专题05 立体几何初步（重点）

这是一份专题05 立体几何初步（重点），文件包含专题05立体几何初步重点原卷版doc、专题05立体几何初步重点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
专题05立体几何初步（重点）
一、单选题
1．设m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】
根据直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，直线与平面平行的判定定理可判断．对于A，若，，则与相交，平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则与平行或异面，故B错误；
对于C，m有可能在平面内，故C错误；
对于D，根据直线与平面平行的判定定理可知D是正确的.
故选：D
2．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意画出图形，结合图形找出的外心及外接圆的半径，结合题意，找到三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积.因为，
所以的外接圆的半径3，其外接圆的圆心为其斜边的中点，
三棱锥中，平面ABC，

所以，作平面，并且取，
所以点是三棱锥的外接球的球心，
连结，则有，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：求外接球半径的常用方法：
（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；
（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个正方形，则原来图形的形状是()

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
利用斜二测画法直接转化即可.直观图中正方形的对角线长为，故在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件.
故选：A．
【点睛】
斜二测直观图是高中立体几何的一种常见用图.以原来的图形参数为蓝本，将图形的底边保持不变，高变为原来的1/2，90°角自动更改为45°角，这样得到的就是斜二测直观图.
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）

A． B．- C．2 D．
【答案】A
【解析】
如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角．解：如图所示，

分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
5．将如图的平面图形折成正方体，则在这个正方体中，正确的是（ ）

A．， B．，
C．，与所成的角为 D．，与所成的角为
【答案】D
【解析】
作出图形，证明出平面，可判断出与的位置关系，利用异面直线所成角的定义可求出与所成的角，由此可得出合适的选项.作出翻折后的正方体如下图所示：

在正方体中，四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，，
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，所以，异面直线与所成的角为，
易知为等边三角形，所以，，
因此，与所成的角为.
故选：D.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6．如图，正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）

A．
B．异面直线与不可能垂直
C．不可能是直角或者钝角
D．的取值范围是
【答案】D
【解析】
在正方体中根据线面垂直可判断A，根据异面直线所成角可判断B，由余弦定理可判断CD.如图，

设正方体棱长为2，
在正方体中易知平面，为线段上的动点，则平面,所以 ，故A正确；
因为异面直线与所成的角即为与所成的角，在中不可能与垂直，所以异面直线与不可能垂直，故B正确；
由正方体棱长为2，则，
所以由余弦定理知，即不可能是直角或者钝角，故C正确；
设，则，，
由余弦定理，，
当时，，所以为钝角，故D错误.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.
7．在直角三角形中，，D的斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
取中点，连接，，若，则可证明出平面，则可得，根据题目中各边长的关系可得出，关于的表达式，然后在中，利用三边关系求解即可．由题意得，则，如图所示，取中点，

翻折前，在图1中，连接，，则，
翻折后，在图2中，若，则有：
∵，，，且平面，
∴平面，∴，
又，为中点，∴
∴，，
在中，由三边关系得：①，②，③；
由①②③可得
当时，，则三点共线，同时满足，
所以
故选：D.
【点睛】
解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线与，根据题目条件确定出平面，得到，从而通过几何条件求解．
8．正方体的棱长为1，M，N为线段BC，上的动点，过点，M，N的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的个数是（ ）
①当且时，S为等腰梯形；②当M，N分别为BC，的中点时，几何体的体积为；③当M，N分别为BC，的中点时，异面直线AC与MN成角60°；④无论M在线段BC任何位置，恒有平面平面
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
根据异面直线的夹角及平面与平面垂直的判定,四棱锥体积公式可依次判断选项.对于①,当时,与重合,, 过点,的平面截正方体所得截面如下图所示:

由平面与平面平行的性质可知且,
则截面为等腰梯形,所以①正确;
对于②,当M,N分别为BC,的中点时,位置关系如下图所示:

作,
因为,且
所以平面
所以为四棱锥的高
则,
此时
则
所以四棱锥的体积为,所以②正确;
对于③,当M,N分别为BC,的中点时,连接

由M,N分别为BC,的中点,可知
则与所成的角即为异面直线与所成的角.
根据正方体的性质可知,为等边三角形,即
因而异面直线与所成的角为,所以③正确;
对于④无论M在线段BC任何位置,平面即为平面
因为且
所以平面
而平面
所以平面平面
即平面平面
所以④正确.
综上可知,正确的有①②③④
故选:D
【点睛】
本题考查了空间中平面与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,四棱锥的体积求法,综合性强,对空间想象能力和空间思维能力要求高,属于难题.二、多选题
9．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）

A．的边上的高为2 B．的边上的高为4
C． D．
【答案】BD
【解析】
过作轴，交轴于点，即可求出相关量，画出原图，即可判断.如图，过作轴，交轴于点，
则可得，又与轴垂直，且，则,
则在原图中，，且，即的边上的高为4，
又在上，可得.
故选：BD.

