2020-2021学年浙江省台州市高一(上)期末数学试卷
展开1.(5分)已知集合A={4,5,6},B={3,5,7},则A∩B=( )
A.∅B.{5}C.{4,6}D.{3,4,5,6,7}
2.(5分)函数的定义域是( )
A.[﹣3,+∞)B.(﹣3,+∞)
C.[﹣3,﹣2)∪(﹣2,+∞)D.[﹣3,2)∪(2,+∞)
3.(5分)不等式2|x﹣1|<4的解集是( )
A.(﹣1,3)B.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
C.(﹣3,1)D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
4.(5分)若实数x,y满足不等式组则2x+y的最大值是( )
A.2B.4C.5D.6
5.(5分)若a,b∈R,则“ab≥”是“a2+b2≥”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.(5分)函数f(x)=的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7.(5分)已知函数f(x)=,则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是( )
A.2B.3C.4D.5
8.(5分)若α为锐角,,则csα=( )
A.B.C.D.
二、多项选择题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.(5分)已知集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},则N可能为( )
A.{1,2,3,4,5}B.{4,5,6}C.{4,5}D.{3,4,5}
10.(5分)若函数y=x2﹣4x﹣4的定义域为[0,m],值域为[﹣8,﹣4],则实数m的值可能为( )
A.2B.3C.4D.5
11.(5分)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是( )
A.f(x)=|x|B.f(x)=x﹣|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=﹣x
12.(5分)如图,某湖泊的蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为100%
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60m2
D.若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有t1+t2=t3
三、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)已知lga﹣lgb=lg(a﹣b),则实数a的取值范围是 .
14.(5分)已知函数,x∈R,则函数f(x)的最大值是 ,且取到最大值时x的集合是 .
15.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x﹣b|)≥f(|x|﹣2|x﹣1|)(a,b∈R)恒成立,则2a2+b2的最小值是 .
16.(5分)已知a∈R,b>0,若存在实数x∈[0,1),使得|bx﹣a|≤b﹣ax2成立,则的取值范围是 .
四、解答题.(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A是否为双元素集合,并说明理由;
18.(10分)讨论在(0,+∞)上的单调性.
19.(12分)已知函数f(x)=2sinxsin(x+)(x∈R).
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅲ)若y=f(x+φ)(0<φ<)为偶函数,求φ的值.
20.(12分)设a∈[0,4],已知函数f(x)=,x∈R.
(Ⅰ)若f(x)是奇函数,求a的值;
(Ⅱ)当x>0时,证明:f(x)≤x﹣a+2;
(Ⅲ)设x1,x2∈R,若实数m满足f(x1)•f(x2)=﹣m2,证明:f(m﹣a)﹣f(1)<.
21.(12分)如图所示,摩天轮的半径为40m,O点距地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向作匀速转动,且每2min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点.
(Ⅰ)试确定点P距离地面的高度h(单位:m)关于旋转时间t(单位:min)的函数关系式;
(Ⅱ)在摩天轮转动一圈内,有多长时间P点距离地面超过70m?
22.(14分)如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0,且x≥0}.
(Ⅰ)若a=﹣1,b=2,求f(x)的定义域;
(Ⅱ)当a=1时,若f(x)为“同域函数”,求实数b的值;
(Ⅲ)若存在实数a<0且a≠﹣1,使得f(x)为“同域函数”,求实数b的取值范围.
2020-2021学年浙江省台州市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题.(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)已知集合A={4,5,6},B={3,5,7},则A∩B=( )
A.∅B.{5}C.{4,6}D.{3,4,5,6,7}
【解答】解:∵A={4,5,6},B={3,5,7},∴A∩B={5}.故选:B.
2.(5分)函数的定义域是( )
A.[﹣3,+∞)B.(﹣3,+∞)
C.[﹣3,﹣2)∪(﹣2,+∞)D.[﹣3,2)∪(2,+∞)
【解答】解:由,得x≥﹣3,且x≠﹣2.
