这是一份2021年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷（理科）
2021年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合A＝{x∈Z|x>−1}，集合B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝（ ） A.{x|−1
b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ） A.[，] B.[，1) C.[，−1] D.[，] 12. 若对于任意的正实数x，y都有(2x−ye)*lnyx≤xme成立，则实数m的取值范围为（ ） A.(1e，1) B.(1e2，1brack C.(1e2，ebrack D.(0,1ebrack 二、填空题 实数x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by(a>0, b>0)的最大值为4，则ab的最大值为________． 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an−1(n∈N*)，设bn＝1+log2an，则数列{}的前n项和Tn＝________． 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当2k1k2+lnk1+lnk2最小时，双曲线的离心率为________． 设直线l1，l2分别是函数f(x)＝|lnx|，(x≠1)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是________． 三、解答题 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，acosB＝(2c−b)cosA． （1）求角A的大小； （2）求△ABC周长的范围． 如图，四边形ABCD是矩形，平面MCD⊥平面ABCD，且MC＝MD＝CD＝4，BC＝42，N为BC中点． （1）求证：AN⊥MN； （2）求二面角A−MN−C的大小． 某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产--腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：[1, 3),[3, 5),[5, 7),[7, 9),[9, 11]，统计结果如表所示： （1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布N(μ, σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2≈2.12．若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间(1.9, 8.2)内的户数．（每区间数据用该区间的中间值表示） （2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为．每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元．求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σb>0的一个焦点与抛物线E:x=312y2的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y=bax相交于P，Q两点，且AP→⋅AQ→=0，OP→=3OQ→． （1）求椭圆C的标准方程和圆A的方程； （2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究S1+S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，函数g(x)=ax−1−blnx(a, b∈R, ab≠0) (1)讨论g(x)的单调性； (2)证明：当x≥0时，f(x)≤3x+1． (3)证明：当x>−1时，f(x)<(x2+2x+2)esinx． 在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为(t为参数，φ∈[0, π)）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为． （1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程； （2）设点P(x0, y0)圆心C(2x0, 2y0)，若直线l与圆C交于M，N两点，求的最大值． 已知函数f(x)＝|x|+|x+a|． （1）若存在x使得不等式f(x)≤3a−1成立，求实数a的取值范围； （2）若不等式f(x)≤3a−1的解集为[b, b+3]，求实数a，b的值． 参考答案与试题解析2021年江西省红色七校高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】∵ 集合A＝{x∈Z|x>−1}， 集合B＝{x|log2x<2}＝{x|00a>0e2−2ae+a>000， 设f(t)=(2e−t)lnt，(t>0) 则其导数f′(t)=−lnt+2et−1， 又由t>0，则f′(t)为减函数，且f′(e)=−lne+2ee−1=0， 则当t∈(0, e)时，f′(t)>0，f(t)为增函数， 当t∈(e, +∞)时，f′(t)<0，f(t)为减函数， 则f(t)的最大值为f(e)，且f(e)=e， 若f(t)=(2e−t)lnt≤1m恒成立，必有e≤1m， 解可得0a，所以4=n→⋅m→|n→⋅|m→|=22． 