【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是过作轴，交轴于点，根据题意画出原图.
10．下列叙述错误的是（ ）
A．在正方体中，平面与平面只有一个公共点
B．若三个平面两两相交，则这三个平面可以把空间分成六或七部分
C．若直线l不平行于平面，且，则内的所有直线与l都不平行
D．若直线c和d是异面直线，直线a，b与c，d都相交，则a，b一定是异面直线
【答案】ABD
【解析】
两个平面相交时，有无穷多个交点，且它们共线，可判断A，三个平面两两相交时，可以把空间分成六或七部分或八部分，可判断B，若直线l不平行于平面，且，则直线l与平面相交，可判断C，在长方体中选择直线可判断D.两个平面相交时，有无穷多个交点，且它们共线，故A错误
三个平面两两相交时，可以把空间分成六或七部分或八部分，如下图：

故B错误
若直线l不平行于平面，且，则直线l与平面相交，内的所有直线与l都不平行，故C正确
如下图，在长方体中，与是异面直线，与，都相交
但不是异面直线，故D错误

故选：ABD
11．如图，设分别是正方体的棱上两点，且，下列说法正确的是（ ）

A．异面直线与所成的角为
B．三棱锥的体积为3
C．平面与平面所成的二面角大小为
D．直线与平面所成的角为
【答案】ABD
【解析】
根据异面直线所成的角、棱锥的体积、二面角、直线与平面所成的角分别对各选项进行判断．A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A正确；
B中，三棱锥的体积，B正确；
C中，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C错误；
D中，连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．
故选：ABD．

【点睛】
思路点睛：求空间的角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题时可根据定义作出空间角的“平面角”，然后计算．
12．如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）

A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为8
C．的取值范围是
D．若，E为线段上的动点，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D.在中，，则圆锥的母线长，半径，
对于A，圆锥的侧面积为：，故A正确；
对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，故B错误；
对于C，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与不重合，则，又，可得，故C错误；
对于D，由，得，又，则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图可知，

因为，
，
则，故D正确；
故选：AD.
【点睛】
关键点睛：取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将以为轴旋转到与共面是解决求的最小值的关键，考查学生的想象能力与运算求解能力，属于较难题.
三、填空题
13．在正方体中，点P，Q分别为的中点，过点D作面使得,若直线，则_______．
【答案】
【解析】
如图，分别取的中点，连接，则可证得平面就是平面，再利用三角形中位线的性质可得结果解：如图，分别取的中点，连接，则，，
因为为的中点，所以，
因为，∥，
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，同理可得∥平面，
所以平面即为平面，
连接，由题知，
因为分别为所在棱中点，
所以∥，
所以点为线段的四等分点，且靠近点，
所以，
故答案为：

14．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为4，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【解析】
根据的面积求出，根据与圆锥底面所成角为求出圆锥的高和底面半径，再根据圆锥的体积公式可求出结果.因为，且，
所以，
所以圆锥的高，底面半径，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
15．设有下列四个命题：
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
过空间中任意三点有且仅有一个平面.
若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
若直线平面a，直线平面a，则.
则上述命题中所有真命题的是___________.
【答案】
【解析】
对于利用公理：不共线的三点确定一个平面可判断，对于由空间两直线的位置关系判断即可，对于由线面垂直的性质判断即可解：对于，由于三条直线两两相交不过同一点，所以由公理：不共线的三点确定一个平面可知这三条直线必在同一个平面，所以命题是正确的；
对于，当空间中的三点在同一条直线上时，过这三点有无数个平面，所以命题错误；
对于，由空间中两直线的位置关系可知，当空间中的两条直线不相交时，则这两条直线平行或异面，所以命题错误；
对于，因为直线平面a，直线平面a，所以，所以命题正确，
故答案为：
16．如图，已知在正方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：
①无论在如何移动，四棱锥的体积恒为定值；
②截面四边形的周长的最小值是；
③当点不与，重合时，在棱上恒存在点，使得平面；
④存在点，使得平面；其中正确的命题是______．

【答案】①②④
【解析】
由题意逐个讨论所给的命题，判断它们的真假.第一个根据等体积法求体积，第二个求周长函数关系式，再求最小值，第三个利用反证法确定真假，第四个举例说明存在.
解:①由题意可得∥，∥，如图建立坐标系:
，四边形为平行四边形


