2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知i是虚数单位，a，b∈R，a+2i=(b−i)i，则复数a+bi的模为( )
A. 5B. 5C. 2D. 4
2.在公差不为0的等差数列{an}中，a3，a7，am是公比为2的等比数列，则m=( )
A. 11B. 13C. 15D. 17
3.按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法为( )
A. C2510A1010B. C156C104A4010C. C104D. A66A44
4.已知α，β为两个不重合平面，l，m为两条不同直线，则l/​/α的充分条件是( )
A. m⊥α，m⊥lB. l⊂β，β/​/α
C. m⊂α，l/​/mD. α⊥β，α∩β=m，l/​/m
5.已知|a|=5，b=(−1,2)，a在b上的投影向量为m=(−2,4)，则向量a与b夹角余弦值为( )
A. 2 55B. 55C. 25D. − 55
6.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子⋅离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足csα=13，则这块四边形木板周长的最大值为( )
A. 10( 30+ 15)3cm
B. 10( 30− 15)3cm
C. 10( 10+ 5)3cm
D. 10( 10− 5)3cm
7.若关于x的方程ax+2a+ 4x−x2=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. (− 3,0]B. (− 33,0]C. [0, 33)D. (−1,0]
8.双曲线C：x212−y24=1的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：3x+y−8=0对称，则|FA+FB|=( )
A. 2 2B. 4 2C. 2 3D. 4 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列命题正确的是( )
A. BD1⊥平面A1C1D
B. 四面体D1−AB1C的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1的体积的三分之一
C. 与正方体ABCD−A1B1C1D1所有棱都相切的球的体积为π3
D. BB1与平面A1C1D所成的角等于60°
10.函数f(x)=cs(πx+φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. φ=π6
B. x0=53
C. f(x)的图象的一个对称中心为(176,0)
D. 设函数g(x)=f(x)+f(x+13)，则g(x)在[−12,13]上的最小值为− 32
11.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−3)=f(5−x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x2.设函数g(x)=lg5|x−1|，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=1对称
B. f(x)的图象在x=72处的切线方程为y=−x+174
C. f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)=2
D. f(x)的图象与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为10
三、解答题：本题共8小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题5分)
已知tanα=2，则sinα⋅csα= ______．
13.(本小题5分)
洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{Ln}为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即L1=1，L2=3，且Ln+2=Ln+1+Ln(n∈N*).设数列{Ln}各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}，则a100= ______．
14.(本小题5分)
已知抛物线y=x24，经过焦点F斜率为k(k≠0)的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点C，则|AB||CF|的值为______．
15.(本小题13分)
某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如表(单位：人)
(Ⅰ)估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值；
(Ⅱ)求A班物理平均成绩的估计值；(同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数)
(Ⅲ)把成绩在[60,90]称为及格，成绩在[50,60)为不及格，根据所有数据完成下面2×2列联表，试根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(+d)