∴函数的定义域为[﹣3,﹣2)∪(﹣2,+∞).故选:C.
3.(5分)不等式2|x﹣1|<4的解集是( )
A.(﹣1,3)B.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)
C.(﹣3,1)D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
【解答】解:不等式2|x﹣1|<4,即为2|x﹣1|<22,即有|x﹣1|<2,即﹣2<x﹣1<2,解得﹣1<x<3,
则原不等式的解集为(﹣1,3).故选:A.
4.(5分)若实数x,y满足不等式组则2x+y的最大值是( )
A.2B.4C.5D.6
【解答】解:作出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分所示,
由图可知,当目标函数z=2x+y过点A(2,1)时取得最大值,且为2×2+1=5,故选:C.
5.(5分)若a,b∈R,则“ab≥”是“a2+b2≥”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解答】解:当ab≥时,a2+b2≥2ab≥2×=,即充分性成立,
反之当a2+b2≥时,a=﹣1,b=1时,满足a2+b2≥,但ab≥不成立,即必要性不成立,
即“ab≥”是“a2+b2≥”的充分不必要条件,
故选:A.
6.(5分)函数f(x)=的图象大致是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:函数的定义域为R,,
即函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故可排除选项B,C;
当x→0+时,,故可排除选项D.故选:A.
7.(5分)已知函数f(x)=,则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是( )
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:令,
①当t>0时,,则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,
由于f(1)=﹣1<0,,
由零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;
②当t≤0时,f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=﹣2,t3=0,
作出函数t=f(x)+1,直线t=t1、t=﹣2、t=0的图象如下图所示:
由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点,
直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点,
直线t=﹣2与t=f(x)+1的图象有且仅有一个交点,
综上所述,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.故选:D.
8.(5分)若α为锐角,,则csα=( )
A.B.C.D.
【解答】解:∵α为锐角,且,
∴csα=.故选:D.
二、多项选择题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.(5分)已知集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},则N可能为( )
A.{1,2,3,4,5}B.{4,5,6}C.{4,5}D.{3,4,5}
【解答】解:∵集合M={1,2,3,4,5},M∩N={4,5},
∴集合N中一定有元素4,5,一定没有元素1,2,3,
故A,D均错误,B,C均正确.故选:BC.
10.(5分)若函数y=x2﹣4x﹣4的定义域为[0,m],值域为[﹣8,﹣4],则实数m的值可能为( )
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:函数y=x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x=2,
当0≤m≤2时,函数在[0,m]上单调递减,x=0时取最大值﹣4,x=m时有最小值m2﹣4m﹣4=﹣8,解得m=2.
则当m>2时,最小值为﹣8,而f(0)=﹣4,由对称性可知,m≤4.
∴实数m的值可能为2,3,4.故选:ABC.
11.(5分)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是( )
A.f(x)=|x|B.f(x)=x﹣|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=﹣x
【解答】解:f(x)=|x|,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),故满足条件;
f(x)=x﹣|x|,f(2x)=2x﹣|2x|=2(x﹣|x|)=2f(x),故满足条件;
f(x)=x+1,f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),故不满足条件;
f(x)=﹣x,f(2x)=﹣2x=2(﹣x)=2f(x),故满足条件;故选:ABD.
12.(5分)如图,某湖泊的蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为100%
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60m2
D.若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有t1+t2=t3
【解答】解:由图可知,函数 y=at图象经过(1,2),即a1=2,则a=2,∴y=2t;
∴2t+1﹣2t=2t不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为100%,A对、B错;
当t=6时,y=26=64>60,C对;
若蓝藻面积蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则,,则t1+t2=t3,D对;故选:ACD.
三、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)已知lga﹣lgb=lg(a﹣b),则实数a的取值范围是 [4,+∞) .
【解答】解:∵lga﹣lgb=lg(a﹣b),∴,
∴,
∴a﹣=b,
∴a===b﹣1++2,
由a>b>0得,故b>1,
所以a+2=4,当且仅当b﹣1=,即b=2时等号成立,
故答案为:[4,+∞).
