2020-2021学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题Ⅰ，选择题Ⅱ，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∪B＝（ ）
A．{3}B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，3，4，5}D．{1，2}
2．（5分）求值：sin150°＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
3．（5分）下列函数中是奇函数且在区间（﹣1，0）上是增函数的是（ ）
A．y＝2﹣xB．C．y＝x﹣2D．y＝sinx
4．（5分）已知，，则“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设lg3＝a，lg5＝b，则lg212的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x）且在区间[0，+∞）单调递减，f（x）的部分图象如图所示，则不等式f（x）≥|2x﹣1|的解集为（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]
7．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为（ ）
A．B．3C．8D．9
8．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤），满足且对于任意的x∈R都有f（x）＝f（﹣x），若f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
二、选择题Ⅱ：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，B．∃x＞0，lnx＝x
C．∀x∈R，x2+x≥﹣1D．∃x＞0，x2＝2x
10．（5分）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（x）为R上的单调递增函数，则f（x）的值域为R
B．若对于任意的x都有f（x）＝﹣f（x+2），则f（x+4）＝f（x）
C．若存在n个xi（1≤i≤n，n≥2，i∈N*），使得f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）成立，则f（x）在R上单调递增
D．f（x）一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和
12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2+2ax+a（a∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不同的实数根，则a＜0或4＜a＜8
B．若方程有两个不同的实数根，则4＜a＜8
C．若方程有4个不同的实数根，则a＞8
D．若方程有4个不同的实数根，则a＞4
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算：＝ ．
14．（5分）已知角α的终边过点P（t，﹣3），且csα＝，则t的值是 ．
15．（5分）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣五险一金（个人缴纳部分）﹣累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为 ．
16．（5分）已知函数，当x∈[﹣1，1]时，恒成立，则a+b的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣2＞0}．
（Ⅰ）求∁RA，A∩B；
（Ⅱ）若集合C＝{x|3x+a＞0}，满足A∪C＝C，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知，．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）求cs3α的值．
19．（12分）第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品、新技术、新服务首发首展．某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机．生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1000万元，每生产x千台压缩机，需另投入资金y万元，且，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完．
（Ⅰ）求2021年该企业年利润z（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（Ⅱ）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润＝销售额﹣成本）
20．（12分）已知函数，其最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x），求函数y＝g（x）在区间上的值域．
21．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若同时满足以下条件：①y＝f（x）在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使y＝f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么我们把函数y＝f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）判断函数g（x）＝3x﹣3x是不是闭函数？若是，请找出区间[a，b]；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若h（x）＝ln（e2x+m）为闭函数，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）．