16.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，∠ABC=90°，AB=3DC=3BC，DE⊥AB于E，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，∠PEB=90°，N是棱BC上的动点(与点B，C不重合)．

(Ⅰ)判断在棱PB上是否存在一点M，使平面EMN⊥平面PBC，若存在，求BMBP；若不存在，说明理由；
(Ⅱ)当点F，N分别是PB，BC的中点时，求平面EFN和平面PDE的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+1，其中n∈N+．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在不同三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知a为常数，函数f(x)=xlnx+ax2．
(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在x=1处切线方程；
(Ⅱ)讨论函数f(x)的零点个数；
(Ⅲ)若函数f(x)有两个极值x1，x2(x119.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，B为上顶点，离心率为12，直线BF2与圆4x2+4y2−3=0相切．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过F2作直线l与椭圆C交于M、N两点，
(ⅰ)若MF2=λF2N(1<λ<2)，求△MON面积的取值范围；
(ⅱ)若l斜率存在，是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点P(x0,0)，使四边形PMQN为菱形？若存在，求x0，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意，a+2i=(b−i)i=1+bi，则a=1，b=2，
复数a+bi=1+2i的模为 1+4= 5．
故选：B．
列方程求出a，b，利用模长公式求解．
本题考查复数的模长公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：在公差不为0的等差数列{an}中，a3，a7，am是公比为2的等比数列，
所以2=a7a3=a1+6da1+2d，
所以a1=2d，
又ama7=a1+(m−1)da1+6d=(m+1)d8d=2，
则m=15．
故选：C．
由已知结合等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：按分层抽样的方法，应抽出6个红球，4个黑球，
由于红球相同，黑球相同，
则相当于将4个黑球排列在10个位置中，不同的排列方法为C104种．
故选：C．
根据题意，利用组合数即可得解．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A：由m⊥α，m⊥l，可得l/​/α或l⊂α，故A错误；
对于B：由l⊂β，β/​/α，可得l与α没有公共点，所以l/​/α，故B正确；
对于C：由m⊂α，l/​/m，可得l/​/α或l⊂α，故C错误；
对于D：由α⊥β，α∩β=m，l/​/m，可得l/​/α或l⊂α，故D错误．
故选：B．
根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查线面、面面的位置关系，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：设向量a与b夹角余弦值为csθ，
b=(−1,2)，
则|b|= 5，
a在b上的投影向量为m=(−2,4)，
则acsθ⋅b|b|=2b，解得csθ=2 55．
故选：A．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题图得，圆形木板的直径为 102+52=5 5(cm)，
设截得的四边形木板为ABCD，连接BD，
设∠A=α，AB=ccm，BD=acm，AD=bcm，BC=ncm，CD=mcm，
如图所示：
由csα=13，且0<α<π，
可得sinα= 1−cs2α=2 23，
在△ABD中，由正弦定理得asinα=5 5，
解得a=10 103.，
在△ABD中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsα，
所以(10 103)2=b2+c2−23bc=(b+c)2−83bc≥(b+c)2−83×(b+c)24=(b+c)23，
即(b+c)2≤10003，
可得0在△BCD中，∠BCD=π−α，
由余弦定理，
可得(10 103)2=a2=m2+n2−2mncs(π−α)=m2+n2+23mn=(m+n)2−43mn≥(m+n)2−43×(m+n)24=2(m+n)23，
即(m+n)2≤5003，
可得0因此这块四边形木板周长的最大值为10 30+10 153cm．
故选：A．
连接BD，分别在两个三角形中，利用余弦定理结合基本不等式求出b+c与m+n的最大值即可．
本题考查解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：关于x的方程ax+2a+ 4x−x2=0，即−ax−2a= 4x−x2，
而y=−ax−2a=−a(x+2)表示经过点(−2,0)，斜率为−a的直线，
