2020-2021学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题．，多项选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{5}C．{4，6}D．{3，4，5，6，7}
2．（5分）函数的定义域是（ ）
A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）
C．[﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）D．[﹣3，2）∪（2，+∞）
3．（5分）不等式2|x﹣1|＜4的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4．（5分）若实数x，y满足不等式组则2x+y的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
5．（5分）若a，b∈R，则“ab≥”是“a2+b2≥”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f[f（x）+1]的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（5分）若α为锐角，，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（5分）已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则N可能为（ ）
A．{1，2，3，4，5}B．{4，5，6}C．{4，5}D．{3，4，5}
10．（5分）若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x
12．（5分）如图，某湖泊的蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝at，则下列说法正确的是（ ）
A．蓝藻面积每个月的增长率为100%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2
D．若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1+t2＝t3
三、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知lga﹣lgb＝lg（a﹣b），则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）已知函数，x∈R，则函数f（x）的最大值是 ，且取到最大值时x的集合是 ．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增．若对任意x∈R，不等式f（a+|x﹣b|）≥f（|x|﹣2|x﹣1|）（a，b∈R）恒成立，则2a2+b2的最小值是 ．
16．（5分）已知a∈R，b＞0，若存在实数x∈[0，1），使得|bx﹣a|≤b﹣ax2成立，则的取值范围是 ．
四、解答题．（本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；
18．（10分）讨论在（0，+∞）上的单调性．
19．（12分）已知函数f（x）＝2sinxsin（x+）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）若y＝f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．
20．（12分）设a∈[0，4]，已知函数f（x）＝，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，证明：f（x）≤x﹣a+2；
（Ⅲ）设x1，x2∈R，若实数m满足f（x1）•f（x2）＝﹣m2，证明：f（m﹣a）﹣f（1）＜．
21．（12分）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
（Ⅰ）试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
（Ⅱ）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？
22．（14分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．
（Ⅰ）若a＝﹣1，b＝2，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；
（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．
2020-2021学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{5}C．{4，6}D．{3，4，5，6，7}
【解答】解：∵A＝{4，5，6}，B＝{3，5，7}，∴A∩B＝{5}．故选：B．
2．（5分）函数的定义域是（ ）
A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）
C．[﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）D．[﹣3，2）∪（2，+∞）
【解答】解：由，得x≥﹣3，且x≠﹣2．
∴函数的定义域为[﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）．故选：C．
3．（5分）不等式2|x﹣1|＜4的解集是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解答】解：不等式2|x﹣1|＜4，即为2|x﹣1|＜22，即有|x﹣1|＜2，即﹣2＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜3，
则原不等式的解集为（﹣1，3）．故选：A．
4．（5分）若实数x，y满足不等式组则2x+y的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【解答】解：作出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示，
由图可知，当目标函数z＝2x+y过点A（2，1）时取得最大值，且为2×2+1＝5，故选：C．
5．（5分）若a，b∈R，则“ab≥”是“a2+b2≥”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当ab≥时，a2+b2≥2ab≥2×＝，即充分性成立，