22．（12分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）＝ax2+（2a﹣b）x．
（Ⅰ）若函数y＝f（x）在[﹣1，1]上有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|≤|2a﹣b|+a．
2020-2021学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∪B＝（ ）
A．{3}B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，3，3，4，5}D．{1，2}
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．
故选：B．
2．（5分）求值：sin150°＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°＝．
故选：C．
3．（5分）下列函数中是奇函数且在区间（﹣1，0）上是增函数的是（ ）
A．y＝2﹣xB．C．y＝x﹣2D．y＝sinx
【解答】解：对于A，y＝2﹣x为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于B，显然y＝x+为奇函数，且在（﹣1，0）上为减函数，不符合题意；
对于C，y＝x﹣2为偶函数，不符合题意；
对于D，y＝sinx为奇函数，且在（﹣1，0）上是增函数，符合题意．
故选：D．
4．（5分）已知，，则“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为，，
若α＝β，则2α＝2β且0＜2α＜π，0＜2β＜π，则sin2α＝sin2β，故“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的充分条件，
不妨取，此时sin2α＝sin2β，但是α≠β，故“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的不必要条件．
故“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）设lg3＝a，lg5＝b，则lg212的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由换底公式可知lg212＝＝＝＝．
故选：C．
6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x）且在区间[0，+∞）单调递减，f（x）的部分图象如图所示，则不等式f（x）≥|2x﹣1|的解集为（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]
【解答】解：由f（﹣x）＝f（x）得函数为偶函数，
作出函数f（x）和g（x）＝|2x﹣1|的图象如图：
当x≥0时，f（1）＝g（1）＝1，
要使f（x）≥|2x﹣1|，则0≤x≤1，
当x＜0时，g（﹣2）＝|2﹣2﹣1|＝0.75，f（﹣2）＝g（﹣2）＝0.75，
要使f（x）≥|2x﹣1|，则﹣2≤x＜0，
综上﹣2≤x≤1，
即不等式的解集是[﹣2，1]，
故选：B．
7．（5分）已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为（ ）
A．B．3C．8D．9
【解答】解：已知a＞0，b＞0，且，
则＝（）（2a+）＝4+2ab++1＝5+2ab+≥5+2＝9，
当且仅当2ab＝且时取等号，
则的最小值为9．
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤），满足且对于任意的x∈R都有f（x）＝f（﹣x），若f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【解答】解：∵函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），
满足＝Asin（﹣+φ），∴﹣+φ＝kπ，k∈Z①．
∵对于任意的x∈R都有，故f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴+φ＝nπ+，n∈Z②．
∴②﹣①可得 +＝（n﹣k）π+，即ω＝2（n﹣k）+1，即ω等于π的奇数倍．
若f（x）在上单调，则•≥﹣，求得ω≤12．
当ω＝11时，由①可得﹣+φ＝kπ，k∈Z，结合|φ|≤，
可得φ＝﹣，此时，f（x）＝Asin（11x﹣），当x∈，11x﹣∈（，），
故不满足f（x）在上单调，故ω＝11不满足条件．
当ω＝9时，f（x）＝Asin（9x+φ），由①可得﹣+φ＝kπ，k∈Z，结合|φ|≤，
可得φ＝ 或φ＝﹣，满足f（x）在上单调，也满足③．
故ω的最大值为9，
故选：C．
二、选择题Ⅱ：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）下列命题是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，B．∃x＞0，lnx＝x
C．∀x∈R，x2+x≥﹣1D．∃x＞0，x2＝2x
【解答】解：对于A：当x＞0时，满足，当且仅当x＝1时，等号成立，
当x＜0时，满足x+＝﹣（﹣x﹣）≤﹣2＝﹣2，
当且仅当x＝﹣1时，等号成立，故A错误；
对于B：由于函数y＝x和函数y＝lnx的图象，
如图所示：
不存在实数，使lnx＝x．故B错误；
对于C：由于x2+x≥﹣1，整理得，故C正确；
对于D：当x＝2或4时，x2＝2x成立，故D正确；
故选：CD．
10．（5分）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，故A正确；
＝sin40°cs60°+cs40°sin60°＝sin100°＝sin80°，故B错误；
＝，故C正确；
tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝2﹣，故D正确．
故选：ACD．
11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（x）为R上的单调递增函数，则f（x）的值域为R
B．若对于任意的x都有f（x）＝﹣f（x+2），则f（x+4）＝f（x）
C．若存在n个xi（1≤i≤n，n≥2，i∈N*），使得f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）成立，则f（x）在R上单调递增
D．f（x）一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和
【解答】解：对于A：f（x）为R上的单调递增函数，函数的定义域确定函数的值域，
例如f（x）＝2x，f（x）的值域为（0，+∞），故A错误；
对于B：对于任意的x都有f（x）＝﹣f（x+2），即f（x+2）＝﹣f（x），
整理得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故B正确；
对于C：对任意的n个xi（1≤i≤n，n≥2，i∈N*），使得f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）恒成立，
则f（x）在R上单调递增，故C错误；
对于D：令F（x）＝，G（x）＝，
f（x）的定义域关于原点对称，定义域为R，
又F（﹣x）＝，G（﹣x）＝，
又f（x）＝F（x）+G（x），
所以f（x）一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，故D正确；
故选：BD．
12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2+2ax+a（a∈R），则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不同的实数根，则a＜0或4＜a＜8
B．若方程有两个不同的实数根，则4＜a＜8
C．若方程有4个不同的实数根，则a＞8
D．若方程有4个不同的实数根，则a＞4
【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，f（0）＝0，
当x＞0时，﹣x＜0，，
∴，
综上，，
若x＝0是方程的一个根，则a＝0，
此时，即f（x）＝0，
而，在R上单调递减，
当a＝0时，原方程有一个实根．
当x＜0时，，
∴x2+ax+a＝0，当x＝﹣1时不满足，
∴，
当x＞0时，，
∴x2﹣ax+2a＝0，当x＝2时不满足，
∴，如图：
若方程有两个不同的实数根，则a＜0或4＜a＜8；
若方程有4个不同的实数根，则a＞8．
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算：＝ ﹣π ．
【解答】解：原式＝．
故答案为：﹣π．
14．（5分）已知角α的终边过点P（t，﹣3），且csα＝，则t的值是 4 ．
【解答】解：角α的终边过点P（t，﹣3），且csα＝＝，则t＝4，
故答案为：4．
15．（5分）个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣五险一金（个人缴纳部分）﹣累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为 1790元 ．
【解答】解：需要交费的金额30000﹣5000﹣6000﹣2000﹣1000＝16000元，
第一级数交费3000×3%＝90，剩余16000﹣3000＝13000元
第二级数交费9000×10%＝900元，剩余16000﹣12000＝4000元，
第三级数交费4000×20%＝800，
合计90+900+800＝1790元，
故答案为：1790元．
16．（5分）已知函数，当x∈[﹣1，1]时，恒成立，则a+b的最大值为 2 ．
【解答】解：函数＝a（x2﹣）+•b≥﹣对x∈[﹣1，1]恒成立，
令x2﹣＝，则x＝﹣或x＝1，
故f（﹣）＝﹣﹣≥﹣，得a+b≤2，
当a＝，b＝时，f（x）＝x2+x﹣满足．
则a+b的最大值为2．
故答案为：2．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣2＞0}．
（Ⅰ）求∁RA，A∩B；
（Ⅱ）若集合C＝{x|3x+a＞0}，满足A∪C＝C，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴∁RA＝{x|x＜2或x＞3}，；
（Ⅱ）∵A∪C＝C，∴A⊆C，且，
∴，即a＞﹣6，
∴a的取值范围为（﹣6，+∞）．
18．（12分）已知，．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）求cs3α的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以csα＜0，csα＝﹣＝﹣，
sin2α＝2sinαcsα＝﹣．
（Ⅱ）cs2α＝cs2α﹣sin2α＝，
cs3α＝cs（α+2α）＝csαcs2α﹣sinαsin2α＝﹣×﹣×（﹣）＝﹣．
19．（12分）第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品、新技术、新服务首发首展．某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机．生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1000万元，每生产x千台压缩机，需另投入资金y万元，且，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完．
（Ⅰ）求2021年该企业年利润z（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（Ⅱ）2021年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润＝销售额﹣成本）