y= 4x−x2= 4−(x−2)2表示圆x2+y2=4在x轴上方的半圆(含端点)．
因此，若原方程有两个不相等的实数根，则直线y=−ax−2a与半圆x2+y2=4(0≤y≤2)有两个交点，
同一坐标系内作出它们的图象，如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心(2,0)到直线的距离d=|4a| a2+1=2，解得a=− 33(a= 33不符合题意，舍去)，
当直线斜率−a=0时，直线与半圆x2+y2=4(0≤y≤2)有两个交点(0,0)，(4,0)，
观察图象，可知− 33故选：B．
根据题意，直线y=−ax−2a与半圆x2+y2=4(0≤y≤2)有两个交点，从而作出图象分析，可得答案．
本题主要考查函数的零点与方程的根、直线与圆的位置关系及其应用等知识，考查了计算能力、图象的理解能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设AB中点为P(m,n)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则m=x1+x22，n=y1+y22，且y1−y2x1−x2=13，
又x1212−y124=1x2212−y224=1，两式相加可得：
112−14⋅y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=0，
∴112−14×13×2n2m=0，
∴m=n，
又P(m,n)在直线l：3x+y−8=0上，
∴3m+n−8=0，又m=n，
∴4m−8=0，∴m=n=2，
∴P(2,2)，又易知F(4,0)，
∴FP=(2,−2)，
∴|FA+FB|=|2FP|=2 4+4=4 2．
故选：B．
设AB中点为P(m,n)，根据点差法，建立方程求出P点坐标，再根据斜率的坐标运算，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，点差法的应用，向量的坐标运算，方程思想，属基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：如图所示：
对A选项，根据三垂线定理易得BD1⊥A1C1，BD1⊥A1D，
从而可得BD1⊥平面A1C1D，∴A选项正确；
对B选项，由图可知四面体D1−AB1C为正四面体，根据分割补形法可得：
四面体D1−AB1C的体积为12−4×12×13×12=13×12，
∴四面体D1−AB1C的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1的体积的三分之一，∴B选项正确；
对C选项，由图可知与正方体ABCD−A1B1C1D1所有棱都相切的球的直径2R等于面对角线长，
∴2R= 2，∴R= 22，∴球的体积为4πR33= 2π3，∴C选项错误；
对D选项，由A选项可知BD1⊥平面A1C1D，而BD1与BB1所成角为∠D1BB1，
又sin∠D1BB1= 2 3= 63，∴BB1与平面A1C1D所成的角的余弦值为 63，
∴BB1与平面A1C1D所成的角等于acrcs 63，∴D选项错误．
故选：AB．
作出图形，根据三垂线定理，分割补形法，球的体积公式，线面角的求法，即可分别求解．
本题考查线面垂直的证明，正四面体的体积的求解，正方体的棱切球问题，线面角的求解，属中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由图知f(0)=csφ= 32，φ∈(0,π2)，可得φ=π6，所以A正确；
所以f(x)=cs(πx+π6)，
则函数的最小值时满足：πx+π6=π+2kπ，k∈Z，
解得x=5π6+2k，k∈Z，
由图知，x=0右侧的第一个最小值点为(5π6,−1)，
由题意可得0+x02=5π6，可得x0=5π3，所以B正确；
C中，函数的对称中心的横坐标满足πx+π6=π2+kπ，k∈Z，解得x=13+k，k∈Z，
所以对称中心为(13+k,0)，k∈Z，k取任何值，对称中心的横坐标不会为176，所以C不正确；
D中，设函数g(x)=f(x)+f(x+13)=cs(πx+π6)+cs[π(x+13)+π6)]
=cs(πx+π6)+cs(πx+π2)= 32csπx−12sinπx−sinπx= 32csπx−32sinπx= 3cs(πx+π3)，
因为x∈[−12,13]，所以πx+π6∈[−π3,4π3]，
令t=πx+π6∈[−π3,4π3]，
令h(t)=cst，t∈[−π3,4π3]，
所以h(t)min=h(4π3)=− 32，h(t)max=h(0)= 3，
所以g(x)在[−12,13]上的最小值为− 32，所以D正确．
故选：ABD．
由f(0)的值及φ的范围，可得φ的值，判断出A的真假；求出函数的最小值时大于0的第一个值x=5π12，再由x=x0与x=0关于x=5π12对称，可得x0的值，判断出B的真假；求出函数的对称轴满足的条件，可得对称轴方程，判断出C的真假；求出函数g(x)的解析式，可得g(x)在[−12,13]上的最小值，判断出D的真假．
本题考查三角函数的解析式的求法及三角函数的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)满足f(x−3)=f(5−x)，令t=x−3，则有f(t)=f(2−t)，变形可得f(1+t)=f(1−t)，
则f(x)的图象关于直线x=1对称，A正确；
