考点10.2　二项式定理（解析版）练习题

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10.2　二项式定理【基础集训】考点　二项式定理1.在二项式的展开式中x的系数为(　　)A.640　　　B.-640　　　C.80　　　D.-80【答案】　A2.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(　　)A.第四项　　　　　B.第三项　　　C.第二项　　　　　D.第一项【答案】　B3.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+2)5,则a5=(　　)A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.1【答案】　A4.在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有(　　)A.13项　　　　　B.14项　　　C.15项　　　　　D.16项【答案】　C5.已知的二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是(　　)A.-84　　　B.-14　　　C.14　　　D.84【答案】　A6.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=(　　)A.0　　　B.1　　　C.32　　　D.-1【答案】　A7.的展开式中各项系数的和为256,则该展开式的二项式系数的最大值为　　　　. 【答案】　68.在的展开式中,常数项为　　　　. 【答案】　-5【综合集训】考法一　求二项展开式中特定项或特定项的系数问题1.设a=2,则的展开式中的常数项为(　　)A.560　　　B.1 120　　　C.2 240　　　D.4 480【答案】　B2.已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(　　)A.1　　　B.2　　　C.-1　　　D.-2【答案】　A3.(1+x2)·的展开式中,常数项为(　　)A.-15　　　B.16　　　C.15　　　D.-16【答案】　B4.已知的展开式中含的项的系数为30,则a=(　　)A.　　　B.-　　　C.6　　　D.-6【答案】　D考法二　求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题5.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为(　　)A.5　　　B.40　　　C.20　　　D.10【答案】　B6.多项式的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3的系数是(　　)A.-184　　　B.-84　　　C.-40　　　D.320【答案】　A7.(2x-3)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为(　　)A.-73　　　B.-61　　　C.-55　　　D.-63【答案】　A8.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为(　　)A.15　　　B.45　　　C.135　　　D.405【答案】　C题组一考点　二项式定理1.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(　　)A.12　　　B.16　　　C.20　　　D.24【答案】　A2.的展开式中x4的系数为(　　)A.10　　　B.20　　　C.40　　　D.80【答案】　C3.(1+x)6展开式中x2的系数为(　　)A.15　　　B.20　　　C.30　　　D.35【答案】　C4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A.-80　　　B.-40　　　C.40　　　D.80【答案】　C5.(2x+)5的展开式中,x3的系数是　　　　.(用数字填写答案) 【答案】　106.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　. 【答案】　37.的展开式中的常数项为　　　　. 【答案】　288.在二项式(+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. 【答案】　16;59.在的展开式中,x2的系数为　　　　. 【答案】　10.二项式的展开式的常数项是　　　　. 【答案】　711.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　　. 【答案】　412.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　,a5=　　　　. 【答案】　16;413.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　. 【答案】　-214.的展开式中x5的系数是　　　　.(用数字填写答案) 【答案】　3515.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*,已知=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.【解析】　本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.(1)因为(1+x)n=+x+x2+…+xn,n≥4,所以a2==,a3==,a4==.因为=2a2a4,所以=2××.解得n=5.(2)由(1)知,n=5.(1+)n=(1+)5=++()2+()3+()4+()5=a+b.解法一:因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,从而a2-3b2=762-3×442=-32.解法二:(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+(-)4+(-)5=-+()2-()3+()4-()5.因为a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.题组二考点　二项式定理1.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(　　)A.-40　　　B.-20　　　C.20　　　D.40【答案】　D2.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字填写答案) 【答案】　-203.(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字填写答案) 【答案】　模拟预测一、单项选择题(每题5分,共45分)1.的展开式中x4的系数是(　　)A.-210　　　B.-120　　　C.120　　　D.210【答案】　B2.若a=2,则的展开式中的常数项是(　　)A.-160　　　B.160　　　C.-20　　　D.20【答案】　A3.已知(2x2+3x+1)·的展开式中各项系数之和为0,则该展开式中的常数项是(　　)A.-10　　　B.-7　　　C.10　　　D.9【答案】　D4.(2x-1)8的展开式中x3的系数为(　　)A.-448　　　B.-56　　　C.56　　　D.448【答案】　A5.若(ax-1)的展开式中含项的系数为21,则实数a的值为(　　)A.3　　　B.-3　　　C.2　　　D.-2【答案】　A6.设a∈R,若与的二项展开式中的常数项相等,则a=(　　)A.4　　　B.-4　　　C.2　　　D.-2【答案】　A7.(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x4的系数是(　　)A.5　　　B.10　　　C.15　　　D.20【答案】　A8.若(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5,则a3=(　　)A.-70　　　B.28　　　C.-26　　　D.40【答案】　C9.在的展开式中的x3的系数为(　　)A.210　　　B.-210　　　C.-910　　　D.280【答案】　C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则下列说法正确的是(　　)A.所有项的系数之和为1B.所有项的系数之和为-1C.含x3的项的系数为240D.含x3的项的系数为-240【答案】　AC11.对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有(　　)A.存在n∈N*,展开式中有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项【答案】　AD三、填空题(每题5分,共15分)12.(a+x)(1+)5的展开式中x2项的系数是15,则展开式的所有项系数的和是　　　　. 【答案】　6413.设(1-ax)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018,若a1+2a2+3a3+…+2 018a2 018=2 018a(a≠0),则实数a=　　　　. 【答案】　214.(x+2)(x+1)6的展开式中,x3项的系数为　　　　;所有项系数的和为　　　　. 【答案】　55;192四、解答题(共10分)15.已知的展开式中,前三项的系数成等差数列.(1)求n;(2)求展开式中的有理项;(3)求展开式中系数最大的项.【解析】　(1)由二项展开式知,前三项的系数分别为,,,由已知得2×=+,解得n=8(n=1舍去).(2)的展开式的通项Tr+1=()8-r·=2-r(r=0,1,…,8),要求有理项,则4-必为整数,即r=0,4,8,共3项,这3项分别是T1=x4,T5=x,T9=.(3)设第r+1项的系数ar+1最大,则ar+1=2-r,则==≥1,==≥1,解得2≤r≤3.当r=2时,a3=2-2=7,当r=3时,a4=2-3=7,因此,第3项和第4项的系数最大,故系数最大的项为T3=7,T4=7.