由图可知二面角A−MN−C为钝角，故二面A−MN−C的大小为135∘． 【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】（1）取CD的中点O，连接OA，OM，ON，推导出MO⊥CD，MO⊥平面ABCD，由此能证明AN⊥MN． （2）以O为原点，OM，OC所在直线分别为x轴、y轴，CD的垂直平分线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A−MN−C的大小．【解答】证明：取CD的中点O，连接OA，OM，ON， ∵ MC＝MD，O为CD中点，∴ MO⊥CD， 又∵ 平面MCD⊥平面BCD，MO⊂平面MCD， ∴ MO⊥平面ABCD， 则MO＝23，ON＝23，OA＝6，MN2＝MO2+ON2＝24， AN2＝BN2+AB2＝24，AM2＝MO2+OA2＝48， ∴ MN2+AN2＝AM2，∴ AN⊥MN．如图，以O为原点，OM，OC所在直线分别为x轴、y轴， CD的垂直平分线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． 则A(0, −2, 42)，C(0, 2, 0)，M(23, 0, 0)，N(0, 2, 22)， ∴ NM→=(23, −2, −22)，AM→=(23, 2, −42)，CM→=(23, −2, 0)． 设平面AMN的法向量为n→=(x, y, z)， 由AM→⋅n→=23x+2y−42z=0NM→⋅n→=23x−y−22z=0 ，令z＝2，可得n→=(6,2,2)． 同理可得平面MNC的一个法向量为m→=(1, 3, 0)． ∴ cos=n→⋅m→|n→⋅|m→|=22． 由图可知二面角A−MN−C为钝角，故二面A−MN−C的大小为135∘． 【答案】由题意知 所以样本平均数为， 所以Z∼N(4.1, 2.42)．所以(μ−2σ, 7.2)， 而， 故1万户农户中，Z落在区间(1.3．设中奖次数为i，则i的可能取值为0，2，2，3，…，2． 则 所以．． 令，① 由，② 由①-②得， 所以， 所以（元）． 所以参与调查的某农户所获奖金X的数学期望为1020元．【考点】离散型随机变量的期望与方差正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】（1）解：如图，设T为PQ的中点，连结AT，则AT⊥PQ， ∵AP→⋅AQ→=0，即AP⊥AQ，∴AT=12PQ， 又∵OP→=3OQ→，∴OT=PQ，∴ATOT=12，∴ba=12， 由已知得c=3，∴a2=4，b2=1， ∴椭圆C的方程为x24+y2=1，∴A(2,0)， ∵AT2+OT2=OA2，∴AT2+4AT2=4，∴AT=255，∴r=AP=2510，∴圆A的方程为x−22+y2=85．（2）解：设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)， 由y=kx+m，x24+y2=1，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−1=0， ∴x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−11+4k2． 由题设知，k2=k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2+km(x1+x2)+m2x1x2，∴km(x1+x2)+m2=0，∴−8k2m21+4k2+m2=0，∵m≠0，∴k2=14，则 S1+S2=π4OM2+ON2=π4x12+y12+x22+y22=π4x12+1−x124+x22+1−x224=3π16x12+x22+π2=3π16x1+x22−2x1x2+π2=3π1664k2m21+4k22−8m2−11+4k2+π2=3π164m2−4m2−1+π2=54π.故S1+S2为定值，该定值为5π4．【考点】圆锥曲线【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：如图，设T为PQ的中点，连结AT，则AT⊥PQ， ∵AP→⋅AQ→=0，即AP⊥AQ，∴AT=12PQ， 又∵OP→=3OQ→，∴OT=PQ，∴ATOT=12，∴ba=12， 由已知得c=3，∴a2=4，b2=1， ∴椭圆C的方程为x24+y2=1，∴A(2,0)， ∵AT2+OT2=OA2，∴AT2+4AT2=4，∴AT=255，∴r=AP=2510，∴圆A的方程为x−22+y2=85．（2）解：设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)， 由y=kx+m，x24+y2=1，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−1=0， ∴x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−11+4k2． 