对于B，f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)，且f(x)=f(2−x)，
变形可得f(2−x)=f(−x)，则有f(x)=f(x+2)，则f(x)是周期为2的周期函数，
当x∈[3,4]时，4−x∈(0,1)，则f(4−x)=(4−x)2，
又由f(4−x)=f(−x)=f(x)，则有f(x)=(4−x)2=x2−8x+16，
f(72)=(4−72)2=14，
其导数f′(x)=2x−8，则f′(72)=7−8=−1，
则f(x)的图象在x=72处的切线方程为y−14=−(x−72)，变形可得y=−x+154，B错误；
对于C，当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则f(0)=0，f(1)=1，
而f(x)是周期为2的周期函数，
则f(2022)=f(2024)=0，f(2021)=f(2023)=f(1)=1，
故f(2021)+f(2022)+f(2023)+f(2024)=2，C正确；
对于D，g(x)=lg5|x−1|，则有g(x+2)=lg5|x+2−1|=lg5|x+1|=g(−x)，
故g(x)的图象关于直线x=1对称，
画出f(x)和g(x)的大致图象如图所示：
由图可得：f(x)和g(x)的图象有10个交点，且关于直线x=1对称，
∴所有交点的横坐标之和等于1×10=10，故D正确．
故选：ACD．
对于A，令t=x−3，利用换元法分析可得f(1+t)=f(1−t)，可得A正确，对于B，分析函数的周期，求出f(x)在[3,4]上的解析式，利用导数的几何意义求出切线的方程，可得B错误；对于C，利用函数的周期性和解析式可得f(2022)=f(2024)=0，f(2021)=f(2023)=f(1)=1，进而可得C正确，对于D，作出f(x)和g(x)的图象，数形结合可得D正确，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，涉及函数的周期性，属于中档题．
12.【答案】25
【解析】解：因为tanα=2，则sinα⋅csα=sinα⋅csαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=25．
故答案为：25．
由同角的正弦，余弦的平方和为1及“1”的活用，可得所求的代数式的值．
本题考查同角的正弦，余弦的平方和为1及“1”的活用，属于基础题．
13.【答案】3
【解析】解：根据题意易知数列{an}为：1，3，0，3，3，2，1，3，0，…，
∴数列{an}是周期为6的周期数列，
∴a100=a16×6+4=a4=3．
故答案为：3．
根据题意可得数列{an}是周期为6的周期数列，再利用数列的周期性，即可求解．
本题考查数列的周期性，归纳推理思想，属基础题．
14.【答案】2
【解析】解：∵抛物线y=x24可化为：x2=4y，
∴p=2，焦点F(0,1)，
设AB直线为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+1x2=4y，可得x2−4kx−4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=−4，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
∴AB中点坐标为(2k,2k2+1)，
∴AB的垂直平分线方程为y−(2k2+1)=−1k(x−2k)，令x=0，可得C(0,2k2+3)，
∴|AB|=p+y1+y2=2+4k2+2=4k2+4，
|CF|=|2k2+3−1|=2k2+2，
∴|AB||CF|=4k2+42k2+2=2．
故答案为：2．
根据题意设AB直线为y=kx+1，联立抛物线方程，根据根与系数关系及抛物线的弦长公式，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦问题，化归转化思想，属中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)由表中数据可知，男生共有2+8+15+8+3+10+20+4=70(人)，女生共有3+4+2+1+10+6+4+0=30(人)，
由此估计该校高三学习物理男生人数与女生人数的比值约为73；
(Ⅱ)A班共有：2+3+8+4+15+2+8+1=43(人)；
A班物理平均成绩的估计值为55×543+65×1243+75×1743+85×943=275+780+1275+76543≈72(分)；
(Ⅲ)根据题意，得到2×2列联表如下：
零假设为H0物理成绩与考生性别无关，
根据表格中数据计算得到χ2=100×(65×13−17×5)270×30×82×18≈18.635>6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为物理成绩与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
【解析】(Ⅰ)根据表格数据求解；
(Ⅱ)利用平均数的定义求解；
(Ⅲ)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算χ2，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(Ⅰ)在四棱锥P−ABCD中，PE⊥DE，PE⊥EB，DE∩EB=E，
所以PE⊥平面BCDE，
因为PE⊂平面PEB，所以平面PEB⊥平面BCDE，
因为BC⊥BE，平面PEB∩平面BCDE=BE，