又（ 为到平面距离）且
上点到平面距离相等
无论在上何处，不变
不变
不变
故①正确
②由①知：四边形的周长
设，则，
等价于上点到与距离
此时

周长最小为
故②正确
③在上寻找一点，使到的距离为距离
∥，且在平面中
但当时，，与矛盾
故③错误;
④当与重合时，显然，
平面
故④正确
综上可得:正确为①②④.
故答案为:①②④.
【点睛】
考查正方体的性质、线面垂直的判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.四、解答题
17．如图，长方体中，，P是棱上的动点．

（1）若E，F分别是的中点，证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）6；
【解析】
（1）证明即可得到线面平行；
（2）直接利用三棱锥的体积公式进行求解；（1）E，F分别是的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）作于，则为三棱锥的高，且，
；
【点睛】
本题考理线面平行判定定理的运用，三棱锥体积的求解，考查基本运算求解能力.
18．如图，在三棱锥中，分别为的中点，求证：

（1）∥平面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）由三角形中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由于∥，，可得，而，为的中点，可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，进而可证得结论证明：（1）因为分别为的中点，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面；
（2）因为，所以，
因为∥，
所以，
因为，为的中点，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以
19．如图，在直三棱柱中，，，，，点为的中点．

（1）求三棱锥的体积．
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）4；（2）.
【解析】
（1）利用即可求解；
（2）容易证明平面，进而由线面角的定义即可求解；解：（1）三棱柱是直三棱柱，
平面，
，，，所以，所以，
又是的中点，
，
又，
．
（2）由（1）知，又平面，所以，
，
平面，
为直线与平面所成角，
在中，，，，
，即直线与平面所成角的余弦值为.
20．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，.

（Ⅰ）若是与的交点，求证：平面；
（Ⅱ）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（1）连接与交于点，可证得，,从而得证；
（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可.（1）连接与交于点，连.
，，且是和的中点，
，,和为平面内的两条相交直线，
平面.
（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），
根据题意得
所以，，
所以，
故

21．如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：


（1）证明：；
（2）求直线EF与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
（1）运用几何法，则需要通过证明线面垂直实现；
（2）取中点，连接､，在平面上的射影在直线上，连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，可求得直线与平面所成角的余弦值．
（3）过点B作于H，连接AH， 在平面的射影是，利用射影面积法可求得二面角的正弦函数值．证明：（1）连接，，是的中点，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面，，
，，，
，平面，
.


（2）取中点，连接､，则是平行四边形，
由于平面，故，平行四边形是矩形，
由（1）得平面，则平面平面，
在平面上的射影在直线上，
连接，交于，则是直线与平面所成角(或其补角)，
不妨设，则在△中，，，
是的中点，故，，
直线与平面所成角的余弦值为.
（3）过点B作于H，连接AH，因为平面平面ABC，所以平面，所以在平面的射影是，
设二面角为，由图示知为锐角，
在中，，设，所以，，
在中，，
．
所以二面角的正弦值为．

【点睛】
思路点睛：线面角的二种求法：
1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.
2. 向量法：直线a的方向向量和平面的法向量分别为和.直线a的方向向量和平面所成的角θ满足:
22．如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.

（1）若平面交平面于直线，求证：；
（2）若直线平面，
①求三棱锥的表面积；
②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）答案见详解；（2）①；②作图步骤见解析，三棱锥 的体积为．
【解析】
（1）根据面面平行的性质即可得到，再结合线线平行的传递性即可证明结论；
（2）①先根据直线平面得到，进而得到是的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥的表面积；②根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面与正方体各个面的交线即可；根据四点共面，且三角形与三角形面积相等，那么三棱锥的体积等于三棱锥的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．（1）在正方体中，
因为平面平面，平面平面，
所以，
因为点、 分别是棱、 的中点，
所以，
所以．
（2）①因为直线平面，平面，
所以，又因为△，
所以，
所以，
因为，
，
，
所以三棱锥的表面积为．
②作图步骤如下：
连接，过点作于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点交的延长线于点，
再连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，再连接，，，
则图中，，，，，即为平面与正方体各个面的交线．

设，由题知
，
所以，所以，
解得，
因为，
，，
所以，

如上图，设为线段的中点，可证点在平面内，且三角形与三角形面积相等，
所以，三棱锥的体积三棱锥的体积三棱锥的体积，
所以三棱锥 的体积为．
【点睛】
本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题．