcosC＋cosAsinC－(sinAcosC－cosAsinC)＝sinC，

所以2cosAsinC＝sinC．·············································4分

在△ABC中，sinC≠0，所以cosA＝．因为0＜A＜π，所以A＝．……6分

选择①

方法1：因为A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋9－3b．

又因为b＝a，所以2b2－9b＋27＝0，解得b＝3，或b＝，

此时△ABC存在．·················································8分

当b＝3时，△ABC 的面积为S△ABC＝bcsinA＝×3×3×＝．

当b＝时，△ABC 的面积为S△ABC＝bcsinA＝××3×＝．··················10分

方法2：因为b＝a，由正弦定理，得sinB＝sinA＝sin＝．

因为0＜B＜π，所以B＝，或B＝，此时△ABC存在．·······················8分

当B＝时，C＝，所以b＝ccosA＝，

所以△ABC 的面积为S△ABC＝bcsinA＝××3×＝．

当B＝时，C＝，所以b＝＝3，

所以△ABC 的面积为S△ABC＝bcsinA＝×3×3×＝． ·····················10分

选择②

因为a＝3cosB，所以a＝3×，得a2＋b2＝9，

所以C＝，此时△ABC存在．·········································8分

因为A＝，所以b＝3×cos＝，a＝3×sin＝，

所以△ABC 的面积为S△ABC＝ab＝．·································10分

选择③

由＝，得asinC＝csinA＝，···········································8分

这与asinC＝1矛盾，所以△ABC不存在．·······························10分

18解：（1）由题意可得，即.

又因为，所以.所以.    ……5分

（2）因为，所以. ……7分

因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立. ……9分

又（当且仅当时取等号），

所以.即实数的取值范围是. ……12分

19解：（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，∴，，∴，，，

∴平面.    ……5分

（证明PC⊥BD得2分）

（2），，设平面的法向量为，则，取，

设平面的法向量为，则，取，

∵平面平面，∴，故，              ……9分

∴，，∴，……10分

设与平面所成角为，，则，∴，

∴与平面所成角的大小为.        ……12分

20解：（1）批次A成品口罩的次品率为p（A）＝1﹣[（1﹣P1）（1﹣P2）（1﹣P3）]＝＝； ……4分

（2）100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，  ……5分

所以φ'（p）＝100[（1﹣p）99﹣99p（1﹣p）98]＝100（1﹣p）98•（1﹣100p），

令φ'（p）＝0，解得p＝0.01，当p∈（0，0.01）时，φ'（p）＞0，当p∈（0.01，1）时，φ'（p）＜0，

所以φ（p）的最大值点为p0＝0.01，                                     ……7分

由（1）可知，

故批次J口罩的次品率低于批次A，故批次J的口罩质量优于批次A．          ……8分

由条形图可建立2×2列联表如下：

……10分

所以K2＝＝＞10.828，

因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．         ……12分

21解：（1）依题意直线的斜率必存在且不为0，设方程为，代入中，∴.∴.

判别式.

设，，则.

∵中点为，∴，则.

∴直线的方程为，即.……5分

第一问也可以利用点差法求得，但不利于求第二问。

（2）由（1）知.……7分

设直线的方程为,  同理可得.……8分

∴.……9分

∴.

令，则，.

在，分别单调递减，

∴或.  故或.

即.……12分

22解：（1）定义域为：，当时，.

令，，又，

当时，，；当时，，，

∴在时为减函数，在时为增函数. ……5分

（2）方法一：记，则在上单增，且.

∴.……7分

∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.

，故，……9分

令，，

当时，，当时，，又因为，

根据的图像可知，若与图像有两个交点，则只需.

故的取值范围为.……12分

方法二：

令,,,……7分

当时，，，故在上单调递增，故至多一个零点，故舍去. ……8分

当时，，，，在上有唯一零点，且，……9分

当时，，当时，，

，……10分

，则，，，

故的取值范围为.……12分