所以BC⊥平面PEB，
所以平面PEB⊥平面PBC，
过E作EM⊥PB交PB于M，
又平面PEB∩平面PBC=PB，EM⊂平面PEB，
所以EM⊥平面PBC，平面EMN⊥平面PBC，
因为在直角三角形PEB中，EM⊥PB，
所以PE2=PM⋅PB，BE2=BM⋅BP，又PE=2BE，
所以PM=4MB，
所以在棱PB上存在点M，使平面EMN⊥平面PBC，
且BMBP=15；
(Ⅱ)以E为原点，EB，ED，EP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为AB=3DC=3BC，设BC=2，
AE=6，由题意可得PE=4，
则E(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，C(2,2,0)，
因为点F，N分别是PB，BC的中点，
则F(1,0,2)，N(2,1,0)，EF=(1,0,2)，EN=(2,1,0)，
设平面EFN法向量为n1=(x1,y1,z1)，
n1⋅EF=0n1⋅EN=0，即x1+2z1=02x1+y1=0，令z1=−1，
可得n1=(2,−4,−1)，
由题意可知平面PDE的法向量n2=(1,0,0)，
n1⋅n2=2×1+(−4)×0+(−1)×0=2，|n1|= 22+(−4)2+(−1)2= 21，|n2|=1，
所以cs=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=2 21×1=2 2121，
设平面EFN和平面PDE的夹角为θ，则θ∈[0,π2]，
则csθ=|cs|=2 2121．
【解析】(Ⅰ)过E作EM⊥PB交PB于M，由题意可证得BC⊥平面PEB，由直角三角形中，PE2=PM⋅PB，BE2=BM⋅BP，又PE=2BE，可得BMBP的值；
(Ⅱ)用空间向量的方法求出平面EFN和平面PDE的夹角的余弦值．
本题考查用空间向量的方法求二面角的夹角的余弦值，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)当n≥2时，Sn+1=3Sn+1，Sn=3Sn−1+1，
两式相减得：an+1=3an(n≥2)，
又{an}是等比数列，所以公比为3，
由Sn+1=3Sn+1知，a1+a2=3a1+1，
即a2=2a1+1=3a1，所以a1=1，
所以an=3n−1，n∈N*；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an=3n−1，an+1=3n，
∴an+1=an+(n+2−1)dn，
∴dn=2×3n−1n+1，
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，
则：(dk)2=dm⋅dp，即(2⋅3k−1k+1)2=2⋅3m−1m+1⋅2⋅3p−1p+1，
所以4⋅32k−2(k+1)2=4⋅3m+p−2(m+1)(p+1)(*)，
因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k，代入(*)式整理可得：
(k+1)2=(m+1)(p+1)，
所以k2+2k+1=mp+m+p+1，
所以k2+2k+1=mp+2k+1，
所以k2=mp，又m+p=2k，
所以m=k=p，这与题设矛盾，
所以在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp成等差数列．
【解析】(Ⅰ)根据等比数列的通项公式，即可求解；
(Ⅱ)根据等差数列的定义，方程思想，即可求解．
本题考查等比数列的通项公式的求解，等差数列的通项公式的应用，方程思想，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=xlnx+x2，f(1)=1，
f′(x)=1+lnx+2x，f′(1)=3，
所以f(x)在x=1处切线方程为：y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．
(Ⅱ)由已知f(x)=x(lnx+ax)(x>0)，
设g(x)=lnx+ax(x>0)，故f(x)，g(x)具有相同零点，
g′(x)=1x+a，
①当a=0时，g(x)=lnx，有且只有一个零点x=1；
②当a>0时，g′(x)>0，所以g(x)为增函数，
又g(e−a)=−a+ae−a=a(e−a−1)<0，
g(1)=a>0，所以g(x)有且只有一个零点；
③当a<0时，由g′(x)=0，解得x=−1a，
若x∈(0,−1a)，g′(x)>0，g(x)单调递增，
若x∈(−1a,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，
又x→0+时，g(x)→−∞，又x→+∞时，g(x)→−∞，
故g(−1a)=ln(−1a)−1<0，即a<−1e时，g(x)无零点；
g(−1a)=ln(−1a)−1=0，即a=−1e时，g(x)有一个零点；
g(−1a)=ln(−1a)−1>0即−1e综上所述：a≥0或a=−1e时，f(x)有一个零点；
−1ea<−1e时，f(x)无零点．
(Ⅲ)证明：由已知f′(x)=lnx+1+2ax(x>0)有两个零点，
f″(x)=1x+2a(x>0)，
(1)当2a≥0时，f″(x)>0成立，所以f′(x)单调递增，
所以f′(x)至多一个零点，不符合题意；
(2)当2a<0时，f“(x)=0，解得x=−12a，
当x∈(0,−12a)，f′(x)>0，f′(x)单调递增，