【解答】解：（Ⅰ）由题意知当0＜x＜40时，
z＝899x﹣（10x2+299x）﹣10000＝﹣10x2+600x﹣1000，
当x≥40时，z＝899x﹣﹣1000＝﹣（x+）+8450，
即z＝．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0＜x＜40时，z＝﹣10x2+600x﹣1000＝﹣10（x﹣30）2+8000，
当x＝30时，最大值z＝8000万元；
当x≥40时，z＝﹣（x+）+8450≤8450﹣2＝8450﹣200＝8250，当且仅当x＝100时取等号，
所以当x＝100时，8250＞8000，
综上当x＝100时最大值为8250万元，
所以2021年产量为100（千台）时，企业所获年利润最大为8250万元．
20．（12分）已知函数，其最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x），求函数y＝g（x）在区间上的值域．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数
＝cs2ωx﹣2sinωxcsωx
＝cs2ωx﹣sin2ωx＝2cs（2ωx+），
故它的周期为＝π，∴ω＝1，f（x）＝2cs（2x+）．
令 2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得 kπ﹣≤x≤kπ﹣，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．
（Ⅱ）把f（x）＝2cs（2x+） 的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）＝2cs（2x﹣） 的图象，
当x∈，2x﹣∈（﹣，），﹣＜cs（2x﹣）≤1，﹣＜g（x）≤2，
所以，函数g（x）的值域为（﹣，2]．
21．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若同时满足以下条件：①y＝f（x）在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使y＝f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么我们把函数y＝f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）判断函数g（x）＝3x﹣3x是不是闭函数？若是，请找出区间[a，b]；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若h（x）＝ln（e2x+m）为闭函数，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）．
【解答】解：（Ⅰ）因为g（x）＝3x﹣3x，所以g（﹣1）＝3，g（1）＝0，
g（2）＝32﹣3×2＝3，所以g（﹣1）＞g（1），g（1）＜g（2），
所以函数g（x）不是单调函数
故函数g（x）不是闭函数；
（Ⅱ）由复合函数的单调性可知函数h（x）在定义域上单调递增，
又因为函数h（x）是闭函数，
所以当x∈[a，b]时，y∈[a，b]，
所以，即，
所以a，b是方程e2x﹣ex+m＝0的两根，
令t＝ex∈（0，+∞），且在R上单调递增，
则方程t2﹣t+m＝0在（0，+∞）上有两个不同的实根，
则m＝﹣t2+t，令h（t）＝﹣t2+t显然在（0，]上单调递增，在[）上单调递减，
所以当t＝时，h（t），
所以m．
22．（12分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）＝ax2+（2a﹣b）x．
（Ⅰ）若函数y＝f（x）在[﹣1，1]上有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|≤|2a﹣b|+a．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ax2+（2a﹣b）x＝0，
得x＝0或x＝，则，
即，所以∈[1，2）∪（2，3]．
（Ⅱ）先证f（x）≤|2a﹣b|+a．
因为f（x）＝ax2+（2a﹣b）x，
所以f（1）＝3a﹣b，f（﹣1）＝﹣a+b，f（1）﹣f（﹣1）＝4a﹣2b，
因为a＞0，所以f（x）max＝max{f（1），f（﹣1）}＝＝|2a﹣b|+a，
即f（x）≤|2a﹣b|+a成立；
下证f（x）≥﹣|2a﹣b|﹣a，
因为f（x）＝ax2+（2a﹣b）x，对称轴为x＝，
①当x＝≤﹣1，即b≤0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
所以f（x）min＝f（﹣1）＝﹣a+b，f（x）min+|2a﹣b|+a＝﹣a+b+2a﹣b+a＝2a＞0；
②当x＝≥1，即b≥4a时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，
所以f（x）min＝f（1）＝3a﹣b，f（x）min+|2a﹣b|+a＝3a﹣b+b﹣2a+a＝2a＞0；
③当﹣1＜＜1，即0＜b＜4a时，f（x）min＝f（）＝，
所以f（x）min+|2a﹣b|+a＝+|2a﹣b|+a＝，
当0＜b≤2a时，f（x）min+|2a﹣b|+a＞0，
当2a＜b＜4a，
令h（b）＝﹣b2+8ab﹣8a2，在（2a，4a）单调递增，
又因为h（2a）＝4a2＞0，所以f（x）min+|2a﹣b|+a＞0，
综上当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|≤|2a﹣b|+a．
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日期：2022/1/1 11:33:13；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983级数
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