14.(5分)已知函数,x∈R,则函数f(x)的最大值是 1 ,且取到最大值时x的集合是 {x|x=2kπ,k∈Z} .
【解答】解:=sin(x+),
则当sin(x+)=1时,函数取得最大值1,此时x+=2kπ+,k∈Z,
即x=2kπ,k∈Z,即对应集合为{x|x=2kπ,k∈Z},
故答案为:1,{x|x=2kπ,k∈Z}.
15.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x﹣b|)≥f(|x|﹣2|x﹣1|)(a,b∈R)恒成立,则2a2+b2的最小值是 .
【解答】解:如图,作出函数y=||x|﹣2|x﹣1||的图象,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(a+|x﹣b|)≥f(|x|﹣2|x﹣1|)(a,b∈R)恒成立,
∴y=|a+|x﹣b||的图象始终在y=||x|﹣2|x﹣1||的上方,
∴x=0时,a+|b|≥2且b≥0,所以,
∴,当且仅当“”时取等号.
故答案为:.
16.(5分)已知a∈R,b>0,若存在实数x∈[0,1),使得|bx﹣a|≤b﹣ax2成立,则的取值范围是 .
【解答】解:由于b>0,故不等式两边同除以b,得,令,即不等式|x﹣t|≤1﹣tx2在x∈[0,1)上有解,
去绝对值即得tx2﹣1≤x﹣t≤1﹣tx2,即,即在x∈[0,1)上有解,
设,即t≥f(x)min且t≤g(x)max即可,
由在x∈0,1)上,x+1∈1,2),,即,故t≥f(x)min=﹣1;
由,利用基本不等式,
当且仅当即时等号成立,故,即,故,
综上,t的取值范围为,即的取值范围为.
故答案为:.
四、解答题.(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A是否为双元素集合,并说明理由;
【解答】证明:(1)∵数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则.
2∈A,
∴=﹣1∈A,
=,
∈A,
∴A中还有另外两个元素﹣1,.
解:(2)∵x∈A,,,
,,,
故集合A中至少有3个元素,
∴集合A不是双元素集合.
18.(10分)讨论在(0,+∞)上的单调性.
【解答】解:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则
=.
∵x1,x2∈(0,+∞),∴x1x2>0.
∵x1<x2,∴x2﹣x1>0.
①若a<0,则x1x2﹣a>0,
∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②若a>0,则当时,x1x2﹣a<0,
∴f(x2)﹣f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当时,x1x2﹣a>0,
∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
综上可知,当a<0时,在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,在上单调递减,在上单调递增.
19.(12分)已知函数f(x)=2sinxsin(x+)(x∈R).
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅲ)若y=f(x+φ)(0<φ<)为偶函数,求φ的值.
【解答】解:(Ⅰ)由,得f(0)=2sin0sin;
(Ⅱ)∵=2sinxcsx=sin2x,
∴f(x)的最小正周期为π;
(Ⅲ)∵y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数,
∴对任意x∈R都有sin(﹣2x+2φ)=sin(2x+2φ),
即﹣sin2xcs2φ+cs2xsin2φ=sin2xcs2φ+cs2xsin2φ,
即sin2xcs2φ=0,∴cs2φ=0,
∵0<φ<,∴φ=.
20.(12分)设a∈[0,4],已知函数f(x)=,x∈R.
(Ⅰ)若f(x)是奇函数,求a的值;
(Ⅱ)当x>0时,证明:f(x)≤x﹣a+2;
(Ⅲ)设x1,x2∈R,若实数m满足f(x1)•f(x2)=﹣m2,证明:f(m﹣a)﹣f(1)<.
【解答】(Ⅰ)解:由题意,对任意x∈R,都有f(﹣x)=﹣f(x),
即=﹣,即﹣4x﹣a=﹣4x+a,
可得a=0.