反之当a2+b2≥时，a＝﹣1，b＝1时，满足a2+b2≥，但ab≥不成立，即必要性不成立，
即“ab≥”是“a2+b2≥”的充分不必要条件，
故选：A．
6．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：函数的定义域为R，，
即函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项B，C；
当x→0+时，，故可排除选项D．故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f[f（x）+1]的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：令，
①当t＞0时，，则函数f（t）在（0，+∞）上单调递增，
由于f（1）＝﹣1＜0，，
由零点存在定理可知，存在t1∈（1，2），使得f（t1）＝0；
②当t≤0时，f（t）＝t2+2t，由f（t）＝t2+2t＝0，解得t2＝﹣2，t3＝0，
作出函数t＝f（x）+1，直线t＝t1、t＝﹣2、t＝0的图象如下图所示：
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f（x）+1的图象有两个交点，
直线t＝0与函数t＝f（x）+1的图象有两个交点，
直线t＝﹣2与t＝f（x）+1的图象有且仅有一个交点，
综上所述，函数y＝f[f（x）+1]的零点个数为5．故选：D．
8．（5分）若α为锐角，，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α为锐角，且，
∴csα＝．故选：D．
二、多项选择题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（5分）已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则N可能为（ ）
A．{1，2，3，4，5}B．{4，5，6}C．{4，5}D．{3，4，5}
【解答】解：∵集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，
∴集合N中一定有元素4，5，一定没有元素1，2，3，
故A，D均错误，B，C均正确．故选：BC．
10．（5分）若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4＝﹣8，解得m＝2．
则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．故选：ABC．
11．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x
【解答】解：f（x）＝|x|，f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），故满足条件；
f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），故满足条件；
f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1≠2（x+1）＝2f（x），故不满足条件；
f（x）＝﹣x，f（2x）＝﹣2x＝2（﹣x）＝2f（x），故满足条件；故选：ABD．
12．（5分）如图，某湖泊的蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝at，则下列说法正确的是（ ）
A．蓝藻面积每个月的增长率为100%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2
D．若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1+t2＝t3
【解答】解：由图可知，函数 y＝at图象经过（1，2），即a1＝2，则a＝2，∴y＝2t；
∴2t+1﹣2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A对、B错；
当t＝6时，y＝26＝64＞60，C对；
若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则，，则t1+t2＝t3，D对；故选：ACD．
三、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知lga﹣lgb＝lg（a﹣b），则实数a的取值范围是 [4，+∞） ．
【解答】解：∵lga﹣lgb＝lg（a﹣b），∴，
∴，
∴a﹣＝b，
∴a＝＝＝b﹣1++2，
由a＞b＞0得，故b＞1，
所以a+2＝4，当且仅当b﹣1＝，即b＝2时等号成立，
故答案为：[4，+∞）．
14．（5分）已知函数，x∈R，则函数f（x）的最大值是 1 ，且取到最大值时x的集合是 {x|x＝2kπ，k∈Z} ．
【解答】解：＝sin（x+），
则当sin（x+）＝1时，函数取得最大值1，此时x+＝2kπ+，k∈Z，
即x＝2kπ，k∈Z，即对应集合为{x|x＝2kπ，k∈Z}，
故答案为：1，{x|x＝2kπ，k∈Z}．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增．若对任意x∈R，不等式f（a+|x﹣b|）≥f（|x|﹣2|x﹣1|）（a，b∈R）恒成立，则2a2+b2的最小值是 ．
【解答】解：如图，作出函数y＝||x|﹣2|x﹣1||的图象，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，f（a+|x﹣b|）≥f（|x|﹣2|x﹣1|）（a，b∈R）恒成立，
∴y＝|a+|x﹣b||的图象始终在y＝||x|﹣2|x﹣1||的上方，
∴x＝0时，a+|b|≥2且b≥0，所以，
∴，当且仅当“”时取等号．
故答案为：．
16．（5分）已知a∈R，b＞0，若存在实数x∈[0，1），使得|bx﹣a|≤b﹣ax2成立，则的取值范围是 ．
【解答】解：由于b＞0，故不等式两边同除以b，得，令，即不等式|x﹣t|≤1﹣tx2在x∈[0，1）上有解，
去绝对值即得tx2﹣1≤x﹣t≤1﹣tx2，即，即在x∈[0，1）上有解，
设，即t≥f（x）min且t≤g（x）max即可，
由在x∈0，1）上，x+1∈1，2），，即，故t≥f（x）min＝﹣1；
由，利用基本不等式，
当且仅当即时等号成立，故，即，故，