若x∈(−12a,+∞)，f“(x)<0，f′(x)单调递减，
依题意：f′(−12a)=ln(−12a)+1+2a(−12a)>0，
所以−12因为f′(1)=1+2a>0，所以0由f′(x1)=lnx1+1+2ax1=0，得ax1=−12(lnx1+1)，
所以f(x1)=x1lnx1+x1(−12(lnx1+1))=12x1lnx1−12x1=12x1(lnx1−1)，
因为0设F(x)=xlnx−x(0所以F′(x)=lnx<0，故F(x)=xlnx−x(0所以F(x)>F(1)=−1，所以f(x1)=12(x1lnx1−x1)>−12，
综上所述：−12【解析】(Ⅰ)求出f(x)的解析式，从而可得f(1)，再利用导数求出切线斜率，利用点斜式可得答案；
(Ⅱ)f(x)=x(lnx+ax)(x>0)与g(x)=lnx+ax(x>0)具有相同零点，对g(x)求导，对a分类讨论，判断函数单调性结合函数零点存在性定理即可判断零点个数；
(Ⅲ)由已知f′(x)=lnx+1+2ax(x>0)有两个零点，对f′(x)求导，当2a≥0时不符合题意，当2a<0时，判断函数f′(x)的单调性，结合零点个数求出a的取值范围，再通过构造函数即可证明不等式成立．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得e=ca=12，①
直线BF2：y=−bcx+b，即bx+cy−bc=0，圆x2+y2=34与该直线相切，
则|bc| b2+c2= 32，②
c2=a2−b2，③，
由①②③可得：b= 3,a=2，
故椭圆C的标准方程为：x24+y23=1；
(Ⅱ)(i)由已知，直线l的斜率存在且不为0，F2(1,0)，
设l方程为：x=my+1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x=my+1x24+y23=1，整理可得：(3m2+4)y2+6my−9=0，
Δ=144(m2+1)>0，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
由MF2=λF2N，知−y1=λy2，
故y2=6m(3m2+4)(λ−1)，y1=−6λm(3m2+4)(λ−1)，
−36λm2(3m2+4)2(λ−1)2=−93m2+4，(λ−1)2λ=λ+1λ−2=4m23m2+4，
因为λ∈(1,2)，m2∈(0,45)，
|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m212 m2+13m2+4=12(m2+1)3m2+4，
O(0,0)到直线l：x−my−1=0距离d=1 m2+1，
S△MON=12⋅|MN|⋅d=6 m2+13m2+4，
设t= m2+1∈(1,3 5)，则m2=t2−1，
S△MON=6t3t2+1=63t+1t∈(9 516,32)；
(ii)设l方程为y=k(x−1)，(k≠0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y=k(x−1)x24+y23=1，整理可得：(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
所以x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，y1+y2=k(x1+x2−2)=−6k4k2+3，
所以PQ=PM+PN=(x1+x2−2x0,y1+y2)=(8k2−8x0k2−6x04k2+3,−6k4k2+3)，
依题意得kPQ⋅k=−1，即−6k8k2−8x0k2−6x0⋅k=−1，
整理得k2=4x0k2+3x0，
又因为OQ=OP+PQ=(x1+x2−x0,y1+y2)=(8k2−4x0k2−3x04k2+3,−6k4k2+3)
=(7k24k2+3,−6k4k2+3)，
又因为Q在椭圆上，故49k44(4k2+3)2+36k23(4k2+3)2=1，
整理得：5k4+16k2+12=0无解，所以不存在满足条件的点P(x0,0)满足条件．
【解析】(Ⅰ)由离心率的值，可得a，c关系，再由直线BF2与圆相切，可得b，c的关系，由a，b，c之间的关系，求出a，b的值，即求出椭圆的方程；
(Ⅱ)(i)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出写出|MN|的表达式，由向量的关系，可得M，N的坐标的关系，代入三角形的面积公式，可得面积的表达式，换元整理可得该三角形的面积的范围；
(ii)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由斜率的关系，可得M，N的纵坐标的关系，由题意可得kPQ⋅k=−1，由点Q在椭圆上，可得5k4+16k2+12=0无解，即不存在满足条件的点P(x0,0)满足条件．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．物理成绩
学生分类
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90]
A班男生
2
8
15
8
B班男生
3
10
20
4
A班女生
3
4
2
1
B班女生
10
6
4
0
性别
成绩
合计
及格
不及格
男生
女生
合计
α
0.05
0.01
0.001
χα
3.841
6.635
10.828
性别
成绩
合计
及格7
不及格
男生
65
5
答鉴70
女生
17
13
30
合计
82
18
100