(Ⅱ)证明:因为x>0,a∈[0,4],
﹣(x﹣a+2)=
=﹣[ax(x2﹣2x+1)+4(x2﹣2x+1)]
=﹣(ax+4)(x﹣1)2≤0,
所以f(x)≤x﹣a+2.
(Ⅲ)证明:设t=4x﹣a,则y=f(x)==(t∈R),
当t=0,y=0;
当t≠0时,y=,
所以f(x)max=>0,
f(x)min=<0,
因为f(x1)•f(x2)=﹣m2,
所以﹣m2≥f(x)max•f(x)min=﹣4,
即﹣2≤m≤2,
①当m﹣a≤0时,f(m﹣a)≤0,f(1)=≥0,
所以f(m﹣a)﹣f(1)<;
②当m﹣a>0时,由(Ⅱ)知,
f(m﹣a)﹣f(1)≤(m﹣a)﹣a+2﹣=(m﹣a﹣1)≤(1﹣a)≤,等号不能同时成立.
综上可知,f(m﹣a)﹣f(1)<.
21.(12分)如图所示,摩天轮的半径为40m,O点距地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向作匀速转动,且每2min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点.
(Ⅰ)试确定点P距离地面的高度h(单位:m)关于旋转时间t(单位:min)的函数关系式;
(Ⅱ)在摩天轮转动一圈内,有多长时间P点距离地面超过70m?
【解答】解:(Ⅰ)建立平面直角坐标系,如图所示;
设φ(0≤φ≤2π)是以x轴正半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,
由题意知OP在t(min)内转过的角为t,即πt;
所以以x轴正半轴为始边,OP为终边的角为(πt+φ),
即点P的纵坐标为40sin(πt+φ),
由题意知φ=,
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为
h=50+40sin(πt+),
化简得h=50+40csπt;
(Ⅱ)当50+40csπt>70时,
解得2k﹣<t<2k+;
又0≤t≤2,
所以符合题意的时间段为0≤t<或<t≤2,
即在摩天轮转动一圈内,有min内P点距离地面超过70m.
22.(14分)如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0,且x≥0}.
(Ⅰ)若a=﹣1,b=2,求f(x)的定义域;
(Ⅱ)当a=1时,若f(x)为“同域函数”,求实数b的值;
(Ⅲ)若存在实数a<0且a≠﹣1,使得f(x)为“同域函数”,求实数b的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣1,b=2时,
由题意知,解得0≤x≤2,
所以f(x)的定义域为[0,2].
(Ⅱ)当a=1时,,
(i)当,即b≥0时,
f(x)定义域为[0,+∞),值域为[,+∞),
所以b≥0时,f(x)不是“同域函数”;
(ii)当时,即b<0,
当且仅当Δ=b2﹣8=0时,f(x)为“同域函数”,
所以,
综上可知,b的值为.
(Ⅲ)设f(x)定义域为A,值域为B;
(i)当a<﹣1时,a+1<0,
此时0∉A,0∈B,从而A≠B,
所以f(x)不是“同域函数”;
(ii)当﹣1<a<0时,a+1>0,
设,则f(x)定义域为[0,x0],
①当时,即b≤0时,f(x)值域为B=[0,],
若f(x)为“同域函数”,则x0= ,从而,
又因为﹣1<a<0,所以b的取值范围为(﹣1,0).
当时,即b>0,f(x)值域为B=.
若f(x)为“同域函数”,则,
从而,.(*)
此时,由可知(*)式不能成立;
综上可知,b的取值范围为(﹣1,0).
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
日期:2022/1/1 11:32:04;用户:高中数学;邮箱:sdgs@xyh.cm;学号:28144983
2020-2021学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷: 这是一份2020-2021学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷,共15页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省台州市高二(上)期末数学试卷: 这是一份2020-2021学年浙江省台州市高二(上)期末数学试卷,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷: 这是一份2020-2021学年浙江省绍兴市高一(上)期末数学试卷,共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。