2021学年第二章 匀变速直线运动的研究5 自由落体运动学案及答案

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例1 一个物体从H高处自由落下，经过最后196m所用的时间是4s，求物体下落H高所用的总时间T和高度H是多少？取g=9.8m／s2，空气阻力不计．
分析 根据题意画出小球的运动示意图（图2-10）．其中t=4s，h=196m．
解 方法1 根据自由落体公式．
式（1）减去式（2），得
方法2 利用匀变速运动平均速度的性质．
由题意得最后4s内的平均速度为
因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落至最后2s时的瞬时速度为
由速度公式得下落至最后2s的时间
方法3 利用v-t图像．画出这个物体自由下落的v-t图，如图2-11所示．开始下落后经时间（T-t）和T后的速度分别为g（T-t）、gT．图线的AB段与t轴间的面积表示在时间t内下落的高度h．由
例2 气球下挂一重物，以v0=10m／s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，取g=10m／s2．
分析 这里的研究对象是重物，原来它随气球以速度v0匀速上升．绳子突然断裂后，重物不会立即下降，将保持原来的速度做竖直上抛运动，直至最高点后再自由下落．
解 方法1 分成上升阶段和下落阶段两过程考虑．
绳子断裂后重物可继续上升的时间和上升的高度分别为
故重物离地面的最大高度为
H=h+h1=175m+5m=180m．
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间
t=t1+t2=1s+6s=7s．
方法2 从统一的匀减速运动考虑．
从绳子断裂开始计时，经时间t最后物体落至抛出点下方，规定初速方向为正方向，则物体在时间t内的位移h=-175m．由位移公式
取合理解，得t=7s．
所以重物的落地速度为
vt=v0-gt=10m／s-10×7m／s
=-60m／s．
其负号表示方向向下，与初速方向相反．
说明 从统一的匀减速运动考虑，比分段计算方便得多，只是在应用时，需注意位移、速度等物理量的方向．这个物体从绳子断裂到落地过程中的v-t图如图2-12所示．
例3 如图2-13所示，A、B两棒长均为l=1m，A的下端和B的上端相距s=20m．若A、B同时运动，A做自由落体、B做竖直上抛，初速度v0=40m／s，求：
（1）A、B两棒何时相遇；
（2）从相遇开始到分离所需的时间．
分析 这里有两个研究对象：A棒和B棒，同时分别做不同的运动．相遇时两棒位移大小之和等于s．从相遇到分离两棒位移大小之和等于2l．
解 （1）设经时间t两棒相遇，由
（2）从相遇开始到两棒分离的过程中，A棒做初速不等于零的匀加速运动，B棒做匀减速运动．设这个“擦肩而过”的时间为Δt，由
式中
vA=gt，vB=v0-gt．
代入后得
说明 竖直上抛运动可以看成一个向上的匀速运动和一个自由落体的合运动，因此，如果以A棒为参照物，即从A棒上去观察B棒，B棒向上做着速度为v0的匀速运动，于是立即可得：
（1）两棒相遇时间
（2）两棒从相遇到分离的时间
例4 一支步枪的发射初速度为v0，每隔1s竖直向上打一枪．不计空气阻力，试证：第一颗子弹射出后与后来射出的各颗子弹相遇的时间依次为
分析 由于发射速度相同，第1颗子弹必在下降过程中与以后的各颗子弹依次相遇．根据运动的对称性，相遇时的两颗子弹的速度一定等值反向．由此即可得以证明．
证明 设第2颗子弹发射后经ts与第1颗子弹相遇，相遇时，第1、第2两颗子弹的速度分别为
v1=v0-g（t+1），
v2=v0-gt．
由 v1=-v2，
即 v0-g（t+1）=-（v0-gt）
所以，第1颗子弹发射后与第2颗子弹相遇的时间为
同理，设第3颗子弹发射后经ts与第一颗子弹相遇，由v1=-v3，即
v0-g（t+2）=-（v0-gt），
即第1颗子弹发射后与第3颗子弹相遇的时间为
其余各颗子弹的相遇时间依次类推，即得以证明．