由题设知，k2=k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2+km(x1+x2)+m2x1x2，∴km(x1+x2)+m2=0，∴−8k2m21+4k2+m2=0，∵m≠0，∴k2=14，则 S1+S2=π4OM2+ON2=π4x12+y12+x22+y22=π4x12+1−x124+x22+1−x224=3π16x12+x22+π2=3π16x1+x22−2x1x2+π2=3π1664k2m21+4k22−8m2−11+4k2+π2=3π164m2−4m2−1+π2=54π.故S1+S2为定值，该定值为5π4．【答案】(1)解：g(x)的定义域为(0, +∞)，g′(x)=ax−bx， 当a>0，b<0时，g′(x)>0，则g(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a>0，b>0时，令g′(x)>0，得x>ba， 令g′(x)<0，得00时，g′(x)<0，则g(x)在(0, +∞)上单调递减； 当a<0，b<0时，令g′(x)>0，得0ba， 则g(x)在(0,ba)上单调递增，在(ba,+∞)上单调递减；(2)证明：设函数h(x)=f(x)−(3x+1)，则h′(x)=2x+1+cosx−3． ∵ x≥0，∴ 2x+1∈(0,2], cosx∈[−1, 1]， 则h′(x)≤0，从而h(x)在[0, +∞)上单调递减， ∴ h(x)=f(x)−(3x+1)≤h(0)=0，即f(x)≤3x+1．(3)证明：当a=b=1时，g(x)=x−1−lnx． 由(1)知，g(x)min=g(1)=0， ∴ g(x)=x−1−lnx≥0，即x≥1+lnx． 当x>−1时，(x+1)2>0，(x+1)2esinx>0， 则(x+1)2esinx≥1+ln[(x+1)2esinx]， 即(x+1)2esinx≥2ln(x+1)+sinx+1， 又(x2+2x+2)esinx>(x+1)2esinx， ∴ (x2+2x+2)esinx>2ln(x+1)+sinx+1， 即f(x)<(x2+2x+2)esinx．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】（1）求出g(x)的定义域，导函数，对参数a、b分类讨论得到答案． （2）设函数h(x)＝f(x)−(3x+1)，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证． （3）由（1）可知x≥1+lnx，可得(x+1)2esinx≥1+ln[(x+1)2esinx]，即(x+1)2esinx≥2ln(x+1)+sinx+1又(x2+2x+2)esinx>(x+1)2esinx即可得证．【解答】(1)解：g(x)的定义域为(0, +∞)，g′(x)=ax−bx， 当a>0，b<0时，g′(x)>0，则g(x)在(0, +∞)上单调递增；当a>0，b>0时，令g′(x)>0，得x>ba，令g′(x)<0，得00时，g′(x)<0，则g(x)在(0, +∞)上单调递减；当a<0，b<0时，令g′(x)>0，得0ba，则g(x)在(0,ba)上单调递增，在(ba,+∞)上单调递减；(2)证明：设函数h(x)=f(x)−(3x+1)，则h′(x)=2x+1+cosx−3． ∵ x≥0，∴ 2x+1∈(0,2], cosx∈[−1, 1]，则h′(x)≤0，从而h(x)在[0, +∞)上单调递减，∴ h(x)=f(x)−(3x+1)≤h(0)=0，即f(x)≤3x+1．(3)证明：当a=b=1时，g(x)=x−1−lnx． 由(1)知，g(x)min=g(1)=0，∴ g(x)=x−1−lnx≥0，即x≥1+lnx．当x>−1时，(x+1)2>0，(x+1)2esinx>0，则(x+1)2esinx≥1+ln[(x+1)2esinx]，即(x+1)2esinx≥2ln(x+1)+sinx+1，又(x2+2x+2)esinx>(x+1)2esinx，∴ (x2+2x+2)esinx>2ln(x+1)+sinx+1，即f(x)<(x2+2x+2)esinx．【答案】圆C的极坐标方程为， 所以． 因为ρ2＝x2+y7，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， 所以， 所以圆C的直角坐标标准方程为．由（1）知圆C的圆心的直角坐标为， 则，所以， 所以直线l的参数方程为(t为参数，π)）． 将直线l的参数方程代入， 得． 设点M，N对应的参数分别为t8，t2， 则，t1t2＝−12， ＝， 因此，当时，取得最大值为．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】函数f(x)＝|x|+|x+a|≥|x−x−a|＝|a|， 即f(x)的最小值为|a|， 存在x使得不等式f(x)≤3a−1成立， 可得|a|≤6a−1，即1−3a≤a≤3a−1， 解得a≥；由（1）可得−a<0， f(x)＝， 作出y＝f(x)的图象， 由图象和题意可得： ， 解得a＝，b＝-． 【考点】函数与方程的综合运用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 所获纯利润（单位：万元）[1, 3)[3, 5)[5, 7)[7, 9)[9, 11]农户户数1015452010中间值243810概率0.80.150.455.20.4