综上，t的取值范围为，即的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题．（本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；
【解答】证明：（1）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．
2∈A，
∴＝﹣1∈A，
＝，
∈A，
∴A中还有另外两个元素﹣1，．
解：（2）∵x∈A，，，
，，，
故集合A中至少有3个元素，
∴集合A不是双元素集合．
18．（10分）讨论在（0，+∞）上的单调性．
【解答】解：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则
＝．
∵x1，x2∈（0，+∞），∴x1x2＞0．
∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0．
①若a＜0，则x1x2﹣a＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②若a＞0，则当时，x1x2﹣a＜0，
∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当时，x1x2﹣a＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
综上可知，当a＜0时，在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，在上单调递减，在上单调递增．
19．（12分）已知函数f（x）＝2sinxsin（x+）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）若y＝f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．
【解答】解：（Ⅰ）由，得f（0）＝2sin0sin；
（Ⅱ）∵＝2sinxcsx＝sin2x，
∴f（x）的最小正周期为π；
（Ⅲ）∵y＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）为偶函数，
∴对任意x∈R都有sin（﹣2x+2φ）＝sin（2x+2φ），
即﹣sin2xcs2φ+cs2xsin2φ＝sin2xcs2φ+cs2xsin2φ，
即sin2xcs2φ＝0，∴cs2φ＝0，
∵0＜φ＜，∴φ＝．
20．（12分）设a∈[0，4]，已知函数f（x）＝，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，证明：f（x）≤x﹣a+2；
（Ⅲ）设x1，x2∈R，若实数m满足f（x1）•f（x2）＝﹣m2，证明：f（m﹣a）﹣f（1）＜．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，对任意x∈R，都有f（﹣x）＝﹣f（x），
即＝﹣，即﹣4x﹣a＝﹣4x+a，
可得a＝0．
（Ⅱ）证明：因为x＞0，a∈[0，4]，
﹣（x﹣a+2）＝
＝﹣[ax（x2﹣2x+1）+4（x2﹣2x+1）]
＝﹣（ax+4）（x﹣1）2≤0，
所以f（x）≤x﹣a+2．
（Ⅲ）证明：设t＝4x﹣a，则y＝f（x）＝＝（t∈R），
当t＝0，y＝0；
当t≠0时，y＝，
所以f（x）max＝＞0，
f（x）min＝＜0，
因为f（x1）•f（x2）＝﹣m2，
所以﹣m2≥f（x）max•f（x）min＝﹣4，
即﹣2≤m≤2，
①当m﹣a≤0时，f（m﹣a）≤0，f（1）＝≥0，
所以f（m﹣a）﹣f（1）＜；
②当m﹣a＞0时，由（Ⅱ）知，
f（m﹣a）﹣f（1）≤（m﹣a）﹣a+2﹣＝（m﹣a﹣1）≤（1﹣a）≤，等号不能同时成立．
综上可知，f（m﹣a）﹣f（1）＜．
21．（12分）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
（Ⅰ）试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
（Ⅱ）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？
【解答】解：（Ⅰ）建立平面直角坐标系，如图所示；
设φ（0≤φ≤2π）是以x轴正半轴为始边，OP0（P0表示点P的起始位置）为终边的角，
由题意知OP在t（min）内转过的角为t，即πt；
所以以x轴正半轴为始边，OP为终边的角为（πt+φ），
即点P的纵坐标为40sin（πt+φ），
由题意知φ＝，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为
h＝50+40sin（πt+），
化简得h＝50+40csπt；
（Ⅱ）当50+40csπt＞70时，
解得2k﹣＜t＜2k+；
又0≤t≤2，
所以符合题意的时间段为0≤t＜或＜t≤2，
即在摩天轮转动一圈内，有min内P点距离地面超过70m．
22．（14分）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．
（Ⅰ）若a＝﹣1，b＝2，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；
（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2时，
由题意知，解得0≤x≤2，
所以f（x）的定义域为[0，2]．
（Ⅱ）当a＝1时，，
（i）当，即b≥0时，
f（x）定义域为[0，+∞），值域为[，+∞），
所以b≥0时，f（x）不是“同域函数”；
（ii）当时，即b＜0，
当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”，
所以，
综上可知，b的值为．
（Ⅲ）设f（x）定义域为A，值域为B；
（i）当a＜﹣1时，a+1＜0，
此时0∉A，0∈B，从而A≠B，
所以f（x）不是“同域函数”；
（ii）当﹣1＜a＜0时，a+1＞0，
设，则f（x）定义域为[0，x0]，
①当时，即b≤0时，f（x）值域为B＝[0，]，
若f（x）为“同域函数”，则x0＝ ，从而，
又因为﹣1＜a＜0，所以b的取值范围为（﹣1，0）．
当时，即b＞0，f（x）值域为B＝．
若f（x）为“同域函数”，则，
从而，．（*）
此时，由可知（*）式不能成立；
综上可知，b的取值范围为（﹣1，0）．
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日期：2022/1/1 11:32:04；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983